江西省乐平中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷

江西省乐平中学2025-2026学年高一上学期期末考试 数学试卷 （3-27班） 满分：150分；考试时间：120分钟 命题人：程余婧子 审题人：胡柳彬 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（选择题） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．同学们，已经进入年了，那么角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．设集合 ，则（     ） A． B． C． D． 3．已知一组数据为2,3,4,4,5,6,m，则“”是“这组数据的中位数为4”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．已知，则实数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．若 ，则 的最小值是（    ） A． B．4 C． D．3 6．世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定县的情歌木格措景区，被誉为藏在川西的“天空之心”.这个湖泊位于青藏高原，呈现出明亮的蓝绿色，水质清澈宛如明镜.湖泊周围环抱着雪山和梅花峰，景色优美迷人.下图1是这个“心形湖”的轮廓，其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 7．已知实数x，y满足，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 8．小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（    ） A．若事件A与事件B相互独立，， 则 B．若样本数据的方差为10， 则数据的方差为90 C．一个盒子中有3个黑球，2个白球，1个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥 D．这2026个数的上四分位数是507 10．某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图，其中支出在元的学生有45人，则下列说法正确的是（    ） A．样本中支出在元的频率为 B．的值为150 C．采用分层抽样从这45人中抽出10人，则在中共需抽出5人 D．该校学生一周生活方面支出的第75百分位数大约是52元（精确到个位数） 11．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A． B．有3个实数根 C．若有8个实数根，则 D．若有4个实数根，从小到大分别为，，，，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12．已知函数，则 ． 13．已知则 . 14．已知函数，则关于的不等式解集为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15．（1）； （2）已知，求的值. 16．（1）已知函数满足对于任意的，都有，求； （2）已知是一次函数，且，求的解析式. 17．象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决赛、初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成5组：，，，，，并整理得到如图频率分布直方图： (1)根据直方图，求的值，并估计这次知识能力竞赛的众数和中位数； (2)决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为，且各轮比赛结果相互独立.求乙最终获胜的概率. 18．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)求满足不等式的t的取值范围. 19．对于任意两个正数，记曲线与直线轴围成的曲边梯形的面积为，并约定及，德国数学家莱布尼茨发现． (1)证明：． (2)若，试比较与的大小． (3)若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $江西省乐平中学2025-2026学年高一上学期期末考试 数学试卷参考答案 题号 1 2 3 5 6 9 10 11 答案 B & D C B C BC BD ABD 1.C 【详解】2026=5×360°+226,5∈Z,0<226<360°， .2026与226终边相同， 180°<226°<270， 226是第三象限角，故2026°是第三象限角，故C正确. 