2026年九年级中考数学一轮专题复习十七：二次函数的图象与系数的关系综合训练

2026学年九年级中考数学一轮专题复习十七：二次函数的图象与系数的关系综合训练 1．二次函数的部分图象如图所示．根据图象填空： (1)该函数图象的对称轴是______； (2)二次函数图象与x轴的交点坐标为_______； (3)b_____0，c____0， ____0；（填>、<或=） (4)当时，x的取值范围是______ 2．如图，已知抛物线，其顶点坐标为，抛物线与轴的一个交点为，直线与抛物线交于、两点． (1)______；（填、或） (2)______；（填、或） (3)______； (4)抛物线与轴的另一个交点坐标是______； (5)抛物线的解析式为______； (6)直线的解析式为______； (7)______； (8)方程的根为______； (9)写出时的取值范围为______． 3．已知二次函数的图象如图所示，根据图象提供的信息解答问题． (1)请确定的正负． (2)请判断一次函数的图象所经过的象限，并说明理由． 4．已知抛物线与直线． (1)求证：两个函数图象必有交点； (2)当抛物线的顶点落在直线上时，求a的值； (3)，当时，，求a的取值范围． 5．已知抛物线． (1)若抛物线过点，求的值； (2)抛物线经过，两点，若对于，且都有，求的取值范围． 6．已知二次函数和函数，其中，，满足，，（，，）． (1)求二次方程两根之积的范围． (2)求证：两函数的图象交于不同的两点、． (3)求线段在轴上的射影的范围． 7．已知抛物线经过点． (1)求及的值； (2)若直线经过抛物线的顶点，且与抛物线的另一个交点为，求点的坐标； (3)若抛物线上有两点和，且，求的取值范围． 8．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，是“三倍点”． (1)判断下列函数中存在三倍点的是______（填入序号）． ①；②；③；④． (2)已知二次函数（c为常数）．若该函数经过点， ①求出该图象上的“三倍点”坐标； ②当时，求出该函数的最小值； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求出c的取值范围． 9．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)若抛物线的顶点恰好在直线上，求它的解析式； (3)在（2）的条件下，抛物线与轴交于点，点为抛物线上的一点，且到轴的距离为3个单位长度，点为抛物线上点之间（不含点）的一个动点，求的取值范围． 10．已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． (1)确定b，的符号； (2)求证：； (3)当x取何值时，，当x取何值时． 11．平面直角坐标系中，抛物线（为实数）． (1)求抛物线的对称轴； (2)已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围； (3)当时（其中为实数且），抛物线的图象总在直线的下方，求的最大值． 12．在平面直角坐标系xOy中，点在二次函数的图象上， (1)用含的代数式表示______________________； (2)当时，求二次函数的最大值； (3)已知直线与抛物线相交于A，B两点，若，求的取值范围． 13．在平面直角坐标系中，抛物线（是实数）． (1)当时，若点在该拋物线上，求的值． (2)抛物线的顶点坐标为_______，抛物线的顶点还在某条_______（A．直线   B．抛物线）上，且表达式为_______； (3)已知点，都在该抛物线上，求证：． 14．已知二次函数． (1)求函数图象的对称轴； (2)若，当时，函数的最大值为8，求实数的值； (3)若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围． 15．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，其中． (1)当，时，求抛物线的对称轴； (2)已知，当时，总有． ①求证：； ②点，在该抛物线上，是否存在a，b，使得当时，都有？若存在，求出a与b之间的数量关系；若不存在．说明理由． 参考答案 1．【解】（1）解：观察函数图象，得出该函数图象的对称轴是直线， 故答案为：直线； （2）解：观察函数图象，对称轴是直线，二次函数图象与x轴的一个交点坐标为 则 ∴得出该函数图象与x轴的另一个交点坐标为； 即二次函数图象与x轴的交点坐标为， 故答案为：； （3）解：观察函数图象，得出开口方向向上，对称轴为直线， ∴，， 即 观察函数图象，得出抛物线与轴的交点坐标在负半轴， 即； 把代入，得， 故答案为：，，； （4）解：观察函数图象，得出开口方向向上， 由（2）得函数与x轴的交点坐标为， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：． 2．【解】（1）解：由抛物线图象可得：抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ， 抛物线对称轴为直线，则， ∴， 故答案为：； （2）解：∵抛物线图象与x轴有两个不同的交点， ∴一元二次方程有两个不同的根， ∴， 故答案为：； （3）解：抛物线对称轴，则， 故答案为：0； （4）解：关于对称点为1， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标是， 故答案为：； （5）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将代入抛物线解析式得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 故答案为：； （6）解：将和代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 故答案为：； （7）解：由抛物线图象可得，当时，， 故答案为：； （8）解：即，由图可知抛物线函数值为3时，自变量x为， ∴该方程的两根为， 故答案为：； （9）解：表示二次函数图象在一次函数图象的上方， 由图可知此时， 故答案为：． 