专题04 抛体运动 课时精练讲义 -2026届高考物理二轮专题培优

专题04 抛体运动 模型一　运动的合成与分解 1．小船渡河问题 情况 图示 说明 渡河时间位移最短 当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝ 当v水<v船时，如果满足v水－v船cos θ＝0，渡河位移最短，xmin＝d，此时渡河时间t＝＝ 当v水>v船时，如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移为xmin＝ 2.关联速度问题的解题方法 把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图所示． 【例题精讲】 1．如图所示，跨过光滑定滑轮的轻绳一端系着皮球（细绳延长线过球心）、一端连在水平台上的玩具小车上，车牵引着绳使球沿光滑竖直墙面从较低处以速度v匀速上升，某一时刻细绳与竖直方向夹角为θ，在球未离开墙面的过程中，下列说法正确的是（　　） A．该时刻玩具小车的速度为 B．该过程玩具小车做加速运动 C．该过程球对墙的压力逐渐减小 D．该过程绳对球的拉力大小变大 2．某船在静水中划行的速率为3m/s，河水的流速为4m/s，河宽30m，该船渡河所用最短时间为（　　） A．4.3s B．6s C．7.5s D．10s 3．无人机表演已成为重庆城传统的迎新年的仪式。若分别以水平向右、竖直向上为x轴y轴的正方向，某架参演的无人机在x、y方向的v﹣t图像分别如图甲、乙所示，该无人机的运动轨迹可能为（　　） A． B． C． D． 4．教室中有可以沿水平方向左右移动的黑板，如图所示，某教师用粉笔在其中一块可移动的黑板上画直线。若粉笔相对于地面从静止开始向下匀加速直线滑动，同时黑板以某一速度水平向左匀速滑动，则粉笔在黑板上所画轨迹，可能为如图中的（　　） A． B． C． D． 5．甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为v0，两船在静水中的速率均为v，两船船头均与河岸成θ角，如图所示。已知甲船恰能垂直河岸到达河正对岸的A点，乙船到达河对岸的B点。下列判断正确的是（　　） A．两船同时到达河对岸 B．甲船先到达河对岸 C．乙船先到达河对岸 D．无法判断哪艘船先到达河对岸 （多选）6．某质点在Oxy平面上运动。t＝0时质点位于y轴上。它在x轴方向运动的速度—时间图像如图甲所示，它在y方向运动的位移—时间图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．质点初速度为4m/s，方向沿x正方向 B．质点加速度为2m/s2，方向沿x正方向 C．质点做匀变速曲线运动 D．0∼2s内质点的位移大小为22m （多选）7．如图所示，一块质量为m的橡皮用细线悬挂于点O，现用一支铅笔在A点顶着细线的左侧水平向右以速度v匀速移动，运动过程中保持铅笔的高度不变，悬挂橡皮的那段细线始终保持竖直，在铅笔未碰到橡皮前，下列说法正确的是（　　） A．橡皮做曲线运动且速度大小改变 B．橡皮做直线运动且速度大小改变 C．橡皮受到细线拉力等于其重力 D．橡皮受到细线拉力大于其重力 模型二　平抛运动的基本规律 1．规律 (1)平抛运动物体的速度变化量 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示。 (2)基本规律 如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy。 (3)两个推论 ①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 ②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，速度方向与水平方向的夹角θ和位移方向与水平方向的夹角α的关系为：tan θ＝2tan α。 【例题精讲】 1．如题图所示，甲乙两名同学进行乒乓球击球训练，甲在A处将球以4m/s的速度水平击出，乙在比A处低0.8m的B处将球击回，不计空气阻力，乒乓球可视为质点，重力加速度取10m/s2，若要使球垂直击中乙球拍，则乙接球时球拍与水平方向的夹角应为（　　） A．30° B．53° C．45° D．60° 2．一个倾角为θ＝37°的斜面固定在水平地面上，从斜面底端正上方某处水平抛出一个物体，已知物体平抛的初速度为v0，斜面高为h，重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。物体从抛出到落到斜面上的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物体在空中运动的时间 B．若仅增大初速度v0物体落到斜面上时的速度方向与斜面的夹角将增大 C．物体落到斜面上时，速度方向与水平方向夹角的正切值与初速度v0无关 D．若初速度v0变化，要使物体落在斜面上的同一点，可调整抛出点的高度 3．某跳台滑雪的简易示意图如图所示，曲线OA段为助滑道，直线AB段为着陆坡。可视为质点的运动员先后以速度v和2v从助滑道末端A位置水平飞出做平抛运动，且均落在着陆坡上。则该运动员两次从A位置到着陆坡的过程中下落高度之比为（　　） A．1：1 B． C．1：2 D．1：4 4．如图所示，在倾角为37°、长为75cm的固定斜面中点固定一长度为2.5cm的直杆，可视为质点的小球从斜面顶端以一定的初速度水平抛出，取重力加速度为10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，为了使小球能够越过直杆后落到斜面上，则小球平抛的初速度可能为（　　） A．1.0m/s B．1.8m/s C．2.1m/s D．2.5m/s 5．某水流造景设施的截面如图所示，P为水平喷水口，水柱刚离开P的速度为v0＝10m/s，从P喷出的水柱恰好能垂直撞到倾角为30°的斜面AC上的B处。已知重力加速度为g＝10m/s2，不计空气阻力，水柱在空中的运动可看成平抛运动，则一滴水从P到B所用的时间为（　　） A． B．2s C． D． （多选）6．如图为湖边一倾角为30°的大坝的横截面示意图，水面与大坝的交点为O。一人站在A点处以速度v0沿水平方向扔小石块，已知AO＝40m，重力加速度g＝10m/s2，忽略人的身高，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若，则石块一定落入水中 B．若石块不能落入水中，则石块落点到A点的距离与初速度成正比 C．若石块能落入水中，落水时速度与水平面的夹角的正切值与初速度的乘积为定值 D．若石块不能落入水中，则石块落到斜面上时速度方向与斜面的夹角与v0无关 （多选）7．跑酷是时下风靡全球的时尚极限运动。现有甲、乙两名跑酷爱好者，在一次训练中甲的运动轨迹如图所示。甲从倾角为θ的斜面顶点A沿水平方向以速度v0跃出，经时间t恰好落至斜面最低点C，此时甲的速度v与水平方向夹角为φ。随后乙也从顶点A沿水平方向以速度跃出，先落至B点（未画出），再二次用力起跳，最后也恰好落至C点。不计空气阻力，两人均可看成质点。下列说法正确的是（　　） A．B点为斜面上AC的中点 B．乙从A点落到B点的时间为 C．乙落在B点的速度与水平方向夹角也为φ D．乙落在B点时的速度大小为 模型三　斜抛运动 1．基本规律 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。 (1)初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t vx＝v0x＝v0cos θ 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2 vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt (2)当斜抛物体落点位置与抛出点等高时 ①射高：h＝＝。 ②斜抛运动的飞行时间：t＝＝。 ③射程：s＝v0cos θ·t＝＝， 对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。 【例题精讲】 1．某广场喷泉喷出的两水柱如图中a、b所示。不计空气阻力，a、b中的水（　　） A．在相等时间间隔内的速度变化量相同 B．喷出时的初速度相同 C．在最高点的速度相同 D．在空中的运动时间相同 2．一位同学进行立定跳远，双脚蹬地跃起，离地最高处人的重心较跳离地面瞬间上升了0.45m。忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．该同学从跳离地面到离地至最高点的时间为0.4s B．该同学跳离地面瞬间的竖直分速度大小为3m/s C．起跳瞬间地面对人的支持力等于运动员受到的重力 D．从开始跳起到落回地面的全过程，该同学仅在蹬地阶段处于超重状态 3．为应对春节期间可能发生的意外火灾，消防官兵时刻备战。在某次消防演习中，消防车的高压水龙头竖直向上喷水，喷出的水可上升到距离管口45m的最大高度。当高压水龙头固定在距水平地面高为15m的消防车的云台上，仍以同样大小的速率将水斜向上喷出，喷水方向与水平方向夹角约53°，不计空气阻力，取g＝10m/s2，则喷出的水可上升到距离地面的最大高度约为（　　） A．44m B．39m C．34m D．29m 4．“苏超”是一项创新性社会足球赛事。苏州队某球员踢出的足球运动轨迹如图所示，B点是轨迹的最高点，C点是轨迹上的一点，空气阻力不可忽略，则足球（　　） A．在B点的速度为0 B．在B点的速度方向水平 C．在C点的速度方向竖直向下 D．在C点所受合力竖直向下 5．如图1所示，自行火炮打出的炮弹做斜抛运动，攻击正前方做匀速直线运动的无人目标车。若不计空气阻力，炮弹运动过程的简化模型如图2所示，炮弹从点1开始做斜抛运动的同时目标车正好经过点2，当目标车以速度v0匀速运动到点3时正好被炮弹击中。炮弹斜抛运动的最大高度为h，1、2、3三点在同一水平面的一条直线上，且1、2两点间距离为2、3两点间距离的2倍。实际生活中一定存在空气阻力，假定空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，自行火炮发出的炮弹从O点抛出沿轨迹OPQ运动，其中P是最高点，如图3所示。重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．图2中，目标车从点2运动到点3的时间为 B．图2中，炮弹斜抛运动的水平射程为3v0 C．图3中，炮弹在O点时的加速度最大 D．图3中，炮弹在P点时的速度最小 （多选）6．如图所示，将一物体从离地h处以v0的速度与水平面成θ角向上抛出，在运动过程中若物体受到阻力，则阻力总与运动方向相反，该阻力大小为F＝kv，且kv0＝mg。下列说法正确的是（　　） A．若不考虑阻力，则物体的速度变化量与时间成正比 B．若不考虑阻力，且v0一定时，当夹角θ等于45°时可以抛得最远 C．若考虑阻力，物体以θ＝30°抛出，当物体的速度与水平方向成30°向下时，物体的速度大小为0.5v0 D．若考虑阻力且h足够大，物体最终将以v0做匀速直线运动 （多选）7．某篮球运动员将篮球从P点斜向上抛出，经最高点M后，落入篮筐N点，已知PM连线与水平方向的夹角为60°，PM⊥MN，如图所示。不计空气阻力，将篮球看作质点，下列说法正确的是（　　） A．PM段的运动时间为MN段运动时间的3倍 B．PM段的运动时间为MN段运动时间的2倍 C．PM段的水平位移为MN段水平位移的3倍 D．PM段的水平位移为MN段水平位移的2倍 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．定位球是足球比赛的主要得分手段之一，踢出的足球划出一条弧线，轨迹如图所示，下列关于足球在飞行过程中的说法正确的是（　　） A．在空中只受到重力的作用 B．合外力的方向与速度方向在一条直线上 C．合外力方向指向轨迹内侧，速度方向沿轨迹切线方向 D．合外力方向沿轨迹切线方向，速度方向指向轨迹内侧 2．水平桌面上有6块板拼成曲线轨道，俯视如图，小球从左侧以一定速度进入并沿轨道运动，最终离开轨道．现撤去三块板，小球仍能大致保持原运动轨迹，则撤去的板编号是（　　） A．1、3、5 B．2、4、6 C．1、4、5 D．2、3、6 3．如图所示，运动员在同一高度的前后两个不同位置将网球击出，网球垂直击中竖直墙上的同一点。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．沿轨迹1运动的网球被击出时的速度较大 B．两轨迹中网球撞墙的速度大小相等 C．从击出到撞墙，沿轨迹1运动的网球在空中运动的时间较短 D．从击出到撞墙，沿轨迹2运动的网球在空中运动的时间较短 4．2025年第九届亚洲冬季运动会短道速滑项目上，我国运动员在最后一圈弯道处加速滑行实现超越。用曲线表示我国运动员在该弯道处的运动轨迹，关于运动员在弯道处时速度v的方向以及其所受合力F的方向描述正确的是（　　） A． B． C． D． 5．在2025年春晚的《秧BOT》节目中，机器人拿着手绢在舞台上扭秧歌，如图所示。若机器人转动手绢使其在竖直面内绕中心点做匀速圆周运动，手绢的转速n＝30r/s，手绢边缘处P点到手绢中心点的距离R＝0.2m，则（　　） A．P点的角速度为30πrad/s B．P点的线速度大小为12πm/s C．P点的向心加速度为360π2m/s2 D．若转速n变为原来的2倍，则P点运动周期也变为原来的2倍 6．如图所示，在倾角为θ的足够大的固定斜面上，一长度为L的轻绳一端可绕斜面上的O点自由转动，另一端连着一质量为m的小球（视为质点）。现使小球从最低点A以速率v开始在斜面上做圆周运动，通过最高点B。重力加速度大小为g，轻绳与斜面平行，不计一切摩擦，下列说法正确的是（　　） A．小球通过A点时的速度越大，此时斜面对小球的支持力越大 B．小球通过B点时的最小速度为 C．小球通过A点时所受轻绳的作用力大小为 D．若小球以的速率通过B点时绳突然断裂，则小球到达与A点等高处时与A点间的距离为3L 7．关于物理课本中的四幅插图，下列说法不正确的是（　　） A．图甲中的实验是为了探究曲线运动的条件 B．图乙是通过平面镜观察桌面的微小形变的实验，采用的是放大的物理思想方法 C．图丙测定不规则薄板的重心的依据是薄板平衡时，悬线拉力的作用线通过重心 D．图丁为牛顿对自由落体运动的研究思路，利用斜面实验来冲淡重力影响，使运动时间更容易测量，最后通过逻辑推理得到自由落体的运动规律 8．如图是某发动机正时系统的传动装置，它是通过皮带连接曲轴正时带轮A和凸轮轴正时带轮B，使汽缸气门开闭与活塞运动同步，以确保引擎的各部件有序工作。已知A轮的半径r1＝0.05m、角速度ω＝100rad/s，B轮的半径r2＝0.1m。传动过程中皮带与各轮之间无相对滑动，则B轮边缘上某点的向心加速度大小为（　　） A．25m/s2 B．250m/s2 C．500m/s2 D．1000m/s2 二．多选题（共3小题） （多选）9．图甲为明代《天工开物》记载的“水碓”装置图，其简化原理图如图乙所示，水流冲击水轮，带动中心为O1的主轴及拨板以恒定角速度ω顺时针转动，拨板通过接触点周期性拨动碓杆AB的尾端，使碓杆绕转轴O逆时针转动，拨板脱离碓杆尾端后碓头B借重力下落，撞击臼中谷物。当图乙中拨板O1A与恰好水平的AB杆成37°时（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），拨板与碓杆尾端接触点A与其他点的距离关系为OA＝O1A＝2L，OB＝5L，则（　　） A．拨板拨动碓杆AB尾端使碓头B上升的过程中，碓头绕转轴O做匀速圆周运动 B．每秒钟碓头下落撞击谷物次 C．当O1A与AB间角度为37°时，碓头B的速度大小为4ωL D．当O1A与AB间角度为45°时，碓头B的角速度大小为4ω （多选）10．