故选：C. 2.B 【详解】由题知尖合M3N-KeN怪eN-红24网。 故MnN=红，2}. 故选：B. 3.B 【详解】“3≤≤5”，则题中数据从小到大排列为2,3，，4,4,5,6或2,3,4,4，m,5,6, 中位数均为4，充分性成立， “这组数据的中位数为4'，若m<3,仍满足这组数据的中位数为4，必要性不成立， 所以“3≤≤5”是“这组数据的中位数为4'的充分不必要条件， 故选：B 4.D 【详解】由对数函数的图象与性质，可得a=logo32<log31=0,即a<0, 又由0=log31<log2<log3=1,所以0<c<1, 又由d=42=24,指数函数y=2*为单调递增函数，可得23<24=42，所以b<d, 又由23>2°=1，所以1<b<d, 综上可得：d>b>c>a. 答案第1页，共10页 故选：D 5.C 【分析】根据sin2a+cos2a=1,将原式乘以sina+cos2a,进行化简后，利用基本不等式 的性质求出最小值即可 【详解】因为sim2u+cos2=1,所以 +1 2 (2+1 sin'a cos'a sin'a cos2a (sina+cosa)=3+2cosasina sin2a cos2a 因为ae0,所以0<ma<10<os'a<1, 所以根据基本不等式的性质可得 2 1 =3+2cosa+sina≥3+2 2cos'a sin'a =3+21, sin2a cos2a sin2 a cos2a V sin'a cos2a 当且仅当2cos2a-sim2a ,即tan2a=√2时，等号成立， sin2a cos2a 1 此时 2十。 sin2a cos2a 一取最小值为3+2、2 故选：C. 故选：D 6.C 【分析】利用基本不等式可求得y=x√4-x2≤2，知A错误：由x∈(-2,0)时， y=x√4-x2<0可知B错误；根据y=Vx2+2≤1、图象中的特殊点及函数的奇偶性、 单调性可知C正确；根据函数定义域可知D错误。 【详解】对于A,y=V4-=V2(4-x)≤ x2+4-x2 =2（当且仅当x2=4-x2, 2 即x=±√2时取等号)， y=xV4-x2在(-2,2)上的最大值为2，与图象不符，A错误： 对于B,当x∈(-2,0)时，y=xV4-x2<0,与图象不符，B错误： 对于C,y=√x2+2=√-(-1)+1，小当x=1时，m=1: 又y=√x2+2过点(-2,0)，(2,0)，(0,0)： 由-x+2≥0得：-2)≤0，解得：-2≤x≤2，即函数定义域为[-2,2]： 答案第2页，共10页 又V(←x)+2=√x2+2, ∴y=Vx2+2为定义在[-2,2]上的偶函数，图象关于y轴对称： 当x∈[0,2]时，y=Vx2+2x=√-(x-1)+1,则函数在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递 减： 综上所述：y=√-x2+2x与图象相符，C正确： 对于D,由-x2+2x≥0得：0≤x≤2，.y=V-x2+2x不存在x∈(-2,0)部分的图象，D错 误」 故选：C 7.B 【分析】设f(x)=x225+2026x,根据单调性及奇偶性，结合已知求解即可. 【详解】设f(x)=x2025+2026x, 又8(x)=x202,h(x)=2026x均为增函数，且均为奇函数， 所以∫(x)为增函数，且为奇函数， 由题意可得f(x)=1,f(y)=-1, 即f(x)=-f(y)=f(-y), 所以x=-y,即x+y=0. 故选：B. 8.C 【分析】“至少有一天淋雨的对立事件为“两天都不淋雨，对下雨的次数进行分类讨论，求出 各种情况下，两天都不淋雨的概率，再结合对立事件的概率公式可求得所求事件的概率 【详解】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，连续上两天班，上班、下班的次 数共有4次. (1)4次均不下雨，概率为 3 81 256 (2)有1次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为2×× 3)3 54 44 256: 答案第3页，共10页 (3)有2次下雨但不淋雨，共3种情况： ①同一天上下班均下雨： ②两天上班时下雨，下班时不下雨； ③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨， 概率为2× x3+x3x3+x3x3x136 44 44444444256 (4)有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，概率为2× 1336 4 4256 (5)4次均下雨，概率为： 1)4 4256 81,54,36,6,1178 两天都不淋雨的概率为 256256256256256256 所以至少有一天淋雨的概率为：1-1=78-39 256256128 故选：C. 9.BC 【分析】根据概率公式P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),结合独立事件的概率乘法公式可 判断A;根据方差的性质可判断B;根据互斥事件的概念可判断C:根据百分位数的定义直 接计算可判断D. 