浙江杭州市2025-2026学年第一学期期末学业水平测试高二数学（甲卷）

2025学年第一学期期末学业水平测试 高二数学（甲卷) 考生须知 1.用0.5mm黑色签字笔填写姓名、准考证号到试卷与答题卡指定位置：核对答题卡条形码姓 名/准考证号无误。 2.选择题用2B铅笔涂满涂黑，改动需擦净重涂：非选择题用0.5mm黑色签字笔在答题卡指定 区域作答，超出区域/写在试卷/草稿纸无效：作图先铅笔画，定稿后用签字笔描黑， 3.满分150分，考试时长120分钟：考试结束后，试卷与答题卡一并交回，不得私自带出. 4.保持答题卡清洁、不折叠、不破损：禁止使用涂改液、修正带、刮纸刀等。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的的位置上， 1.已知集合A={x|(x-1)(x-5)≤0}，B={x|3<x<7},则A∩B= A.[1,7) B.(3,5] c.[5,7) D.[1,3) 2.已知x∈R,则“sinx=0"是“cosx=1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知复数z=3+2i,则-= A.32 B.√3 C.2√2 D.√10 4.直线1：x+my-2m-1=0(m∈R)与圆C:(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0)的位置关系是 A.相离 B.相切 C相交 D.与m,r的取值有关 已知椭圆C+@>>0的左、右焦点分别为，月，离心率e=·且过点M23 则△MFF,的周长为 A.6 B.8 C.10 D.12 6、已知函数创= 22- 2*+122-+1 ,则函数(x) A.关于点(1,1)对称 B.关于直线x=1对称 C.在R上单调递增 D.值域为(0,2) 餐巴扫描全能王 2。-224-- 7,已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长SA=2W2,∠ASB三M为SA中点，从点M出发 沿着棱锥的侧面绕一圈回到点M,其最短路径的长度为 A.√2 B.3 C.2W2 D.2W5 8.已知函数/)=sm(ax+pXo>0K孕，满是/？=0，且在区间（径骨上单调递 增，则0的可能取值是 A.6 B.4 C.3 D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分： 9.某学习小组8名学生某次物理测试的成绩如下：70,72,75,77,80,80,83,84，下列 说法正确的是 A.这组数据的极差是15 B.这组数据的中位数是78.5 C.这组数据的众数是80 D.这组数据的第25百分位数是73.5 10.在直三棱柱ABC-A'B'C中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA=2,点M,N 分别在线段AB,A'C上，且满足A'M=元AB,A'N=μA'C，其中入，4∈(O,),则 下列说法正确的是 A.当入=4时，MNI/平面ABC B.当入+4=1时，线段MN的长度为定值 4 C.当入=H=2时，三棱锥A-AMN的外接球体积为亏刀 3 D.三棱锥A'-AMN的体积与三棱锥A'-ABC的体积之比为4 11.已知双曲线C:x2- =1,其左、右焦点分别为F,F，过F的直线与双曲线右支交于 3 P,Q两点，下列说法正确的是 A.双曲线的离心率为2 B.存在点P,使△PFF的面积为6 C.点M为线段PF的中点，若OM=1,则PF=2W3 D.不存在过点N(1,1)的直线与双曲线交于A,B两点，使得点N为弦AB的中点 影巴全目 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.从集合{1,2,3,4}中随机选取两个不同的数，则这两个数的和为奇数的概率为 13.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)(-x)=0,且x>0时，f(x)x2+1,则f(-1)=一 14.已知过球面上A、B、C三点的截面，它和球心的距离为球半径的一半，且AB=BC=1, AC=√，则球的表面积是 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)已知圆C:x2+y2-4x-6y+8=0,点P(3,5). (1)求过点P的圆的切线方程： (2)若直线1过点P且与直线x-y+1=0平行，求直线l被圆C所截得的弦长， 16.(本小题满分15分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2, acos(4+B-C)=2bsin 4, 2 (1)证明：sinC=2sinB: (2)求AB·AC的取值范围. 17.(本小题满分15分)已知平行四边形ABCD中，AB⊥BD,AB=1,AD=√5，将 △ABD沿对角线BD翻折至面A,BD,且A,C=√6，E为线段AC上的点. (1)证明：CD⊥面A,BD: (2)若锐二面角E-BD-A的正切值为分，求点E到直线BD的距离 影巴全手 。-224-2 18.本小题满分7分)己知椭圆C,方+ +片=la>b>0)的离心率为，且经过点P0,写 (1)求椭圆C的方程； (2)过OL,0O)的直线1与椭圆C相交于E,F两点，点R(0),求△REF面积的最大值。 19.