某科技兴趣小组利用无人机玩“定点抛物”游戏，在无风的环境下，无人机以v0＝6m/s的速度沿水平方向做匀速直线运动，重物释放点距水平地面的高度为h＝3.2m，不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．重物从释放到落地的时间为0.6s B．重物落地瞬间其速度大小为10m/s C．重物从释放点到落地点的水平距离为4.8m D．若重物释放点的高度变为原来的2倍，则重物从释放点到落地点的水平距离也变为原来的2倍 （多选）11．如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆，过圆心O作一条与竖直方向夹角为α的直线交于圆上半部分的A点，从A点向背离圆心的一侧圆周上搭一直轨道，轨道与竖直方向的夹角为θ。从A无初速度自由释放一个物块（可视为质点）在轨道上，重力加速度为g，不计空气阻力。则下列说法正确的是（　　） A．若轨道光滑，α＞0且恒定，则θ取不同值时物块在轨道上运动的时间均相同 B．若轨道光滑，α＞0且恒定，则θ越大物块在轨道上运动的时间越短 C．若物块与轨道间的动摩擦因数为，则无论α取何值，物块在轨道上运动的时间均与θ有关 D．若物块与轨道间的动摩擦因数为，则α取合适的值，可使物块在轨道上运动的时间与θ无关 三．解答题（共5小题） 12．跑酷（Parkour）是以日常生活的环境（多为城市）为运动场所，依靠自身的体能，快速、有效、可靠地利用任何已知与未知环境的运动艺术。一跑酷运动员在一次训练中的运动可简化为以下运动：如图所示，运动员先在距地面高为h＝3.6m的高台上加速跑，到达高台边缘时以v0＝6m/s的速度水平跳出高台，然后在空中调整姿势，恰好垂直落在一倾角为45°的斜面上，此后运动员迅速调整姿势蹬斜面后沿水平方向离开斜面。若将该运动员视为质点，不计空气阻力，重力加速度的大小为g＝10m/s2。 （1）求运动员落在斜面的速度方向与水平方向的角度的正切值； （2）若运动员离开斜面后落到水平地面上，求运动员在空中运动的总时间t； （3）若运动员离开斜面后落到斜面上，求运动员蹬离斜面时的最大速度v的大小。 13．如图为某小组设计的在竖直平面内的游戏装置示意图，AB是半径为R＝1m、圆心为O1的圆形轨道，底端B点切线水平，B点与水平面Ⅰ的高度差为h1＝2m；CD是倾角为θ＝53°的轨道，高为h＝1.2m，CD与水平轨道DE平滑连接（物体经过D点时速度大小不变）；E点与水平面Ⅱ的高度差为h3＝2.45m；水平面Ⅱ上方空间有一个鼓风装置，能产生水平向左的风力F；水平面Ⅱ上有一水平直轨道OH，轨道上有一个可移动的着陆平台P（不计着陆平台的形状大小），着陆平台与竖直面EO的水平距离记为x（x≥0，O为一维坐标x轴的原点）。游戏时，一质量为m＝1kg的小滑块Q（视为质点）从AB上某处静止释放，从B点水平飞出后恰好从C点无碰撞地滑入轨道CD，随后从E点水平飞出，小滑块经过E点时鼓风装置开始持续送风，在风力F持续作用下小滑块直接落在着陆平台P上（设小滑块落在平台P上立即静止）。所有接触面均光滑，不计其他阻力，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。求： （1）小滑块到达C点时的速度大小vC； （2）小滑块从B点飞出的速度大小vB和在B点时受到的轨道作用力FN的大小； （3）①若风力F为恒力，写出风力F与x之间的关系式。 ②若风力F满足F＝kt，k为常量，小滑块Q经过E点时为t＝0时刻，要使小滑块竖直地落到着陆平台P上，求k的大小。 14．某同学在水平空地上练习网球发球技巧，将球竖直向上抛出，球运动到最高点A时恰好被球拍水平拍出。如图所示，A点离地面高h＝1.8m，A点与落地点B的水平距离x＝18m，忽略空气阻力，重力加速度大小g＝10m/s2。（结果可由根式表示）求： （1）网球从A点运动到B点所用的时间t； （2）网球被拍出后瞬间速度v0的大小； （3）网球运动到B点时速度v。 15．某同学利用无人机玩“投弹”游戏。无人机以v0＝2m/s的速度水平向右匀速飞行，在某时刻释放了一个小球。此时无人机到水平地面的距离h＝5m，空气阻力忽略不计，g取10m/s2。试求： （1）小球下落的时间t0； （2）小球释放点与落地点之间的水平距离d； （3）小球在空中的轨迹方程（以小球抛出点为坐标原点，v0方向为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向）。 16．在篮球比赛中，投篮的投出角度太大和太小，都会影响投篮的命中率。在某次投篮表演中，运动员在空中一个漂亮的投篮，篮球准确落入篮框。若运动员将篮球从O点与水平方向成37°角斜向上抛出，经过最高点M后落入P点处的篮框，N、Q与O点位于同一水平线上，且分别在M、P的正下方，已知M、N两点距离h＝7.2m，O、N两点距离为x1（未知），N、Q两点距离x2＝12.8m。已知重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力。求： （1）篮球从O到M运动的时间； （2）ON两点间的距离x1； （3）篮球落入篮框P时的速度大小。 第19页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 抛体运动 模型一　运动的合成与分解 1．小船渡河问题 情况 图示 说明 渡河时间位移最短 当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝ 当v水<v船时，如果满足v水－v船cos θ＝0，渡河位移最短，xmin＝d，此时渡河时间t＝＝ 当v水>v船时，如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移为xmin＝ 2.关联速度问题的解题方法 把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图所示． 【例题精讲】 1．如图所示，跨过光滑定滑轮的轻绳一端系着皮球（细绳延长线过球心）、一端连在水平台上的玩具小车上，车牵引着绳使球沿光滑竖直墙面从较低处以速度v匀速上升，某一时刻细绳与竖直方向夹角为θ，在球未离开墙面的过程中，下列说法正确的是（　　） A．该时刻玩具小车的速度为 B．该过程玩具小车做加速运动 C．该过程球对墙的压力逐渐减小 D．该过程绳对球的拉力大小变大 【答案】D 【解答】解：A．分解球的运动，如图所示 将球的速度v分解，可知沿绳方向的分速度（即绳子的速度）为v绳＝vcosθ 即该时刻玩具小车的速度为vcosθ，故A错误； B．因球匀速上滑过程中θ角将增大，所以v绳将减小，故小车做减速运动，故B错误； CD．球沿光滑竖直墙面从较低处以速度v匀速上升，球受三力作用处于平衡状态，设球重为G，根据平衡条件可得绳对球的拉力大小T、球对墙的压力大小N分别为，N＝Gtanθ 因球匀速上滑过程中θ角将增大，则T、N均增大，故C错误，D正确。 故选：D。 2．某船在静水中划行的速率为3m/s，河水的流速为4m/s，河宽30m，该船渡河所用最短时间为（　　） A．4.3s B．6s C．7.5s D．10s 【答案】D 【解答】解：当船头方向垂直于河岸时，该分量最大，等于静水速率3m/s，水流速度4m/s 平行于河岸，不影响垂直速度分量。因此最短时间 故ABC错误，D正确。 故选：D。 3．无人机表演已成为重庆城传统的迎新年的仪式。若分别以水平向右、竖直向上为x轴y轴的正方向，某架参演的无人机在x、y方向的v﹣t图像分别如图甲、乙所示，该无人机的运动轨迹可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：水平方向（vx﹣t图像）：速度恒定，做匀速直线运动，x随时间均匀增加。 竖直方向（vy﹣t图像）：速度均匀减小，做匀减速直线运动，y随时间的增加率越来越小。 A.竖直速度应越来越大，故A错误。 B.竖直速度不会出现先增后减再增的情况，故B错误。 C.符合水平匀速、竖直减速的运动合成，故C正确。 D.竖直速度应越来越小，斜率应越来越小，故D错误。 故选：C。 4．教室中有可以沿水平方向左右移动的黑板，如图所示，某教师用粉笔在其中一块可移动的黑板上画直线。