【详解】对A,因为事件A与事件B相互独立，P(A)=0.4,P(B)=0.3, 所以P(AB)=P(A)P(B)=0.4×0.3=0.12, 则P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.3-0.12=0.58,A错误： 对B,因为样本数据x1,x2,,x6的方差为10， 所以数据3x1-1,3x2-1,…,3x6-1的方差为32×10=90，B正确： 对C,因为不放回地抽取两次最多有一个红球， 所以事件“至少有一个红球”发生时，取到的球必然有两种颜色（红黑或红白）， 此时事件“两个球颜色相同’不可能发生，故两事件互斥，C正确： 对D,因为2026×0.75=1519.5，所以上四分位数是该组数据的第1520个数，即1520，D错 误 答案第4页，共10页 故选：BC 10.BD 【分析】对于A,利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，可判断：对于B,利用 频率、频数以及样本总容量的关系可判断：对C,计算出样本中支出在[30,50)的频率，结 合分层抽样可判断：对D,根据百分位数的定义计算. 【详解】对于A,样本中支出在[50,60]元的频率为1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3，故A 错误： 45 对于B,由A知n= =150,故B正确： 0.3 对于C,样本支出在[30,50)的频率为(0.024+0.036)×10=0.6，则在30,50)中共需抽出 6×(0.6×150)=20人，故C错误： 对于D因为样本中支出在[20,50)的频率为0.7，所以第75百分位数位于区间[50,60]内，记 为x, 则50-07507，解得x=503,所以第75百分位数大约是52元，故D正确， 60-501-0.7 3 故选：BD. 11.ABD 【详解】对于A,由题意， [)2-=3,放A： 对于B,当x≤0时，由f(x)=-x2-4x+1= 2可得2x2+8x-1=0 解得x=-2±万，因x<0故相x=2-多5： 当>0时，由e)-ogx-可得1osx子或ae 3 解得x=22或x=√2， 枚f)-有2-万、反、25类三个实数根，故B正确： 对于C,设t=f(x),则方程f(x)-(x)+2a+1=0即t2-t+2a+1=0, 由图知，要使原方程有8个实数根，需使t-t+2a+1=0有两个相异实根1，t2, 且1≤<5,1≤t2<5,则由△=a2-4(2a+1)>0解得a<4-25或a>4+25, 答案第5页，共10页 a≥-2 8(1)=a+220 设g(t)=t2-at+2a+1,依题意，需使{g(5)=-3a+26>0,则得到{a< 26 3 2<a<10 综上，可得ae4+2W52 3 对于D,作出函数f(x)的图像，由x≤0时，f(x)=-x2-4x+1=-(x+2)+5≤5， 且f(0)=1,可知当1≤t<5时，直线y=t与函数f(x)有两个交点： 又由x>0时，log2x-1= 1-log2x,0<x≤2 og,-1x>2，当1>0时，直线y=t与函数f(x)均有两个 交点， 故由∫(x)=t有4个实数根可得，1≤t<5,由图知，x+x2=2×(-2)=-4, 1-log2x3=log2x4-1,则1og2(xx4)=2,解得xx4=4, 又由1-1g,=5解得x=石由1-18X=1解得x=1,则有 1, 1 于是+品名+4++，因西数y=普在61单调通减，故 4 x16 y=x+4厂1025 5 16 961 y 则x+x2+x3+x,∈ 16 故选：ABD ly=f(x) y=1 x2Ox:2 12.5 【详解】由已知可得： )（-m; 故答案为：√ 18.