15.3平行四边形的性质与判定（第2课时平行四边形的判定1、2）（教学课件）数学新教材北京版八年级下册

二、平行四边形 15.3平行四边形的性质与判定 第二课时平行四边形的判定1、2 第十五章 四边形 学 习 目 标 1 2 掌握平行四边形的两种判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形、对角线互相平分的四边形是平行四边形。 能够运用判定定理证明一个四边形是平行四边形，并解决相关几何问题。 3 经历 “发现问题 — 提出猜想 — 验证猜想 — 归纳结论” 的探究过程，体会转化思想和数形结合思想。 复习回顾 1 问题1：什么是平行四边形？ 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。 问题2：平行四边形有哪些性质？ 边：对边平行且相等； 角：对角相等，邻角互补； 对角线：互相平分。 我们已经知道了平行四边形的性质，那么反过来，满足什么条件的四边形是平行四边形呢？这就是我们今天要探究的问题。 新知导入 2 在同一平面内，已长度依次为3cm,4cm,3cm,4cm的四条线段，首尾顺次相接，能否画出一个四边形？若能，它是什么四边形？怎么证明？ 思 考 交 流 与 新知探究 3 探究1 平行四边形的判定定理1 为了制作平行四边形木框，小亮找了长度依次为 30 cm，40 cm，30 cm，40 cm 的四根木条，并按这个顺序将其固定为一个四边形。 思 考 40cm 30cm 40cm 30cm 你能说出这样做的道理吗？ 新知探究 3 探究1 平行四边形的判定定理1 A B C D 将以上问题转化为数学问题 已知：如图 ，在四边形 ABCD 中，AB = CD，BC = AD. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形 . 分析：连接 AC，把四边形分成△ABC 和△CDA. 证明：如图，连接 AC. ∵ AB = CD，BC = AD，AC = AC， ∴ △ABC ≌△CDA. ∴ ∠1 = ∠2，∠3 = ∠4. ∴ AB ∥ CD，BC ∥ AD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 1 2 3 4 新知探究 3 　　 知识归纳 平行四边形的判定定理1： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 几何语言描述： 在四边形ABCD中，∵AB=CD,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. B D A C 探究1 平行四边形的判定定理1 新知探究 3 探究2 平行四边形的判定定理2 小亮的爸爸在制作平行四边形木框时，将两根木条 AC，BD 的中点重叠，并用钉子固定，然后连接 AB，BC，CD，AD，那么四边形 ABCD 就是平行四边形 思 考 你能说出这样做的道理吗？ A C B D 新知探究 3 探究2 平行四边形的判定定理2 将以上问题转化为数学问题 已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD. 求证：四边 形ABCD是平行四边形. A B C D O 证明： 在△AOB和△COD中, OA=OC (已知)， OB=OD (已知)， ∠AOB=∠COD (对顶角相等)， ∴△AOB≌△COD(SAS)， ∴ ∠BAO=∠OCD , ∠ABO=∠CDO, ∴AB∥ CD , AD∥ BC ∴四边形ABCD是平行四边形. 新知探究 3 　　 知识归纳 平行四边形的判定定理2： 对角线互相平分的四边形是平行四边形 探究1 平行四边形的判定定理2 几何语言描述： 在四边形ABCD中，∵AO=CO,DO=BO, ∴四边形ABCD是平行四边形. B O D A C 典例解析 4 例1：已知：如图 15 - 27，在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E，F 分别是 AO，OC 的中点 . 求证：四边形 BFDE 是平行四边形 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC，OB = OD. 又∵ E，F 分别是 AO，OC 的中点， ∴ OE = AO，OF = CO . ∴ OE = OF . ∴ 四边形 BFDE 是平行四边形 . 典例解析 4 例2：如图，在▱ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点， 求证：四边形EBFD是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC,AB＝DC． ∵E,F分别是AB,CD的中点，∴DF＝EB． ∵DF∥EB,∴四边形EBFD是平行四边形． 新知进阶 5 1.如图，AB＝DC＝EF,AD＝BC,DE＝CF．图中有哪些互相平行的线段? 解：∵AD＝BC,AB＝DC, ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC,AB∥DC． ∵DE＝CF,DC＝EF, ∴四边形DCFE是平行四边形， ∴DC∥EF,DE∥CF,∴AB∥EF． 新知进阶 5 2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,且 AO＝CO,AB∥CD．求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵AB∥CD,∴∠BAO＝∠DCO． 在△ABO和△CDO中， , ∴△ABO≌△CDO(ASA), ∴BO＝DO, 又AO＝CO,∴四边形ABCD是平行四边形． 新知进阶 5 3.如图，在▱ABCD中，点E,F分别在BC,AD上，且AF＝CE．求证：四边形AECF是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC,∴AF∥CE． ∵AF＝CE,∴四边形AECF是平行四边形． 课堂练习 6 1.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　） A．OA=OC，OB=OD B．AB=CD，AO=CO C．AB=CD，AD=BC D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD B O D A C B 课堂练习 6 2.如图，在四边形ABCD中， (1)如果AB∥CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是 ___________. (2)如果∠A：∠B：∠ C：∠D=a：b：a：b(a,b为正 数),那么四边形ABCD是__________. (3)如果AD=6cm,AB=4cm,那么当BC=_______cm, CD=_____cm时,四边形ABCD为平行四边形. B D A C 平行四边形 平行四边形 6 4 课堂练习 6 3.如图，已知E，F，G，H分别是▱ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形． 证明：在平行四边形ABCD中， ∠A=∠C，AD=BC, 又∵BF=DH， ∴AH=CF. 又∵AE=CG， ∴△AEH≌△CGF（SAS）， ∴EH=GF. 同理得△BEF≌△DGH（SAS）， ∴GH=EF， ∴四边形EFGH是平行四边形． 课堂练习 6 4.如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？ 解：四边形BFDE是平行四边形． 理由：在▱ABCD中，∠ABC＝∠ADC，∠A＝∠C. ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC， ∠CDF＝∠ADF＝∠ADC， ∴∠CDF＝∠ADF＝∠ABE＝∠CBE. ∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A， ∴∠DFB＝∠BED，∴四边形BFDE是平行四边形． 课堂练习 6 5.如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点．求证： (1)△AOC≌△BOD； (2)四边形AFBE是平行四边形． 证明：(1)∵AC∥BD， ∴∠C＝∠D. 又∵∠COA=∠DOB，AO＝BO ， ∴△AOC≌△BOD(AAS)； (2)∵△AOC≌△BOD， ∴CO＝DO. ∵E、F分别是OC、OD的中点， ∴EO＝FO. 又∵AO＝BO， ∴四边形AFBE是平行四边形． 0 课堂总结 7 知识梳理： 平行四边形的判定定理 1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 平行四边形的判定定理 2：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 方法归纳： 1.证明四边形是平行四边形的常见思路：定义法、判定定理 1、判定定理 2。 2.解题时可根据已知条件选择最简便的判定方法。 思想感悟： 体会转化思想、数形结合思想在几何证明中的应用。 感谢聆听! $