若粉笔相对于地面从静止开始向下匀加速直线滑动，同时黑板以某一速度水平向左匀速滑动，则粉笔在黑板上所画轨迹，可能为如图中的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据题意分析可知，在竖直方向，粉笔相对于地面从静止开始向下匀加速直线滑动，即粉笔相对于黑板从静止开始向下匀加速直线滑动，黑板以某一速度水平向左匀速滑动，则在水平方向，粉笔相对于黑板以某一速度水平向右匀速滑动，可知，粉笔相对于黑板做初速度水平向右的曲线运动，加速度方向竖直向下，故B正确，ACD错误； 故选：B。 5．甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为v0，两船在静水中的速率均为v，两船船头均与河岸成θ角，如图所示。已知甲船恰能垂直河岸到达河正对岸的A点，乙船到达河对岸的B点。下列判断正确的是（　　） A．两船同时到达河对岸 B．甲船先到达河对岸 C．乙船先到达河对岸 D．无法判断哪艘船先到达河对岸 【答案】A 【解答】解：两船船头均与河岸成θ角，所以两船过河的有效速度相等，都为vsinθ，所以两船的过河时间相等，即两船同时到达河岸，故A正确，BCD错误。 故选：A。 （多选）6．某质点在Oxy平面上运动。t＝0时质点位于y轴上。它在x轴方向运动的速度—时间图像如图甲所示，它在y方向运动的位移—时间图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．质点初速度为4m/s，方向沿x正方向 B．质点加速度为2m/s2，方向沿x正方向 C．质点做匀变速曲线运动 D．0∼2s内质点的位移大小为22m 【答案】BC 【解答】解：A、由在y方向运动的位移—时间图像图乙可知，质点在y方向做匀速直线运动，速度大小为vym/s＝5m/s， 可知质点初速度大小为v0m/sm/s，故A错误； B、由图甲可知，质点在x方向做匀加速直线运动，加速度大小为axm/s2＝2m/s2， 由于质点在y方向做匀速直线运动，所以质点加速度大小为2m/s2，方向沿x正方向，故B正确； C、质点在x方向做匀加速直线运动，在y方向做匀速直线运动，则质点做匀变速曲线运动，故C正确； D、0∼2s内质点在x方向的位移大小为，质点在y方向的位移大小为y＝5×2m＝10m， 则0∼2s内质点的位移大小为s mm，故D错误。 故选：BC。 （多选）7．如图所示，一块质量为m的橡皮用细线悬挂于点O，现用一支铅笔在A点顶着细线的左侧水平向右以速度v匀速移动，运动过程中保持铅笔的高度不变，悬挂橡皮的那段细线始终保持竖直，在铅笔未碰到橡皮前，下列说法正确的是（　　） A．橡皮做曲线运动且速度大小改变 B．橡皮做直线运动且速度大小改变 C．橡皮受到细线拉力等于其重力 D．橡皮受到细线拉力大于其重力 【答案】AD 【解答】解：AB.将铅笔与绳子接触的点的速度分解为沿绳方向和垂直于绳子方向，如图所示设沿绳子方向为y轴，垂直于绳子为x轴 则沿绳子方向上的分速度为v绳＝vsinθ，因为沿绳子方向上的分速度等于橡皮在竖直方向上的分速度，所以橡皮在竖直方向上速度为vy＝v绳＝vsinθ，因为θ逐渐增大，所以橡皮在竖直方向上做加速直线运动，在水平方向上随铅笔做匀速直线运动，则橡皮的合运动为曲线运动，合速度大小为，因为vx大小不变，vy大小增大，所以速度大小增大，故A正确，B错误； CD.设细绳上拉力为T，因为橡皮在竖直方向上做加速直线运动，则对其受力分析有T﹣mg＝ma 代入数据得T＝mg+ma 因为加速度向上且大于0，所以橡皮受到细线拉力大于其重力，故C错误，D正确。 故选：AD。 模型二　平抛运动的基本规律 1．规律 (1)平抛运动物体的速度变化量 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示。 (2)基本规律 如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy。 (3)两个推论 ①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 ②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，速度方向与水平方向的夹角θ和位移方向与水平方向的夹角α的关系为：tan θ＝2tan α。 【例题精讲】 1．如题图所示，甲乙两名同学进行乒乓球击球训练，甲在A处将球以4m/s的速度水平击出，乙在比A处低0.8m的B处将球击回，不计空气阻力，乒乓球可视为质点，重力加速度取10m/s2，若要使球垂直击中乙球拍，则乙接球时球拍与水平方向的夹角应为（　　） A．30° B．53° C．45° D．60° 【答案】B 【解答】解：小球做平抛运动，竖直位移为 竖直方向的速度vy＝gt 则速度方向与竖直墙壁间的夹角的正切值为 代入数据得，乙接球时球拍与水平方向的夹角应为53°，故B正确，ACD错误。 故选：B。 2．一个倾角为θ＝37°的斜面固定在水平地面上，从斜面底端正上方某处水平抛出一个物体，已知物体平抛的初速度为v0，斜面高为h，重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。物体从抛出到落到斜面上的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物体在空中运动的时间 B．若仅增大初速度v0物体落到斜面上时的速度方向与斜面的夹角将增大 C．物体落到斜面上时，速度方向与水平方向夹角的正切值与初速度v0无关 D．若初速度v0变化，要使物体落在斜面上的同一点，可调整抛出点的高度 【答案】D 【解答】解：A．物体水平位移 x＝v0t 竖直位移 设抛出点高度H，落在斜面上则，，H未知，故A错误； C．速度方向与水平方向的夹角α则， 由 得 当抛出点高度H一定，物体落到斜面时间t与 v0有关，因为 和初速度v0有关，故C错误； B．物体落到斜面上时的速度方向与斜面的夹角为α+θ，由 当抛出点高度H一定，增大初速度v0，物体落到斜面时间t变小，速度方向与水平夹角α变小，所以物体落到斜面上时的速度方向与斜面的夹角α+θ变小，故B错误； D．若v0 变化，需调整抛出点高度H以满足，从而保证物体落在同一点，故D正确。 故选：D。 3．某跳台滑雪的简易示意图如图所示，曲线OA段为助滑道，直线AB段为着陆坡。可视为质点的运动员先后以速度v和2v从助滑道末端A位置水平飞出做平抛运动，且均落在着陆坡上。则该运动员两次从A位置到着陆坡的过程中下落高度之比为（　　） A．1：1 B． C．1：2 D．1：4 【答案】D 【解答】解：设着陆坡倾角为θ，平抛运动的水平位移x＝v0t，竖直下落高度 由斜面几何关系，得： 代入得： ，可见． 当初速度分别为v和2v时，下落高度之比为： ，故ABC错误，D正确。 故选：D。 4．如图所示，在倾角为37°、长为75cm的固定斜面中点固定一长度为2.5cm的直杆，可视为质点的小球从斜面顶端以一定的初速度水平抛出，取重力加速度为10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，为了使小球能够越过直杆后落到斜面上，则小球平抛的初速度可能为（　　） A．1.0m/s B．1.8m/s C．2.1m/s D．2.5m/s 【答案】B 【解答】解：刚好越过直杆，初速度垂直斜面的分速度为v0sin37°，加速度分量为gcos37°，则h0.025m，则：v0m/s 刚好落到斜面底端x＝Lcos37°＝0.75×0.8m＝0.6m，y＝Lsin37°＝0.75×0.6m＝0.45m， t20.3s，v0m/s＝2m/s 所以v0≤2m/s，故B正确，ACD错误。 故选：B。 5．某水流造景设施的截面如图所示，P为水平喷水口，水柱刚离开P的速度为v0＝10m/s，从P喷出的水柱恰好能垂直撞到倾角为30°的斜面AC上的B处。已知重力加速度为g＝10m/s2，不计空气阻力，水柱在空中的运动可看成平抛运动，则一滴水从P到B所用的时间为（　　） A． B．