号 【详解】sim120+c)+sin2(60-a）=sinm(90+30+a)+sim2[90-(30+a)] 答案第6页，共10页 114 =cos(30+a)+cos2(30+a)= 399 故答案为：青 21 【详解】因为f(x)=l1og,(4+1)-x+V2-1=1og,(4+1)-log,2*+Vx2-1 b原i=e,2+2+r1, 由x2-1≥0可得x≤-1或x≥1， 即函数f(x)的定义域为(-，-小U[1,+∞)， 因为f(-x)=1og,(2*+2)+V-x)-1=1og,(2*+2)+V2-1=f(x),所以函数f(x)为偶 函数， 任取x、2[1,+0),且￥1>x2,则2>2≥2，x1+x2>2,2+>4, u=+2则4(2+)（2+)-公-】 =(2-2）29-2-23-22-)） >0,即41>42， 2+ 2+ 所以，函数u=2*+2x在[1，+o)上为增函数，又因为函数y=log2u在(0，+∞)上为增函数， 所以，函数y=log2(2+2)在[1，+∞)上为增函数，又因为函数y=√x2-1在[1，+0)上为增 函数， 故函数∫(x)在[1，+∞)上为增函数， 由f(x+2)>f(2x)可得f(r+2>f(2x),可得x+2>2x≥1， 解得-x对<2 故答案为：子xs或5<2 2 t1o--s5e-合月 …6分 2 答案第7页，共10页 -sinx cosx (2) sin(x+)+cos(n-x)-sinx-cosx=cosx cosx sim+x+cos 3π cosx-sinx cOSx sinx -x 2 2 COS COSX -tanx-1_-3-1_-4 =2.… …7分 1-tanx1-3-2 16【详解1令得)付)解得)片 …5分 (2)因为f(x)是一次函数，所以设f(x)=r+b(k≠0)，…6分 由[f(x)]-f(x2)=4x+2,可得(+b)'-(x2+b)=4x+2, …8分 化简可得(K2-k)x2+2kbx+b2-b=4x+2,…11分 「k2-k=0, 所以2b=4,解得k=1,b=2,故f(x)=x+2.… …15分 b2-b=2, 17.【详解】(1)由频率分布直方图，[50,60)的频率为0.08，[60,70)的频率为0.12，[80,90)的 频率为0.42，[90,100]的频率为0.08， 所以[70,80)的缬率为1-0.08-0.12-0.42-008=0.30，可得a-03-0.030.…3分 10 众数：最高矩形对应区间为[80,90)，中点即为众数：85.…5分 中位数：因为0.08+0.12+0.3=0.5，由频率分布直方图知中位数为80.…7分 (2)因为乙最终获胜，比分可能是2：0,2：1， 设乙2：0获胜为事件A,2:1获胜为事件B, 若乙20统，则减为=-日 …10分 若乙2：1获胜，则概率为P(B)= 1 1214 +3×3×327 …13分 又.B丙个事件互斥，则乙最终获陆的概率为P心国+/®到-715分 18.【详解】(1)由x∈[-2,0)，则-x∈(0,2]，所以f(-x)=2+(x), 答案第8页，共10页 所以f=-1()-分)=x2 …5分 (2)f(x)在[-2,2]上单调递增，证明如下， 令0<x1<x2≤2，则f(x)-f(x2)=21+x1-2-x2=(2-25)+(1-x2), 由2-2<0，x-x2<0,所以f()-f(x2)<0,即f(x)<f(x2),…7分 所以f(x)在(0,2]上单调递增，由奇函数的对称性知f(x)在[-2,0)上单调递增， 结合(1)及已知区间解析式知：-2≤x<0时f(x)<0- 2=-1,0<x≤2时f(x)>2°+0=1， 又∫(0)=0，则-1<0<1，所以f(x)在-2,2]上单调递增；…10分 3由+》f-≥0，则+》--=-0. 2*2 5 3 ≤t≤ 2 由f(x)在-2,2]上单调递增，则{-2≤1-t≤2，可得{ -1≤t≤3， t+>1-t 2 t74 3 …17分 、4 19.【详解】(1)当u≥1时，L(,v)=L(1,v)-L(L,=lnv-lu;…1分 当v≤1时，L(4,y)=L(u,1)-L(y,1), .L(,v)=Z(u,1)-L(y,1)=L(L,y)-(（1,u)=lnv-hnu;… …3分 当u<1<v时，L(4)=L(,1)+L(1,v), .L(w,y)=L(u,l)+L(1,y)=Z(1,v)-L(1,u）=hv-lnu,…5分 综上所述，L(山，y)=hv-h山.…6分 (2)L(d,v）=lw-n, u" ÷z(u,r）--w)-m--(r-w）he- e onv .i(w.r)-(v-u)-hf2)-h(2>0. 答案第9页，共10页 故L(,v）>v-.…10分 (3)f(x)=[L(1,x]+Z(x2,x')+L(e2,e2）,L(1,x)=lnx,L(u,y)=lv-lu, [L.x)J=(Inx),L(x,x)=iInx-2Inx=(t-2)Inx, L(e2,e2)=lne2-lne2=2-（2)=4, ..f(x)=(Inx)2+tlnx -2lnx+4, 12分 xe(1,e3],hre(0,3], ·f(x)在(1，e]上恰有两个零点， 等价于关于x的方程x+4+i-2=0在L,e]上有两个不相等的根。 即直线y=-与函数g(m=m+4-2的图象在me(0,3]上有两个交点，…14分 之 ,8()在(0,2]上单调递减，在(2,3]上单调递增， .8(0m）mm=g(2)=2, …17分 答案第10页，共10页