(本小题满分17分)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点P的横坐 标为2，且PF=3, (1)求抛物线的标准方程： (2)过点F的直线I交抛物线于A,B两点，设点E(2,0),设直线EA,EB分别与抛物线 交于另一点C,D,求证：直线CD过定点，并求出定点坐标 圈巴全E 2…-224-- 2025学年第一学期期末学业水平测试数学答案（甲卷) 一 单项选择题1B2B3A4C5D6B7A8D 二、多项选择题9BCD10ACD11ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 13.-2 1416x 3 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (本参考答案中仅给出部分评分标准，其他解法参照赋分) 15.解析(1)圆C:(x-2)2+(y-3)2=5,圆心为C(2,3)·····2分 点P(3,5)在圆上 ··。。····3分 kcp=2,故切线所在直线斜率为 1 2 所求切线方程为y-5=-3列，即x+2y-13=0....…6分 (2)直线1的斜率为1，······7分 过点P(3,5),它的直线方程为x-y+2=0,···········9分 圆心c到直线的距离为d= 2-3+2-V2 ····11分 2 所以直线！被圆C所截得的半弦长为， 1_35, 5- 22 即直线1被圆C所截得的弦长为3√2.··········13分 16.()c)sinc. 2 由asinC=2 bsinA,得sin Asin C=2 sin Bsin A,其中A∈(0，π)，sinA>0, 得sinC=2sinB.················5分 (2) 2b+b>2 由三角形边长关系知 2b-b<2故b∈(2).··········7分 由余弦定理得，ABAC_b+2-4········10分 2 由(1)SinC=2sinB,得c=2b··········12分 1 S扫描全能王 额3元人雕直用的日事Ae 。-。24-。。 所以BC-+e2-4_562-2e(88)···15分 2 2 9 16.【解析】 在平行四边形ABCD中，AB=1,AD=√5，则BC=AD=√ 因为AC=√6，所以A,B2+BC2=AC2,即AB⊥BC1分 又因为A,B⊥BD,BD∩BC=B,所以A,B⊥面BCD,3分 由于CDC面BCD,所以A,B⊥CD4分 又因为CD⊥BD,A,B∩BD=B,所以CD⊥面ABD6分 (2)在平面BCD内，过B作BD的垂线，建立如图所示空间直角坐标系， 平行四边形ABCD中，由AB⊥BD,AB=1,AD=√5，有BD=2, 则B(0,0,0),A(0,0,1),D(0,2,0),C1,2,0)7分 E在线段AC上，设AE=1AC,入[0，， 则BE=BA+AE=BA+AC=(0,0,1)+(1,2,-1)=(亿，2,1-)，8分 设面BDE的法向量为n=(x,y,z),则 @E.元=x+2y+（1-)2=0令x=1-,则m=1-元0，-，…10分 BD.元=2y=0 易知面A,BD的法向量为m=(1,0,0), 设锐二面角E-BD-A,的平面角为日，由tan0= 2,得cos0=25 …11分 5 所以cos0 1m·1 (1,0,0)1-1,0,2) 1-2 2W5 V1-2)2+22 V1-2元+222 等5，得a=或元=-1合) 13分 餐田扫描全能王 额3元人E直用的日事Ae ……2-222- 所以B距=5，行，)，设E到直线BD的距离为d 则d三 BE·BD BE 14分 BD -9 15分 18.解析 (1)离心率e=S= 1分 a 2 椭圆过点经过点PL, 2分 2 得到a2=4,b2=1,4分 椭圆方程为兰十y=15分 4 (2) 当直线斜率不存在时，易知E肌5.，-，此时，S一 4 6分 设直线I斜率存在时，方程为y=k(x-1),点E(x1,y),F(x2,y2), x +)少=1，整理得0+4k2)x2-8k2x+42-4=0,8分 y=k(x-1) 则△=48k2+16,x1+x2= 8k2 4k2-4 1+4k2,x2= 1+4k29分 厨=h+2-=+24w32+ 4k2+1 11分 点R到直线I的距离为d 12分 V1+k2 餐巴扫描全能王 然镜3觉人E直用的日事Ae 。”-224-2- 所以Sr= v+k243k2+1 k2(3k2+1D 14分 2V1+k2 4k2+1 V(42+1)2 令t=4k2+1≥1 2严 1 则SAREF=42 ）16分 综上， Sw马S的大位为自 .17分 (注，其他解法参考赋分) 19.解析：(1)由题意得：2+=3，得卫=2，…2分 2 所以标准方程为y2=4x…3分 (2)设直线I的方程为x=my+1,A(x,y),B(x2,y2) 联立方程 y2=4x 整理得y2-4y-4=0,…5分 (x=my+1' +y2=4m 所以〈 …7分 y2=-4 设C(x3),D(x4,y4) 又e=42=片=4y -2上-2片-8，所以 名。用仿-=优-到 4 (0-)=8(-),所以y=-8,得为=8 …10分 y 同理y÷-8 …11分 y2 又w=为44 42 -无4为+以4-8_8另+乃2…13分 y1 y2 影田扫全任 …-。”-224-- 所以oy-为=2x-5,即y=2x+为-2头…15分 y+y y,+y2 +y2 y=2x-832 8+,32 8 片+为片4+为 y(y+y2)4+y2 2 所以loy= -x-8 =2(x-4) y+y3y+》2y+y2 所以直线过定点(4,0)…。 …17分 【注】11分以后也可以按照下面方法处理，参考以上赋分 ⅓y40-16 设直线cD的方程为Xy*n,联立得y2-4y-4n=0, (x=ty+n y3y4=-4n=-16,.n=4, ∴.直线CD过定点（4,0) 餐国扫描全能王 病3觉人影直用的日mAe 。”-224-2-