2s C． D． 【答案】A 【解答】解：正交分解v如图所示： 水滴自P点至B点做平抛运动，其水平分运动为匀速直线运动，速度vx＝v0＝10m/s；竖直分运动为自由落体运动，速度vy＝gt。由于水柱垂直撞击倾角为30°的斜面，故撞击瞬间速度方向垂直于斜面，即沿斜面方向的速度分量为零。将水平速度vx与竖直速度vy分别沿斜面方向分解，其中vx沿斜面方向的分量为vxcos30°，vy沿斜面方向的分量为﹣vysin30°，负号表示该分量方向与斜面正方向相反。由沿斜面方向合速度为零，得vxcos30°﹣vysin30°＝0，解得：，故A正确，BCD错误。 故选：A。 （多选）6．如图为湖边一倾角为30°的大坝的横截面示意图，水面与大坝的交点为O。一人站在A点处以速度v0沿水平方向扔小石块，已知AO＝40m，重力加速度g＝10m/s2，忽略人的身高，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若，则石块一定落入水中 B．若石块不能落入水中，则石块落点到A点的距离与初速度成正比 C．若石块能落入水中，落水时速度与水平面的夹角的正切值与初速度的乘积为定值 D．若石块不能落入水中，则石块落到斜面上时速度方向与斜面的夹角与v0无关 【答案】CD 【解答】解：A、若石块刚好落在O点，由平抛运动规律可知石块位移偏转角为30°，有，又AOsin30°，代入数据可得v0＝10m/s，所以v0＞10m/s时，石块一定落入水中，故A错误； B、若石块不能落入水中，设石块落点到A点距离为L，有Lsin30°，，代入数据可得，故B错误； C、若石块能落入水中，设落水时速度偏转角为θ，由平抛运动规律可知，又AOsin30°，代入数据可得，故C正确； D、若石块不能落入水中，设落到大坝上时速度偏转角为α，由平抛运动规律可知，，代入数据可得，即速度方向与水平方向夹角与初速度无关，则速度方向与斜面的夹角与初速度无关，故D正确。 故选：CD。 （多选）7．跑酷是时下风靡全球的时尚极限运动。现有甲、乙两名跑酷爱好者，在一次训练中甲的运动轨迹如图所示。甲从倾角为θ的斜面顶点A沿水平方向以速度v0跃出，经时间t恰好落至斜面最低点C，此时甲的速度v与水平方向夹角为φ。随后乙也从顶点A沿水平方向以速度跃出，先落至B点（未画出），再二次用力起跳，最后也恰好落至C点。不计空气阻力，两人均可看成质点。下列说法正确的是（　　） A．B点为斜面上AC的中点 B．乙从A点落到B点的时间为 C．乙落在B点的速度与水平方向夹角也为φ D．乙落在B点时的速度大小为 【答案】CD 【解答】解：A、甲下落高度，乙下落高度，由几何关系可得，B点为斜面上距离A点处，故A错误； B、甲在C点的竖直分速度vy＝v0•2tanθ＝gt，同理，乙在B点的竖直分速度，联立解得，则乙从A点落到B点的时间为，故B错误； C、设乙在B点时，速度与水平方向的夹角为φ′，由平抛运动规律可得tanφ＝2tanθ，tanφ′＝2tanθ，显然tanφ＝tanφ′，则乙落在B点的速度与水平方向夹角也为φ，故C正确； D、甲落在C点时的速度大小为，乙落在B点时的速度大小为，故D正确。 故选：CD。 模型三　斜抛运动 1．基本规律 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。 (1)初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t vx＝v0x＝v0cos θ 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2 vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt (2)当斜抛物体落点位置与抛出点等高时 ①射高：h＝＝。 ②斜抛运动的飞行时间：t＝＝。 ③射程：s＝v0cos θ·t＝＝， 对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。 【例题精讲】 1．某广场喷泉喷出的两水柱如图中a、b所示。不计空气阻力，a、b中的水（　　） A．在相等时间间隔内的速度变化量相同 B．喷出时的初速度相同 C．在最高点的速度相同 D．在空中的运动时间相同 【答案】A 【解答】解：A、不计空气阻力，水喷出后做斜上抛运动，在相等时间间隔Δt内速度的变化量Δv＝gΔt相等，故A正确； BCD、水做斜上抛运动，在竖直方向做竖直上抛运动，从抛出到最高点过程的运动时间t，由于ha＜hb，则ta＜tb， 水在空中的运动时间t总＝2t＝2，则ta总＜tb总， 由图示可知，从最高点到落点过程xa＞xb，在最高点的速度vx，则vax＞vbx， 水在竖直方向的分速度大小vy，由于vay＜vby， 水喷出时的速度大小v，由于vax＞vbx，vay＜vby，无法比较喷出时水的速度大小关系，故BCD错误。 故选：A。 2．一位同学进行立定跳远，双脚蹬地跃起，离地最高处人的重心较跳离地面瞬间上升了0.45m。忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．该同学从跳离地面到离地至最高点的时间为0.4s B．该同学跳离地面瞬间的竖直分速度大小为3m/s C．起跳瞬间地面对人的支持力等于运动员受到的重力 D．从开始跳起到落回地面的全过程，该同学仅在蹬地阶段处于超重状态 【答案】B 【解答】解：运动员离地后做斜上抛运动，在竖直方向的运动可视为竖直上抛运动。 AB、在竖直方向，代入数据解得运动员跳离地面瞬间的竖直分速度vy＝3m/s； 根据v﹣t公式得vy＝gt，代入数据解得从跳离地面至最高点的时间t＝0.3s，故A错误，B正确； C、起跳瞬间，运动员具有向上的加速度，根据牛顿第二定律FN﹣mg＝ma可知，地面对运动员的支持力FN大于其重力mg，故C错误； D、在起跳蹬地阶段与落地减速阶段，运动员的加速度方向均向上，均处于超重状态，故D错误。 故选：B。 3．为应对春节期间可能发生的意外火灾，消防官兵时刻备战。在某次消防演习中，消防车的高压水龙头竖直向上喷水，喷出的水可上升到距离管口45m的最大高度。当高压水龙头固定在距水平地面高为15m的消防车的云台上，仍以同样大小的速率将水斜向上喷出，喷水方向与水平方向夹角约53°，不计空气阻力，取g＝10m/s2，则喷出的水可上升到距离地面的最大高度约为（　　） A．44m B．39m C．34m D．29m 【答案】A 【解答】解：消防车的高压水龙头竖直向上喷水时，v2＝2gh 得 当水龙头在消防车上时，对喷出的水进行速度分解如图所示 竖直方向的速度为vy＝vsin53°，且 代入数据得h'＝28.8m，上升到距离地面的最大高度h总＝h'+h0≈28.8m+15m＝43.8m≈44m，故A正确，BCD错误； 故选：A。 4．“苏超”是一项创新性社会足球赛事。苏州队某球员踢出的足球运动轨迹如图所示，B点是轨迹的最高点，C点是轨迹上的一点，空气阻力不可忽略，则足球（　　） A．在B点的速度为0 B．在B点的速度方向水平 C．在C点的速度方向竖直向下 D．在C点所受合力竖直向下 【答案】B 【解答】解：A.根据题意可知，铅球在最高点B的竖直分速度为0，水平分速度不为0，则足球在最高点的速度不为0，故A错误； BC.物体在做抛体运动过程中某点的速度方向是该点的切线方向，B点切向方向水平向右，且速度不为0，C点速度方向沿着该点的切线方向斜向右下，故B正确，C错误； D.根据题意可知，铅球在运动过程中受重力和空气阻力，在C点所受的合力，不是竖直向下，故C错误。 故选：B。 5．如图1所示，自行火炮打出的炮弹做斜抛运动，攻击正前方做匀速直线运动的无人目标车。若不计空气阻力，炮弹运动过程的简化模型如图2所示，炮弹从点1开始做斜抛运动的同时目标车正好经过点2，当目标车以速度v0匀速运动到点3时正好被炮弹击中。炮弹斜抛运动的最大高度为h，1、2、3三点在同一水平面的一条直线上，且1、2两点间距离为2、3两点间距离的2倍。