3．【解】（1）解：抛物线的开口方向向下， ． ， ． （2）解：， ， 由图可知，， ， ， 一次函数的图象经过第二、三、四象限． 4．【解】（1）证明：联立 整理，得 ∴有实根 ∴两个函数图象必有交点； （2）解：抛物线的顶点坐标的横坐标为 ∵抛物线的顶点落在直线上 把代入中，解得： ∴抛物线的顶点坐标为 将代入中，得 解得：； （3）解：当时，； 当时， ∵， ∴ 解得： 当时，易知抛物线与一次函数的交点为 此时也满足当时，； ∴． 5．【解】（1）解：∵抛物线过点， ∴且， 解得：或（舍去）， 即； （2）∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时， ∴抛物线开口向上，点与关于直线对称， ∵，在抛物线上，且对于，都有， ∴， 解得：， ∴； 当时，抛物线开口向下， ∵，在抛物线上，且对于，都有， 又∵， ∴在对称轴的右侧； 当，即， 此时，即， ∵， ∴与对称轴的距离小于与对称轴的距离， ∴， 则； 当即时，则， 解得：； 此时不合题意； 当即时，， 解得：； 此时不合题意； 综上，； 综上所述，的取值范围或． 6．【解】（1）解：，， ，，， ，即，， ． ， ； （2）证明：联立方程得：， ， ， ， ∴方程有两个不相同的解， 两函数的图象相交于不同的两点； （3）解： 设方程的两根为，，则， ， ， ， ， 由（1）知，， 此时， ． 7．【解】（1）解：（1）由抛物线经过点，，得其对称轴为直线， ， ， 抛物线经过点， ； （2）由（1）得， ∴ 抛物线的顶点为， 又直线经过抛物线的顶点 ， ， 联立方程组， 解得，， 点的坐标为； （3）由（1）知抛物线的函数表达式为，对称轴为直线， 若，则，得， 则有： ①当时，由图象可知：使的的取值范围是； ②当时，由图象可知：使的的取值范围是． 8．【解】（1）解：设三倍点坐标为， ①将代入，得，解得，，可知中存在三倍点； ②将代入，得，无解，可知中不存在三倍点； ③将代入，得，无解，可知中不存在三倍点； ④将代入，得，解得，可知中存在三倍点； 故答案为：①④； （2）解：①∵函数经过点， ∴，解得：， ∴该函数解析式为． 设点P是函数图象上的“三倍点”，则， ∴，解得：， ∴． ②由（1）可知，配方得， ∴抛物线的对称轴为直线． 当，即时，； 当，即时，； 综上，当时，， 当时，． （3）解：由题意，得“三倍点”所在的直线为． 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和的图象至少有一个交点， 令，整理得：， 则， 解得：． 把代入，得， 代入，得，则， 解得：． 把代入，得， 代入，得， 则，解得：． 综上，c的取值范围为． 9．【解】（1）解：对称轴直线为 （2）解：由（1）可知，对称轴为直线， 把代入，得， 则顶点坐标为， ∵抛物线的顶点恰好在直线上， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：． （3）解：令，则， 则， ∵点为抛物线上的一点，且到轴的距离为3个单位长度， ∴， 当时，则，当时，， ∴或 ∵抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当时，则． 当时，则． 10．【解】（1）∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴； （2）证明：∵抛物线的顶点在轴上方，对称轴为， ∴当时，； （3）根据图象可知， 当时，；当或时，． 11．【解】（1）解：抛物线的对称轴为直线； （2）解：点关于抛物线对称轴的对称点为， ①当时，， ∴在对称轴右侧， ∵对于，，都有， ∴或， ∴或， ②当时，， ∴在对称轴左侧，在对称轴右轴，在对称轴右侧， ∵ ∴恒成立； ③当时，，成立， 综上，或； （3）解：联立， 消得， ∵当时（其中为实数且），抛物线的图象总在直线的下方，且最大， 结合图象知关于的方程的两个根为，， 将代入方程得， ， 解得，， 当时，方程为， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去； 当时，方程为， 解得，， ∴； 综上，的最大值为9． 12．【解】（1）解：由题意将点代入得：， ∴ （2）解：由（1）得 二次函数解析式： 对称轴为直线 当时，函数有最大值为； （3）解：设的图象与直线交点为． 则有， 联立解析式得，即， ， ， ， ∵， ∴， ， ， 即． 13．【解】（1）解：当时，， ∵点在该函数图象上， ∴． （2）解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点是， 设①，②， 由①得，由②得， ， ∴顶点在一条直线上，且表达式为， 故答案为：A，． （3）证明：∵点、都在该二次函数图象上， ∴对称轴为直线， ， ， ， ， ∴． 14．【解】（1）解：对称轴直线为： （2）解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线对称直线为， ∴当时，当时，函数取最小值，时，函数取最大值， 即， 解得：，负值舍去 （3）解：当时，则，顶点坐标为： 当时， ， 则在时，最小值为， 即， 解得：，或（舍去）， ∴仅当时，即时，此时最小值为， 最大值为时，即， ∵当时，总有， ∴当时，即时，， 令， 解得：，， ∴． 15．【解】（1）∵点在抛物线上，且，， ∴， ∴， ∴对称轴为； （2）解：①∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， ∵当时，总有， ∴， ∵， ∴； ②存在a，b，使得当时，都有． 由①知，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线上的点离抛物线对称轴的距离越近，所对应的函数值越小， ∵，，且， ∴，， ∴，， ∵， ∴当时， ，且P离对称轴的距离更近， ∴，符合题意； 当时， 存在，此时，不符合题意； 当时， 存在，此时，不符合题意； 综上所述，当时，符合题意． ∴，即， ∴存在a，b，使得当时，都有，a与b之间的数量关系为． 学科网（北京）股份有限公司 $