实际生活中一定存在空气阻力，假定空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，自行火炮发出的炮弹从O点抛出沿轨迹OPQ运动，其中P是最高点，如图3所示。重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．图2中，目标车从点2运动到点3的时间为 B．图2中，炮弹斜抛运动的水平射程为3v0 C．图3中，炮弹在O点时的加速度最大 D．图3中，炮弹在P点时的速度最小 【答案】C 【解答】解：根据题意可知，在图2中，忽略空气阻力，炮弹做斜抛运动，炮弹在上升与下降阶段具有对称性。 A、根据题意可知，炮弹在竖直方向做匀变速直线运动，由运动学公式 解得上升时间 则炮弹在空中的总时间T＝2t上 解得： 炮弹从点1发射时目标车经过点2，击中时目标车到达点3，故目标车运动时间等于炮弹飞行总时间，即 则图2中，目标车从点2运动到点3的时间为，故A错误； B、目标车做匀速直线运动，点2、3间距离x23＝v0T 解得： 已知x12＝2x23，则炮弹的水平射程R＝x12+x23＝3x23 解得： 故B错误； C、图3中考虑空气阻力f＝kv，炮弹所受合外力为重力与阻力的矢量和，由牛顿第二定律可知加速度 炮弹在O点抛出时速度最大，阻力f最大，且此时重力与阻力夹角为锐角，二者合力最大，故炮弹在O点时的加速度最大，故C正确； D、由于存在空气阻力，炮弹在水平方向始终做减速运动，水平分速度vx持续减小，在最高点P时，竖直分速度为0，此时速度等于当前的水平分速度vx；炮弹经过P点后，加速度方向具有水平向后的分量，加速度方向与速度方向夹角大于90°，合外力继续做负功，炮弹速度仍在减小，故速度最小点应在P点右侧，故D错误。 故选：C。 （多选）6．如图所示，将一物体从离地h处以v0的速度与水平面成θ角向上抛出，在运动过程中若物体受到阻力，则阻力总与运动方向相反，该阻力大小为F＝kv，且kv0＝mg。下列说法正确的是（　　） A．若不考虑阻力，则物体的速度变化量与时间成正比 B．若不考虑阻力，且v0一定时，当夹角θ等于45°时可以抛得最远 C．若考虑阻力，物体以θ＝30°抛出，当物体的速度与水平方向成30°向下时，物体的速度大小为0.5v0 D．若考虑阻力且h足够大，物体最终将以v0做匀速直线运动 【答案】ACD 【解答】解：A.不考虑阻力时，物体只受重力，加速度恒定为g。根据匀变速运动规律，速度变化量Δv＝gΔt，因此速度变化量与时间成正比，故A正确； B.当抛出点与落地点不在同一水平面时，水平射程的最优抛射角小于45°（只有当抛出点与落地点在同一水平面时，45°才是最远抛射角），故B错误； C.已知kv0＝mg，将运动分解到水平、竖直方向，结合动量定理分析，抛出时速度分量v0x＝v0cos30°，v0y＝v0sin30° 速度与水平成30°向下时，设速度为v，分量为vx＝vcos30°，vy＝﹣vsin 30° 对水平、竖直方向分别应用动量定理，水平方向fx＝﹣kvx，Ix＝fxt 整理得 竖直方向：阻力分量fy＝﹣kvy，Iy＝fyt 整理得 代入kv0＝mg，θ＝30° 可得此时速度大小v＝0.5v0，故C正确。 D.当h足够大时，物体最终会达到受力平衡，即kv0＝mg 解得匀速速度v0，但阻力方向始终与速度方向相反，因此水平速度分量会逐渐减为0，最终物体将竖直向下以v0做匀速运动，故D正确。 故选：ACD。 （多选）7．某篮球运动员将篮球从P点斜向上抛出，经最高点M后，落入篮筐N点，已知PM连线与水平方向的夹角为60°，PM⊥MN，如图所示。不计空气阻力，将篮球看作质点，下列说法正确的是（　　） A．PM段的运动时间为MN段运动时间的3倍 B．PM段的运动时间为MN段运动时间的2倍 C．PM段的水平位移为MN段水平位移的3倍 D．PM段的水平位移为MN段水平位移的2倍 【答案】BC 【解答】解：将PM段逆向和MN段均看作平抛运动，根据几何关系可知 代入数据得 同理，可得 所以 联立，代入数据得 又因为vy＝gt1，vy'＝gt2 代入数据得t1＝3t2 根据x＝vxt 代入数据得xPM＝3xMN，故BC正确，AD错误。 故选：BC。 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．定位球是足球比赛的主要得分手段之一，踢出的足球划出一条弧线，轨迹如图所示，下列关于足球在飞行过程中的说法正确的是（　　） A．在空中只受到重力的作用 B．合外力的方向与速度方向在一条直线上 C．合外力方向指向轨迹内侧，速度方向沿轨迹切线方向 D．合外力方向沿轨迹切线方向，速度方向指向轨迹内侧 【答案】C 【解答】解：A．足球在飞行过程中受到重力和空气阻力的作用，故A错误； B．物体做曲线运动的条件：合外力的方向与速度方向不共线；足球在飞行过程中做曲线运动，所以合外力的方向与速度方向不共线，故B错误； CD．足球在飞行过程中做曲线运动，加速度方向指向轨迹内侧，速度方向沿轨迹切线方向，故C正确，D错误。 故选：C。 2．水平桌面上有6块板拼成曲线轨道，俯视如图，小球从左侧以一定速度进入并沿轨道运动，最终离开轨道．现撤去三块板，小球仍能大致保持原运动轨迹，则撤去的板编号是（　　） A．1、3、5 B．2、4、6 C．1、4、5 D．2、3、6 【答案】D 【解答】解：由题图可知，1、2板块处小球需指向2的向心力，必须1板块给以弹力；3、4板块处小球需指向3的向心力，必须4给予弹力（3板块给的支持力指向凸侧，不满足运动需求）；5、6板块处小球需指向6的向心力，需5板块给予弹力，故可以取走的是2、3、6板块，故D正确，ABC错误。 故选：D。 3．如图所示，运动员在同一高度的前后两个不同位置将网球击出，网球垂直击中竖直墙上的同一点。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．沿轨迹1运动的网球被击出时的速度较大 B．两轨迹中网球撞墙的速度大小相等 C．从击出到撞墙，沿轨迹1运动的网球在空中运动的时间较短 D．从击出到撞墙，沿轨迹2运动的网球在空中运动的时间较短 【答案】A 【解答】解：AB、根据逆向思维可以将两个网球的运动看成从竖直墙上的反向的平抛运动，根据平抛运动规律有x＝vt， 可见沿轨迹 1 运动的网球水平方向速度较大，被击出时的速度大小为 则沿轨迹 1 运动的网球被击出时的速度较大，故A正确，B错误； CD、在竖直方向上，两球上升的高度y相同。根据 可知两球在空中运动的时间t相同，故CD错误。 故选：A。 4．2025年第九届亚洲冬季运动会短道速滑项目上，我国运动员在最后一圈弯道处加速滑行实现超越。用曲线表示我国运动员在该弯道处的运动轨迹，关于运动员在弯道处时速度v的方向以及其所受合力F的方向描述正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：物体做曲线运动时，速度方向沿轨迹的切线方向，合力指向轨迹的内侧，若运动员加速滑行实现超越，则合力与速度的夹角为锐角，故ACD错误，B正确。 故选：B。 5．在2025年春晚的《秧BOT》节目中，机器人拿着手绢在舞台上扭秧歌，如图所示。若机器人转动手绢使其在竖直面内绕中心点做匀速圆周运动，手绢的转速n＝30r/s，手绢边缘处P点到手绢中心点的距离R＝0.2m，则（　　） A．P点的角速度为30πrad/s B．P点的线速度大小为12πm/s C．P点的向心加速度为360π2m/s2 D．若转速n变为原来的2倍，则P点运动周期也变为原来的2倍 【答案】B 【解答】解： A．P点角速度的大小为ω＝2πn＝2π×30rad/s＝60πrad/s，故A错误； B．P点线速度的大小为v＝2πrn＝2π×30×0.2m/s＝12πm/s，故B正确； C．P点向心加速度的大小为a＝ωv＝60π×12πm/s2＝720π2m/s2，故C错误； D．若R不变，n变为原来的2倍，根据T可知A点的周期变为原来的倍，故D错误。 故选：B。 6．如图所示，在倾角为θ的足够大的固定斜面上，一长度为L的轻绳一端可绕斜面上的O点自由转动，另一端连着一质量为m的小球（视为质点）。现使小球从最低点A以速率v开始在斜面上做圆周运动，通过最高点B。重力加速度大小为g，轻绳与斜面平行，不计一切摩擦，下列说法正确的是（　　） A．小球通过A点时的速度越大，此时斜面对小球的支持力越大 B．小球通过B点时的最小速度为 C．小球通过A点时所受轻绳的作用力大小为 D．若小球以的速率通过B点时绳突然断裂，则小球到达与A点等高处时与A点间的距离为3L 【答案】B 【解答】解：A.斜面对小球的支持力始终等于重力沿垂直于斜面方向的分量，与小球的速度无关，故A错误； B.绳子不可以为小球提供支持力，小球在B点的速度最小时，球在B点受到重力、斜面的支持力，沿斜面得方向 可得为v，所以小球经过最高点B时的速度最小为，故B正确； C.球在A点受到重力、斜面的支持力和拉力，沿斜面得方向F 则F＝mgsinθm，故C错误； D.若小球以2的速率通过B点时突然绳子断开，则小球在斜面上做类平抛运动，在平行于底边方向做匀速运动，在垂直于底边方向做初速为零的匀加速度运动，故t 沿斜面方向，a＝gsinθ 联立解得s水平＝4L即到达与A点等高处时与A点间的距离为4L，故D错误。 故选：B。 7．关于物理课本中的四幅插图，下列说法不正确的是（　　） A．图甲中的实验是为了探究曲线运动的条件 B．图乙是通过平面镜观察桌面的微小形变的实验，采用的是放大的物理思想方法 C．图丙测定不规则薄板的重心的依据是薄板平衡时，悬线拉力的作用线通过重心 D．图丁为牛顿对自由落体运动的研究思路，利用斜面实验来冲淡重力影响，使运动时间更容易测量，最后通过逻辑推理得到自由落体的运动规律 【答案】D 【解答】解：A、图甲是通过改变小球的受力方向，探究物体做曲线运动的条件，故A正确； B、图乙是利用平面镜反射光线的微小偏转，将桌面的微小形变放大，采用的是放大法，故B正确； C、图丙是用两次悬挂法找不规则薄板的重心，依据是薄板平衡时，悬线拉力的作用线必通过重心，故C正确； D、图丁是伽利略对自由落体运动的研究思路，而非牛顿，故D错误。 本题是选说法不正确，故选：D。 8．如图是某发动机正时系统的传动装置，它是通过皮带连接曲轴正时带轮A和凸轮轴正时带轮B，使汽缸气门开闭与活塞运动同步，以确保引擎的各部件有序工作。已知A轮的半径r1＝0.05m、角速度ω＝100rad/s，B轮的半径r2＝0.1m。传动过程中皮带与各轮之间无相对滑动，则B轮边缘上某点的向心加速度大小为（　　） A．25m/s2 B．250m/s2 C．500m/s2 D．1000m/s2 【答案】B 【解答】解：两轮是通过皮带连接的，它们的线速度大小相等，B轮边缘上的点的线速度大小为v＝ωr1，则B轮边缘上某点的向心加速度大小为a，联立代入数据解得a＝250m/s2，故B正确，ACD错误。 故选：B。 二．多选题（共3小题） （多选）9．图甲为明代《天工开物》记载的“水碓”装置图，其简化原理图如图乙所示，水流冲击水轮，带动中心为O1的主轴及拨板以恒定角速度ω顺时针转动，拨板通过接触点周期性拨动碓杆AB的尾端，使碓杆绕转轴O逆时针转动，拨板脱离碓杆尾端后碓头B借重力下落，撞击臼中谷物。当图乙中拨板O1A与恰好水平的AB杆成37°时（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），拨板与碓杆尾端接触点A与其他点的距离关系为OA＝O1A＝2L，OB＝5L，则（　　） A．拨板拨动碓杆AB尾端使碓头B上升的过程中，碓头绕转轴O做匀速圆周运动 B．每秒钟碓头下落撞击谷物次 C．当O1A与AB间角度为37°时，碓头B的速度大小为4ωL D．当O1A与AB间角度为45°时，碓头B的角速度大小为4ω 【答案】BC 【解答】解：A.拨板拨动碓杆AB尾端使碓头B上升时，拨板上A点的角速度恒定，但A点的速度方向不断变化，导致碓杆AB的角速度不恒定。因此碓头绕转轴O不是做匀速圆周运动，故A错误； B.拨板每转动一周，拨板拨动碓杆四次，使碓头下落撞击四次。因此每秒撞击次数为频率，故B正确； D.由题意可知，拨板O1A与碓杆尾部接触点A在垂直于碓杆方向速度相等，有ω2Lcosθ＝ω12L，当θ＝45°时，碓杆绕O点转动的角速度，故D错误； C.当θ＝37°时，ω1＝0.8ω，则碓头B线速度vB＝5ω1L＝4ωL，故C正确。 故选：BC。 （多选）10．某科技兴趣小组利用无人机玩“定点抛物”游戏，在无风的环境下，无人机以v0＝6m/s的速度沿水平方向做匀速直线运动，重物释放点距水平地面的高度为h＝3.2m，不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．重物从释放到落地的时间为0.6s B．重物落地瞬间其速度大小为10m/s C．重物从释放点到落地点的水平距离为4.8m D．若重物释放点的高度变为原来的2倍，则重物从释放点到落地点的水平距离也变为原来的2倍 【答案】BC 【解答】解：A.根据hgt2 代入数据得t＝0.8s，故A错误； B.落地瞬间竖直方向速度为vy＝gt 代入数据得vy＝8m/s，水平方向匀速v0＝6m/s 则v合 代入数据得v合＝10m/s，故B正确； C.水平距离x＝v0t 代入数据得x＝4.8m，故C正确； D.根据hgt2，如果h变为原来的2倍，则时间变为原来的倍，故D错误。 故选：BC。 （多选）11．如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆，过圆心O作一条与竖直方向夹角为α的直线交于圆上半部分的A点，从A点向背离圆心的一侧圆周上搭一直轨道，轨道与竖直方向的夹角为θ。从A无初速度自由释放一个物块（可视为质点）在轨道上，重力加速度为g，不计空气阻力。则下列说法正确的是（　　） A．若轨道光滑，α＞0且恒定，则θ取不同值时物块在轨道上运动的时间均相同 B．若轨道光滑，α＞0且恒定，则θ越大物块在轨道上运动的时间越短 C．若物块与轨道间的动摩擦因数为，则无论α取何值，物块在轨道上运动的时间均与θ有关 D．若物块与轨道间的动摩擦因数为，则α取合适的值，可使物块在轨道上运动的时间与θ无关 【答案】BD 【解答】解：AB．若轨道光滑，根据牛顿第二定律可得物块在轨道上的加速度为gcosθ，根据几何关系可得轨道长度等于2Rcos（α+θ），故根据位移—时间关系可得 可得， 所以θ越大物块在轨道上运动的时间越短，故A错误，B正确； CD．若轨道粗糙，根据牛顿第二定律可得物块在轨道上的加速度为a＝g（cosθ﹣μsinθ） 轨道长2Rcos（α+θ） 故根据位移—时间关系可得 可得 观察发现在μ＝tanα时，即物块在轨道上运动的时间与θ无关，故C错误，D正确。 故选：BD。 三．解答题（共5小题） 12．跑酷（Parkour）是以日常生活的环境（多为城市）为运动场所，依靠自身的体能，快速、有效、可靠地利用任何已知与未知环境的运动艺术。一跑酷运动员在一次训练中的运动可简化为以下运动：如图所示，运动员先在距地面高为h＝3.6m的高台上加速跑，到达高台边缘时以v0＝6m/s的速度水平跳出高台，然后在空中调整姿势，恰好垂直落在一倾角为45°的斜面上，此后运动员迅速调整姿势蹬斜面后沿水平方向离开斜面。若将该运动员视为质点，不计空气阻力，重力加速度的大小为g＝10m/s2。 （1）求运动员落在斜面的速度方向与水平方向的角度的正切值； （2）若运动员离开斜面后落到水平地面上，求运动员在空中运动的总时间t； （3）若运动员离开斜面后落到斜面上，求运动员蹬离斜面时的最大速度v的大小。 【答案】（1）运动员落在斜面的速度方向与水平方向的角度的正切值是1； （2）若运动员离开斜面后落到水平地面上，运动员在空中运动的总时间t是1.2s； （3）若运动员离开斜面后落到斜面上，运动员蹬离斜面时的最大速度v的大小是3m/s。 【解答】解：（1）根据速度与斜面垂直，可知速度与水平方向呈45度夹角，则动员落在斜面的速度方向与水平方向的角度的正切值tan45°＝1 （2）因运动员垂直落在斜面上，由速度的关系可得tan45° 可得vy＝v0＝6m/s 则此时运动员运动的时间s＝0.6s 竖直方向的位移h1m 得h1＝1.8m 故落点距离地面的高度为h2＝h﹣h1＝3.6m﹣1.8m＝l.8m 运动员离开斜面到落地的时间为s＝0.6s 故运动员落地的总时间为t＝t1+t2＝0.6s+0.6s＝1.2s （3）运动员离开斜面到落到斜面底端过程的水平初速度最大。此过程的水平位移为x，由几何关系可知x＝h2•tan45°＝h2＝1.8m 运动员蹬离斜面时的最大速度vm/s＝3m/s 答：（1）运动员落在斜面的速度方向与水平方向的角度的正切值是1； （2）若运动员离开斜面后落到水平地面上，运动员在空中运动的总时间t是1.2s； （3）若运动员离开斜面后落到斜面上，运动员蹬离斜面时的最大速度v的大小是3m/s。 13．如图为某小组设计的在竖直平面内的游戏装置示意图，AB是半径为R＝1m、圆心为O1的圆形轨道，底端B点切线水平，B点与水平面Ⅰ的高度差为h1＝2m；CD是倾角为θ＝53°的轨道，高为h＝1.2m，CD与水平轨道DE平滑连接（物体经过D点时速度大小不变）；E点与水平面Ⅱ的高度差为h3＝2.45m；水平面Ⅱ上方空间有一个鼓风装置，能产生水平向左的风力F；水平面Ⅱ上有一水平直轨道OH，轨道上有一个可移动的着陆平台P（不计着陆平台的形状大小），着陆平台与竖直面EO的水平距离记为x（x≥0，O为一维坐标x轴的原点）。游戏时，一质量为m＝1kg的小滑块Q（视为质点）从AB上某处静止释放，从B点水平飞出后恰好从C点无碰撞地滑入轨道CD，随后从E点水平飞出，小滑块经过E点时鼓风装置开始持续送风，在风力F持续作用下小滑块直接落在着陆平台P上（设小滑块落在平台P上立即静止）。所有接触面均光滑，不计其他阻力，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。求： （1）小滑块到达C点时的速度大小vC； （2）小滑块从B点飞出的速度大小vB和在B点时受到的轨道作用力FN的大小； （3）①若风力F为恒力，写出风力F与x之间的关系式。 ②若风力F满足F＝kt，k为常量，小滑块Q经过E点时为t＝0时刻，要使小滑块竖直地落到着陆平台P上，求k的大小。 【答案】（1）小滑块到达C点时的速度大小是5m/s； （2）小滑块从B点飞出的速度大小是3m/s，在B点时受到的轨道作用力FN的大小是19N； （3）①若风力F为恒力，风力F与x之间的关系式为（0≤x≤4.9m）。 ②若风力F满足F＝kt，k为常量，小滑块Q经过E点时为t＝0时刻，要使小滑块竖直地落到着陆平台P上，k的大小是m/s。 【解答】解：（1）对小滑块在竖直方向上做自由落体运动，则 代入数据得vCy＝4m/s 又 代入数据得vC＝5m/s （2）将C点的速度分解成水平方向的匀速和竖直方向的匀变速，在水平方向上，vB＝vCx＝vCcosθ 代入数据得vB＝3m/s 对B点进行受力分析， 代入数据得FN＝19N （3）①物块从C至D匀加速只受重力和支持力，则a＝gsinθ 代入数据得a＝8m/s2， 代入数据得vD＝7m/s，物块匀速运动至E处，以v＝7m/s飞出 竖直方向自由落体 代入数据得t＝0.7s 水平方向匀减速， 故（0≤x≤4.9m） ②物块竖直落到着陆平台时vx刚好减小到0， 运动时间t1＝t 代入数据得t1＝0.7s 由a'1﹣t图像可知 代入数据得Δv＝7m/s 代入数据得 解：（1）小滑块到达C点时的速度大小是5m/s； （2）小滑块从B点飞出的速度大小是3m/s，在B点时受到的轨道作用力FN的大小是19N； （3）①若风力F为恒力，风力F与x之间的关系式为（0≤x≤4.9m）。 ②若风力F满足F＝kt，k为常量，小滑块Q经过E点时为t＝0时刻，要使小滑块竖直地落到着陆平台P上，k的大小是m/s。 14．某同学在水平空地上练习网球发球技巧，将球竖直向上抛出，球运动到最高点A时恰好被球拍水平拍出。如图所示，A点离地面高h＝1.8m，A点与落地点B的水平距离x＝18m，忽略空气阻力，重力加速度大小g＝10m/s2。（结果可由根式表示）求： （1）网球从A点运动到B点所用的时间t； （2）网球被拍出后瞬间速度v0的大小； （3）网球运动到B点时速度v。 【答案】（1）网球从A点运动到B点所用的时间为0.6s； （2）网球被拍出后瞬间速度的大小为30m/s； （3）网球运动到B点时速度的大小为，方向与水平方向的夹角的正切值为斜向正下方。 【解答】解：（1）网球做平抛运动，在竖直方向上有：，解得：； （2）网球做平抛运动，在水平方向上有：x＝v0t，代入数据解得：； （3）竖直方向上，根据速度—时间关系可得：vy＝gt＝10×0.6m/s＝6m/s，根据速度合成有，代入数据解得：，设速度方向与水平方向夹角为θ，则有：。 答：（1）网球从A点运动到B点所用的时间为0.6s； （2）网球被拍出后瞬间速度的大小为30m/s； （3）网球运动到B点时速度的大小为，方向与水平方向的夹角的正切值为斜向正下方。 15．某同学利用无人机玩“投弹”游戏。无人机以v0＝2m/s的速度水平向右匀速飞行，在某时刻释放了一个小球。此时无人机到水平地面的距离h＝5m，空气阻力忽略不计，g取10m/s2。试求： （1）小球下落的时间t0； （2）小球释放点与落地点之间的水平距离d； （3）小球在空中的轨迹方程（以小球抛出点为坐标原点，v0方向为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向）。 【答案】（1）小球下落的时间是1s； （2）小球释放点与落地点之间的水平距离是2m； （3）小球在空中的轨迹方程为。 【解答】解：（1）小球做平抛运动，对平抛运动竖直方向有 代入数据得小球下落的时间t0＝1s （2）对平抛运动水平方向有d＝v0t0 代入数据得小球释放点与落地点之间的水平距离d＝2m （3）对平抛运动水平方向有x＝v0t 对平抛运动竖直方向有 代入数据得小球在空中的轨迹方程为 答：（1）小球下落的时间是1s； （2）小球释放点与落地点之间的水平距离是2m； （3）小球在空中的轨迹方程为。 16．在篮球比赛中，投篮的投出角度太大和太小，都会影响投篮的命中率。在某次投篮表演中，运动员在空中一个漂亮的投篮，篮球准确落入篮框。若运动员将篮球从O点与水平方向成37°角斜向上抛出，经过最高点M后落入P点处的篮框，N、Q与O点位于同一水平线上，且分别在M、P的正下方，已知M、N两点距离h＝7.2m，O、N两点距离为x1（未知），N、Q两点距离x2＝12.8m。已知重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力。求： （1）篮球从O到M运动的时间； （2）ON两点间的距离x1； （3）篮球落入篮框P时的速度大小。 【答案】（1）篮球从O到M运动的时间为1.2s。 （2）ON两点间的距离为19.2m。 （3）篮球落入篮框P时的速度大小为m/s。 【解答】解：（1）在斜抛运动中，M点为轨迹最高点，竖直方向初速度v0y＝v0sin37°，到达M点时其竖直分速度减为零。由竖直位移公式，解得：。代入数据h＝7.2m，g＝10m/s2，计算得t1＝1.2s。 （2）设ON两点间的水平距离为x1。水平方向篮球做匀速直线运动，其速度v0x＝v0cos37°。 根据竖直方向速度公式v0y＝gt1，代入t1＝1.2s，g＝10m/s2，解得：v0y＝12m/s。 进而由，解得：v0＝20m/s。 因此v0x＝v0cos37°＝20m/s×0.8＝16m/s。 ON间的水平距离x1＝v0xt1＝16m/s×1.2s＝19.2m。 （3）篮球从O到P的总运动时间t总＝t1+t2，其中t2为从M到P的水平运动时间，，代入x2＝12.8m，v0x＝16m/s，解得：t2＝0.8s。故总时间t总＝1.2s+0.8s＝2.0s。落地时竖直分速度，水平分速度vx＝v0x＝16m/s。则落入篮框时的合速度大小为。 答：（1）篮球从O到M运动的时间为1.2s。 （2）ON两点间的距离为19.2m。 （3）篮球落入篮框P时的速度大小为m/s。 第19页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $