第08讲 不等式（组）及其应用（复习讲义，4考点15题型4重难）（湖南专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“不等式（组）及其应用”专题，覆盖不等式性质、解法及实际应用等中考核心考点，以“概念-解法-应用”逻辑构建知识网络，通过考情剖析、考点解析（分4大命题点16类题型）、真题训练（湖南中考及模拟题）等环节，系统突破含参问题、方案设计等难点。 亮点在于“分层突破+核心素养融合”策略，如用“口诀法”强化不等式组解集判断（培养推理意识），通过“销售利润问题”建模训练（发展模型观念），设置“基础-能力-新趋势”三级练习。提供命题预测与易错点提示，助力教师精准把控复习节奏，提升学生解题规范性与应考能力。

第二章 方程（组）与不等式（组） 第08讲 不等式（组）及其应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 不等式及其基本性质 题型01不等式的有关概念 题型02不等式的基本性质 题型03数轴与不等式综合 命题点二 一元一次不等式的解法 题型01 列一元一次不等式 题型02 一元一次不等式的解集在数轴上表示 题型03 解一元一次不等式（计算题） 题型04 已知一元一次不等式解集的情况求参数 命题点三 一元一次不等式组的解法 题型01 一元一次不等式组与数轴结合 题型02 解一元一次不等式组（计算题） 题型03已知一元一次不等式组整数解求参数 题型04已知一元一次不等式组有无解求参数 题型05已知一元一次不等式组解的情况求参数 命题点四 一元一次不等式（组）的实际应用 题型01 销售利润问题 题型02 方案问题 题型03其它问题 05·重难突破·思维进阶难 25 突破一 利用等式与不等式的综合 突破二 利用不等式求最值 突破三 不等式组与方程组综合 突破四 一元一次不等式组中探究问题 06·优题精选·练能提分 29 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 不等式及其性质 / / 理解不等式的基本性质，能进行不等式的变形和判断。 一元一次不等式的解法 / / 掌握一元一次不等式的解法，能在数轴上表示解集。 一元一次不等式组的解法 长沙市卷T18 湖南省卷T18 / 会解一元一次不等式组，能在数轴上表示解集，会求整数解。 一元一次不等式(组)的实际应用 长沙市卷T22 湖南省卷T22 长沙市卷T22 湖南省卷T23 能从实际问题中抽象出不等式（组），解决实际应用问题。 不等式与函数的综合应用 / 长沙市卷T25 能结合函数图像解决不等式问题，理解函数值与不等式的关系。 命题预测 1. 基础考查稳定（选择/填空，3-6分） 不等式性质：判断不等式变形是否正确；解不等式（组）：基础解法，数轴表示解集 简单应用：根据题意列不等式 2. 应用题型突出（解答题，6-10分） 方案选择问题：两种或多种方案的费用比较；最值问题：在满足条件下求最大利润、最少费用；资源分配问题：有限资源的优化分配 3. 综合应用深化（解答题，8-12分） 与一次函数结合：建立函数模型，通过不等式确定取值范围；与实际问题结合：跨学科、生活化的应用情境；多步推理问题：需要多个不等式联立求解 4. 创新考查可能（压轴题，6-10分） 新定义不等式：结合新概念考查不等式解法；含参不等式：参数讨论与分类求解；不等式证明：简单的不等式关系证明。 备考建议 通过专项训练熟练掌握不等式的基本性质、解题步骤及数轴表示方法，攻克系数化为 1 时不等号方向变化、参数取值范围等易错点；再聚焦实际应用题型，总结 “设未知数 — 找不等关键词 — 列不等式 < 组 >— 验实际解” 的解题流程，积累不同场景的解题模板；最后加强与一次函数的综合训练，重点掌握利用不等式组确定自变量范围、结合函数增减性求最值的方法，同时通过真题限时训练提升解题速度和规范性，确保基础题不丢分、中档题稳得分、压轴题争得分。 考点一 不等式及其基本性质 一、不等式的相关概念 不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 二、不等式的基本性质 性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变； 若 性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变； 若或 性质3：不等式两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 若，则或 性质4： 等式两边乘除任意非零数，等式仍成立；但不等式两边乘除负数时，不等号方向必须改变。 很多学生类比等式的运算规则，误认为不等式也能直接相减、相除，忽略了性质的适用条件。 1.（2025·湖南娄底涟源·三模）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2.（2025·湖南·模拟预测）若m＞n，则下列不等式正确的是（　　） A．m﹣2＜n﹣2 B． C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n 3．（2025·湖南·模拟预测）下列命题中是假命题的是（　　） A．方程有两个相等的实数根 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．若，则当时， D．对角线相等的四边形是矩形 4.（2025·湖南长沙·模拟预测）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 考点二 一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的基本步骤 1.去分母 根据不等式的基本性质，两边同时乘所有分母的最小公倍数，消去分母。 注意：若最小公倍数为负数，不等号方向要改变；若分母中有小数，可先化为整数再计算。 示例：解不等式，两边乘2得。 2.去括号 运用乘法分配律去掉括号，注意符号变化：括号前是“—”时，括号内各项要变号。 示例：接上述不等式，去括号得。 3.移项 把含未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边，移项要变号(依据不等式加减性质)。 示例：接上述不等式，移项得。 4.合并同类项 分别合并含未知数的项和常数项，化为的形式。 示例：接上述不等式，合并同类项得-3 5.系数化为1 两边同时除以未知数的系数a,转化为最简形式。这是最易出错的关键步骤： 若，不等号方向不变，得(或对应其他符号)； 若，不等号方向必须改变，得(或对应其他符号)。 示例：接上述不等式，系数，两边除以-5，不等号变向，得 1.（2025·湖南永州·模拟预测）解不等式：，并在数轴上表示它的解集和直接写出它的非负整数解． 2.（2025·湖南郴州·模拟）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 3.（2025·湖南武冈·模拟）下面是两位同学在讨论一个不等式． 根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（   ） A． B． C． D． 4.（2025·湖南十三州市·模拟）若关于x的不等式的解集是，则a的取值范围为 ． 考点三 一元一次不等式组的解法 1.解组内每一个一元一次不等式 按照一元一次不等式的解法步骤(去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1),分别求出不等式组中每个不等式的解集。 注意：系数化为1时，若系数为负数，不等号方向必须改变。 2.利用数轴或口诀确定公共解集 这是解不等式组的关键步骤，有两种常用方法： 方法一：数轴法(直观准确，推荐中考使用) ①画出数轴，标注出每个不等式的解集； ②找出数轴上所有解集重叠的区域，该区域就是不等式组的解集； ③若没有重叠区域，则不等式组无解。 方法二：口诀法（快速判断，适合简单不等式组） 不等式组解集类型 口诀对应 示例 最终解集 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小找不到 无解 3.写出不等式组的最终解集 根据公共区域的判断结果，规范写出解集；若无解，直接注明“不等式组无解”。 注意：解集的书写要符合规范，如，不能写成。 1.（2025·湖南长沙·中考真题）解不等式组： 2.（2025·湖南岳阳·一模）如果一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是 ． 3.（2025·湖南常德·模拟预测）若关于的不等式组的整数解恰有个，则的取值范围是为 ． 4.（2025·湖南岳阳·一模）解不等式组，并在数轴上表示它的解集．    考点四 一元一次不等式(组)的实际应用 一、核心思路：“转化—求解一验证”三步逻辑 1.第一步：实际问题→不等关系转化 这是解题的前提，关键是从题干中提取显性和隐性的不等条件。 ①抓显性关键词：直接锁定表示不等关系的词汇，如“至少(≥)"“至多(≤)"“超过(>)"“不足(<)”“不低于”“不超过“等，根据关键词确定不等号方向。 ②挖隐性限制条件：这类条件题干不会直接说明，但必须满足，如“人数为正整数”物品数量为非负整数”“时间/长度为正数”等，这是后续验证解集的重要依据。 ③设未知数：通常设所求量为x,若有多个相关量，用含x的代数式表示其他量，设未知数时要带单位，表述清晰。 2.第二步：不等关系→不等式（组）求解 这是解题的核心，需要用数学符号语言翻译第一步找到的不等关系。 ①列不等式（组）：用含未知数的代数式表示各量，结合不等关键词列出不等式；若有多个不等条件，需列出不等式组。 ②解不等式（组）：按照一元一次不等式（组）的解法步骤求解，系数化为1时注意判断系数正负，不等号方向是否需要改变；解不等式组时取各不等式解集的公共部分。 3.第三步：数学解集→实际意义验证 这是解题的关键收尾步骤，也是中考的高频丢分点。 验证逻辑：数学解集是理论范围，必须结合实际问题的意义筛选，比如人数、物品件数只能是正整数或非负整数，单价、时间只能是正数。 得出结论：若解集为连续范围，需提取其中符合实际的整数解；若题目要求“设计方案”，需列出所有符合条件的解；若要求“最值”，需在整数解中找到最大或最小值。 1.（2024·湖南长沙·中考真题）刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元． (1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？ (2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？ 2.（2025·湖南·模拟预测）中国正从人形机器人参与者向引领者迈进．全球唯一全工业门类基底支撑核心部件国产化，2025春晚《秧》缔造现象级场景——16台宇树机器人以每秒5次动态平衡校准的极致控制，完成东北秧歌32式传统动作，手绢转速与人体演员误差小于0．02秒，在非遗活化领域树立人机协同新范式．已知该机器人初始电量为个单位以下都是初始状态开始，跳舞每移动米，消耗个单位电量，每完成一个动作如转动手绢，跳跃，旋转等消耗个单位电量其它电量消耗忽略不计． (1)如果机器人先移动了米，然后完成了个动作，求此时的剩余电量； (2)在一次任务中机器人需要完成一段路程为米为整数的移动任务，并执行一些动作． 如果执行个动作后，机器人的剩余电量恰好为个单位，求的值； 如果完成动作电量消耗是移动电量消耗的倍时为最佳动作设计，则最佳动作设计最多可完成几个动作？ 3.（2025·湖南长沙·模拟预测）在国家大力推动低空经济高质量发展的战略背景下，某航摄公司为扩大业务，计划购买，两款无人机．已知款无人机的单价比款无人机的单价贵3500元，用250000元购买款无人机的架数是用240000元购买款无人机架数的． (1)求款无人机和款无人机的单价； (2)航摄公司采购时恰逢该厂家进行促销：A款无人机八折优惠．若购买A，B两款无人机共120架，且款无人机架数不少于款无人机架数的一半，请问分别购买，款无人机多少架时，航摄公司花费最少？ 3.（2025·湖南·模拟预测）某中学为了准备体育中考，采购了A，B两种品牌的排球，第一次采购A种排球100个，B种排球60个，采购费用为10320元；第二次采购了A种排球50个，B种排球90个，采购费用为9480元． (1)求A，B两种排球的采购单价分别为多少元． (2)商场通过一段时间的营销后发现，B种排球的销售比A品牌好，商场决定再采购一批排球，要求：①采购B种排球的数量比A种排球的2倍多30个，且A种排球的采购数量不低于50个；②采购两种排球的总费用不超过13 000元．请问：该商场有哪几种采购方案？ 命题点一 不等式及其基本性质 ►题型01 不等式的有关概念 1. 方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系. 2. 常见的不等号有：≠，>，≥，<，≤五种. 3. 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点. 4. 不等式的解与不等式的解集的区别与联系： 1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值. 2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值. 3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解. 【典例】（2025·湖南永州·模拟）下列式子①；②；③；④；⑤中，是一元一次不等式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】（2025·湖南常德·模拟）若是关于x的一元一次不等式，则a的值为（   ） A．2 B．－1 C．0 D．0或2 【变式2】（2025·湖南永州·模拟）下列说法错误的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的整数解有无数个 C．不等式的整数解是0 D．是不等式的一个解 【变式3】（2025·湖南·模拟）一个数m的2倍与数n的差不小于5，写出这个不等式 ． ►题型02 不等式的基本性质 利用不等式基本性质判断不等式是否成立，核心是紧扣性质条件，逐一验证变形过程是否符合规则，尤其注意乘除负数变号和性质适用范围两大关键点。 一、核心判断步骤 1.明确已知不等式关系 先确定题干给出的基础不等式(如a>b),以及附加条件(如c>0、c<0或c=0)。 2.分析变形方式 观察待判断不等式是由已知不等式经过加减、乘除、移项中的哪种变形得到的。 3.对照性质验证 结合不等式的基本性质，判断变形过程是否合规： 加减变形：两边同时加减同一个数/式，不等号方向一定不变； 乘除变形：乘除正数，不等号方向不变；乘除负数，不等号方向必须改变；乘除0，不等式变等式； 传递性/同向相加：仅适用于同向不等式，异向不等式无此性质。 4.得出结论 变形符合性质则不等式成立，不符合则不成立。 【典例】（2025·湖南株洲·模拟）下列不等式的变形不一定成立的是（　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（2025·湖南邵阳·模拟）已知，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C．6 D．2 【变式2】（2025·湖南邵阳·模拟）如果不等式的解集为，则必须满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·湖南·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4】（2025·湖南张家界·模拟）阅读下列解题过程，再解题．已知，试比较与的大小． 解：① ② 故③ 问： (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． ►题型03 数轴与不等式的综合 【典例】（2025·湖南株洲·模拟）数轴是认识数形结合的重要工具．如图，完整的数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南·模拟）已知，实数，在数轴上的对应的点如图所示，化简的结果正确的是（   ）    A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南衡阳·模拟预测）2029全运会花落湖南，数学小组以此为彩头，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“湘约运算”．实数，在数轴上的位置如图所示，例如：．由此“湘约运算”与原代数式之和为（   ） A． B．0 C． D．2 命题点二 一元一次不等式的解法 ►题型01 列一元一次不等式 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的提示还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式 6x≤50. 【典例】（2025·湖南永州·模拟）年道州龙船赛期间，为满足停车需要，组委会要求施工方将观礼台附近的空地平整为临时停车位，完成平整时间是小时内．开始的半小时，由于天气原因，只平整了．若施工方在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）“x的2倍与4的和不小于15”，用不等式表示 ． 【变式2】（2025·湖南湘潭·模拟）一次知识竞赛共有20道选择题，答对一题得5分；答错或不答，每题扣1分．要使总得分不少于88分，则至少要答对几道题？若设答对道题，可列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南邵阳·模拟）第十四届冬运会期间，某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，冬运会结束后，商店准备将这批服装降价处理，打折出售，使得每件衣服的利润率不低于，根据题意可列出来的不等式为（  ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·湖南张家界·模拟）把“x的2倍与3的差不大于4”用不等式表示为 ． ►题型02 一元一次不等式的解集在数轴上表示 一元一次不等式的解在数轴上表示的核心思路是“先求解集，再规范标注”，本质是将抽象的代数解集转化为直观的数轴图形，关键要把握点的类型（空心/实心）和射线方向两大要素。具体解题思路分为三步： 一、第一步：准确求解一元一次不等式的解集 这是数轴表示的前提，若解集计算错误，后续数轴标注必然出错。 1.按照一元一次不等式的标准解法步骤计算：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 2.核心注意点：系数化为1时，必须判断系数的正负—系数为正，不等号方向不变；系数为负，不等号方向改变。 第二步：依据解集，对照选项逐项排除 拿到解集后，从两个关键维度验证选项，不符合任一维度即可直接排除： 维度1：判断关键点的标注类型(空心圆圈/实心圆点) 规则：带等号(≥、≤)→实心圆点；不带等号(>、<)→空心圆圈。 示例：解集x <2→关键点2处是空心圆圈，选项中若标实心圆点，直接排除。 维度2：判断射线的延伸方向 规则：大于(>、≥)→向右画射线；小于(<、≤)→向左画射线。 示例：解集x<2→从2的空心圆圈向左延伸，选项中若向右延伸，直接排除。 第三步（验证）：代入特殊值，确认选项正确性 若排除后仍有模糊选项，可选取选项数轴上的一个点代入原不等式验证： 若点在解集内，代入后不等式应成立；若点不在解集内，代入后应不成立。 【典例】（2025·湖南·模拟预测）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南娄底·一模）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南·模拟）已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）不等式的解在数轴上可以表示为（    ） A． B． C． D． ►题型03 解一元一次不等式（计算题） 解一元一次不等式的计算步骤与解一元一次方程类似，但因不等号方向的变化规则，衍生出专属易错点，这些也是中考计算题的主要丢分点，具体归纳如下： 1.漏乘不含分母的项 去分母时，两边需同乘所有分母的最小公倍数，每一项都要乘，包括常数项和不含分母的项，学生易忽略常数项的乘法运算。 错误示例：解不等式，两边乘2，错误得 正确解法：两边乘2，得。 2.分母为负数时，未变不等号方向 若不等式两边同乘负数去分母，不等号方向必须改变，学生常忽略这一规则。 错误示例：解不等式，两边乘-3,错误得x<-6; 正确解法：两边乘一3，不等号变向，得x>－6。 3.为负数时，未改变不等号方向 这是解不等式计算的头号丢分点，学生常照搬解方程的思路，忽略“乘除负数要变号”的规则。 错误示例：解不等式，两边除以-4，错误得； 正确解法：两边除以-4，不等号变向，得。 关键提醒：系数化为1前，先判断系数正负：系数正不等号方向不变；系数负，必须变向。 【典例】（2025·湖南武冈·期中）解不等式：． 【变式1】（2025·湖南娄底新化·模拟）下面是小明同学解不等式的过程，请阅读并完成相应任务． 解：⋯⋯第一步 ，⋯⋯第二步 ，⋯⋯第三步 ，⋯⋯第四步 (1)任务一： ①以上解题过程中，第一步变形的依据是 ； ②第 步出现错误，这一步出现错误的原因是 ； (2)任务二：请直接写出该不等式的正确解集，并把解集表示在数轴上． 【变式2】（2025·湖南衡阳·模拟）当取什么值时，代数式的值大于的相反数？ 【变式3】（2025·湖南邵阳·月考）解不等式并将其解集在数轴上表示出来． 【变式4】（2025·湖南·模拟预测）解不等式：，并写出该不等式的最大整数解． 【变式5】（2025·湖南衡阳·模拟）已知有理数、，定义一种新运算“*”，规定：（、均不为零）．等式右边的运算是通常的四则运算，例如．已知，． (1)求，的值． (2)求的最小整数解． ►题型04 已知一元一次不等式解集的情况求参数 【典例】（2025·湖南·随堂练习模拟预测）若不等式的最小整数解是方程的解，则的值为 ． 【变式1】（2025·湖南岳阳·模拟）已知关于x的不等式的正整数解为1，2，3，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南张家界·模拟）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ． 【变式3】（2025·湖南·模拟）若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为 ． 命题点三 一元一次不等式组的解法 ►题型01 一元一次不等式组与数轴结合 【典例】（2025·湖南娄底·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南郴州·模拟预测）若点在平面直角坐标系的第四象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南常德·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南·模拟）一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集是（    ）    A． B． C． D． 【变式4】（2025·湖南·模拟预测）解集在数轴上表示如图的不等式组为（　　） A． B． C． D． ►题型02 解一元一次不等式组（计算题） 解一元一次不等式组的核心是“先解单个不等式，再取公共解集”,易错点集中在单个不等式求解错误、公共解集判断偏差和细节规范失误三类，具体梳理如下： 一、解单个不等式时的“连带错误” 这类错误会直接导致后续公共解集判断全部出错，是最基础也最易忽略的问题。 1.系数化为1时，乘除负数忘变号 解组内单个不等式时，若系数为负，不等号方向必须改变，学生常照搬解方程思路，忽略变号规则。○错误示例：解不等式-2x>4,错误得x>-2; 正确结果：x<-2。 2.去分母漏乘常数项、去括号漏变号 去分母时未给不含分母的项乘最小公倍数，或括号前早负号时，括号内部分项未变号，导致单个不等式解集错误。 二、公共解集判断的核心易错点 这是解不等式组的专属易错点，也是中考丢分重灾区。 1.混淆口诀适用场景，错判公共解集 对“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的口诀理解模糊，尤其含等号时易出错。 ○错误示例：解不等式组,错误认为解集是 正确判断：属于“大大小小找不到”,不等式组无解。 关键提醒：判断前先把每个解集整理成或的形式，再对比大小。 2.数轴标注时，空心圆圈与实心圆点混淆 用数轴找公共解集时，把“>、<”对应的空心圆圈，和“≥、≤”对应的实心圆点搞混，导致公共范围判断失误。 错误示例：解集x>3在数轴上标成实心圆点； 正确规则：带等号用实心，不带等号用空心。 3.遗漏“等号”对公共解集的影响 忽略等号是否包含在解集中，导致解集边界错误。 错误示例：不等式组，错误认为无解； 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．    【变式1】（2025·湖南永州·一模）解不等式组． 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得_______； (2)解不等式②，得_______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来． 【变式2】（2025·湖南怀化·一模）不等式组的解集为(     ) A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南永州·三模）解不等式：，并写出整数解． 【变式4】（2025·湖南永州·二模）有一个两位数，它的十位上的数字是个位上的数字的一半，且个位上的数字x满足条件则这个两位数是多少？ ►题型03 已知一元一次不等式组整数解求参数 【典例】（2025·湖南永州·适应性模拟）关于的不等式组仅有4个整数解，则的取值范围为 ． 【变式1】（2025·湖南·模拟）若关于的不等式组恰有三个整数解，则实数的取值范围是 ． 【变式2】（2025·湖南湘西·模拟）已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南岳阳·模拟）关于x的分式方程有负整数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．2 B．0 C． D．4 ►题型04 已知一元一次不等式组有无解求参数 【典例】（2025·湖南娄底·模拟预测）若不等式组无解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南郴州·模拟）已知关于的不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）已知不等式组有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南娄底·二模）若不等式组有解，则的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式4】（2025·湖南·模拟预测）若关于x的一元一次方程的解为正整数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 ►题型05 已知一元一次不等式组解的情况求参数 【典例】（2025·湖南·模拟预测）如果一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是 ． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）已知不等式组 的解集是，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟）已知不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）已知关于的不等式组下列四个结论： ①若它的解集是，则； ②若，不等式组有解； ③若它的整数解仅有3个，则的取值范围是； ④若它无解，则． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4】（2025·湖南·模拟预测）不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． 命题点四 一元一次不等式（组）的实际应用 ►题型01 销售利润问题 销售利润类应用题是中考的高频题型，核心解题思路是“梳理利润公式一提取不等关系→建立不等式模型→结合实际求解”,关键是理清成本、售价、销量、利润之间的数量关系，再结合题干中的“最多”至少”“不超过“等关键词列出不等式(组)。 一、先掌握核心公式(解题基础) 解决利润问题的前提是熟记以下公式，避免因公式混淆导致列式错误： 1.单件利润=单件售价-单件进价(成本) 2.总利润=单件利润×销售数量 拓展公式：总利润=总销售额-总成本 3.常见限制条件：销售数量为非负整数；售价≥进价(保证不亏本) 二、四步解题法(核心逻辑) 1.审：梳理题干信息，提取关键条件 ●找出已知量：进价、售价、固定销量/销量与售价的关系、利润目标等； ●圈画不等关键词：确定不等关系，常见表述有 ①利润“不低于"/"至少”达到多少元→总利润≥目标利润 ②利润“不超过”多少元→总利润≤目标利润 ③进货量“最多”/“最少”为多少→进货数量≤/≥限定值 ●明确未知量：通常设进货数量或调价后的售价为x。 2.设：合理设未知数，表示相关量 ●若题干涉及两种商品，设其中一种商品的进货量为x,另一种用含x的代数式表示(如两种商品共进货100件，设甲x件，则乙(100-x)件); ●若涉及售价调整，设调价后售价为x,则单件利润为(x—进价)。 3.列：根据不等关系，建立不等式（组） 这是解题的核心步骤，结合总利润公式和不等关键词列不等式： 基本模型：单件利润×销售数量≤/≥目标利润 若有多个限制条件（如进货总量限制+利润限制），则列出不等式组。 【典例】（2025·湖南长沙·二模）近期，全国文化和旅游业呈现出快速复苏的良好势头，据美团、大众点评数据显示，今年沈阳旅游订单（含酒店、景点门票）同比增长超．世界文化遗产故宫是热门的旅游目的地之一．某故宫文创店积极为旅游热门活动做好宣传与备货工作．已知该文创店销售甲、乙两种文创产品，每个甲种文创的进价比每个乙种文创的进价多4元；购进16个甲种文创产品和10个乙种文创产品共花费220元．文创店将每个甲种文创售价定为13元，每个乙种文创售价定为8元． (1)每个甲种文创和每个乙种文创的进价分别是多少？ (2)根据市场调查，文创店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种文创共400个，假设这400个文创能够全部卖出，请设计出总利润最大的购进方案，并说明理由． 【变式1】（2025·湖南长沙·三模）“茶颜悦色”是长沙网红奶茶品牌，以其独特的口味和精美的包装吸引无数游客．某门店销售两种口味的奶茶饮品，若购买3杯种口味奶茶饮品和4杯种口味奶茶饮品共需125元；若购买1杯A种口味奶茶饮品和3杯B种口味奶茶饮品共需75元． (1)A种口味奶茶饮品和B种口味奶茶饮品价格分别是多少元一杯？ (2)若旅游团队需要购买两种口味奶茶饮品共30杯，其中种口味的数量至少比种口味的数量多5杯，怎样购买才能使总费用最少?并求出最少费用． 【变式2】（2025·湖南衡阳·二模）因为我市体育中考改革，篮球、排球增选为运动技能选考项目，我校为更好开展球类课程，计划在某体育用品店购买一批篮球和排球，已知购买个篮球和个排球共需元，篮球的单价比排球单价的倍少元． (1)求篮球、排球的单价分别是多少元． (2)现学校准备购买篮球、排球共个，总费用不超过元，那么至多可以购买篮球多少个？ 【变式3】（2025·湖南·二模）加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多元，且用元购买甲种分类垃圾桶的数量与用元购买乙种分类垃圾桶的数量相同． (1)求甲、乙两种分类垃圾桶的单价； (2)该社区计划用不超过元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？ ►题型02 方案问题 【典例】（2024·湖南长沙·模拟预测）为提高学生综合素养，我市某中学拟组织学生进行红色之旅研学活动，相关组织老师发现：若按原计划租用可坐乘客45人的种客车若干辆，则有30人将没有座位；若租用可坐乘客60人的种客车，则比原计划可少租6辆，且恰好坐满． (1)求本次红色之旅研学活动共有多少人参加？原计划租用种客车多少辆？ (2)若该校更改计划，同时租用、两种客车共25辆，要求种客车不超过7辆，且座位有剩余，则有哪些租车方案？ (3)在（2）的条件下，若种客车租金每辆300元，种客车租金为每辆220元，应该怎样租车才最合算？ 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南张家界·模拟）某古城一商铺打算购进，两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购种的件数是630元采购种件数的2倍，种的进价比种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购种的件数不低于390件，不超过种件数的4倍． (1)求，饰品每件的进价分别为多少元？ (2)若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购种超过150件时，种超过的部分按进价打6折．设购进种饰品件， ①求的取值范围； ②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润． 【变式3】（2025·湖南娄底·三模）袁隆平爷爷多次说：“中国人要把饭碗牢牢地端在自己的手里！”为扩大粮食生产规模，稻田公园生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机，已知购进1件甲种农机和1件乙种农机共需2万元，购进2件甲种农机和3件乙种农机共需5.5万元． (1)求购进1件甲种农机和1件乙种农机各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机共10件，且投入资金不少于9.5万元且不超过12万元，则有哪几种购买方案？ ►题型03 其它问题 【典例】（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住人，则还有人无宿舍住；若每间住人，其余宿舍住满，且有一间宿舍不空但所住的人数不足人．若设宿舍间数为，根据题意应满足的不等式（组）为 ． 【变式2】（2025·内蒙古·中考真题）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个． (1)求的值； (2)现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个? 【变式3】（2025·湖北·中考真题）某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克． (1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ (2)妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果千克． ①若这两种水果按标价出售，求的取值范围； ②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款48元，求的值． 突破一 利用等式与不等式(组)综合 【典例】已知实数a，b，c满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·福建·中考真题）（1）当取什么值时，不等式对一切实数都成立？ （2）若实数，，满足，则称比远离．对任意两个不相等的实数，，证明比远离． 【变式2】如果关于的分式方程有正整数解，且关于的一元一次不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的和为（　　） A． B． C． D． 【变式3】从3，，，1，这5个数中，随机抽取一个数记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之积是（   ） A． B．3 C． D． 【变式4】关于的一元二次方程的两根是和，若，则下列选项正确的是（    ） A．、 B． C． D． 突破二 利用不等式求最值 【典例】阅读材料： 已知为非负实数，，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知，求代数式的最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当___________时，代数式取到最小值，最小值为___________． (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (4)若为任意实数，代数式的值为m，则m的取值范围为___________． 【变式1】已知a、b、c均为正数，且，则的最小值为 ． 【变式2】已知，当取最小值时，S的取值范围是 ． 突破三 不等式组与方程组的综合 【典例】关于x、的方程组的解是非负数，关于的不等式组有解，则满足条件的整数m的和为 （   ） A． B． C． D． 【变式1】若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【变式3】若关于x的方程 +＝3的解为正数，则m的取值范围是 ． 【变式4】对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为．即：当n为非负整数时，如果，则．反之，当n为非负整数时，如果，则，例如：，，． 试解决下列问题： (1)填空：①___________（π为圆周率）；②如果，则实数x的取值范围为___________． (2)①若关于x的不等式组的整数解恰有3个，则a的取值范围是___________． ②若关于x的方程有正整数解，求m的取值范围． (3)求满足的所有非负整数x的值． 突破四 一元一次不等式组中探究问题 【典例】某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用、两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．型车每辆租金元，型车每辆租金元．若辆型和辆型车坐满后共载客人；辆型和辆型车坐满后共载客人． (1)每辆型车、型车坐满后各载客多少人？ (2)若该校计划租用型和型两种客车共辆，总租金不高于元，并将全校人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ (3)在这次活动中，学校除租用、两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为千米，甲车从学校出发小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早小时到达目的地．下图是两车离开学校的路程（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，为何值时两车相距千米． 【变式1】某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 0 2 3 5 6 … 竖直高度 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． 【应用模型】 （1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． （2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为，发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求的取值范围． 【变式2】）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 1.（2025·湖南·模拟预测）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·湖南湘潭·模拟预测）关于的不等式的解集为 ． 3.（2025·湖南娄底·模拟预测）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 4.（2025·湖南·模拟预测）不等式组的解集为（      ） A．且 B．且 C． D．且 5.（2025·湖南·模拟预测）小明计划用40元购买甲，乙两种不同类型的笔记本，已知甲种笔记本每本3元，乙种笔记本每本4元，在40元钱刚好用完且每种笔记本至少要买一本的情况，小明的购买方案有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 6.（2025·湖南·模拟）关于的一元一次不等式至少有两个负整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.（2025·湖南郴州·二模）小明去食堂排队取餐，看到甲、乙两窗口排队的人数均为，选择在甲窗口排队取餐．观察发现：甲、乙窗口的取餐速度分别为4人/分钟和6人/分钟，且乙窗口每分钟新增4人排队取餐（假定后续同学按此速度取餐）．2分钟后，小明选择到乙窗口重新排队取餐，则小明在乙窗口排队取到餐所需时间为 （用含m的式子表示）．若小明在乙窗口取到餐所需时间，比不换队伍继续在甲窗口排队取到餐所需时间少，不考虑其他因素，则排队人数m的最小值为 ． 8.（2025·湖南长沙·一模）解不等式组并写出它的非负整数解． 9.（2025·湖南衡阳·一模）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．若一次函数图象上存在“近轴点”．则m的取值范围为 ． 10.（2025·湖南娄底·二模）中考在即，为了缓减学生的学习压力，某中学组织九年级450名师生前往曾国藩故居开展研学活动，如果租用10辆A型巴士和8辆B型巴士，则有10人没有座位，如果租用8辆A型巴士和10辆B型巴士，则还有10个空座位． (1)求每辆A型巴士和每辆B型巴士的座位数； (2)学校决定租用两种型号的巴士共20辆，且B型巴士最多租8辆，已知每辆A型巴士和每辆B型巴士的租金分别为750元和900元，若要使参加活动的师生均有座位，则共有多少种租车方案？最低租车费用是多少？ 11.（2025·湖南·模拟）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的相伴方程． (1)问方程是不是不等式组的相伴方程？请说明理由； (2)若关于x的方程是不等式组的相伴方程，求a的取值范围； (3)若方程和都是关于x的不等式组的相伴方程，求k的取值范围． 1.（2025·山东济南·中考真题）已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2.（2025·吉林·中考真题）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3.（2025·内蒙古·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4.（2025·四川宜宾·中考真题）采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 5.（2025·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 6.（2025·四川南充·中考真题）不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 7.（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ． 8.（2025·山东淄博·中考真题）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是 ． 9.（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 10.（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11.（2025·陕西·中考真题）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 12．（2025·西藏·中考真题）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 13.（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 14.（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 15.（2025·黑龙江绥化·中考真题）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和2颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元． (1)求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． (2)若该公司计划购买、两种型号的芯片共频，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． (3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是________． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第08讲 不等式（组）及其应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 16 命题点一 不等式及其基本性质 题型01不等式的有关概念 题型02不等式的基本性质 题型03数轴与不等式综合 命题点二 一元一次不等式的解法 题型01 列一元一次不等式 题型02 一元一次不等式的解集在数轴上表示 题型03 解一元一次不等式（计算题） 题型04 已知一元一次不等式解集的情况求参数 命题点三 一元一次不等式组的解法 题型01 一元一次不等式组与数轴结合 题型02 解一元一次不等式组（计算题） 题型03已知一元一次不等式组整数解求参数 题型04已知一元一次不等式组有无解求参数 题型05已知一元一次不等式组解的情况求参数 命题点四 一元一次不等式（组）的实际应用 题型01 销售利润问题 题型02 方案问题 题型03其它问题 05·重难突破·思维进阶难 59 突破一 利用等式与不等式的综合 突破二 利用不等式求最值 突破三 不等式组与方程组综合 突破四 一元一次不等式组中探究问题 06·优题精选·练能提分 76 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 不等式及其性质 / / 理解不等式的基本性质，能进行不等式的变形和判断。 一元一次不等式的解法 / / 掌握一元一次不等式的解法，能在数轴上表示解集。 一元一次不等式组的解法 长沙市卷T18 湖南省卷T18 / 会解一元一次不等式组，能在数轴上表示解集，会求整数解。 一元一次不等式(组)的实际应用 长沙市卷T22 湖南省卷T22 长沙市卷T22 湖南省卷T23 能从实际问题中抽象出不等式（组），解决实际应用问题。 不等式与函数的综合应用 / 长沙市卷T25 能结合函数图像解决不等式问题，理解函数值与不等式的关系。 命题预测 1. 基础考查稳定（选择/填空，3-6分） 不等式性质：判断不等式变形是否正确；解不等式（组）：基础解法，数轴表示解集 简单应用：根据题意列不等式 2. 应用题型突出（解答题，6-10分） 方案选择问题：两种或多种方案的费用比较；最值问题：在满足条件下求最大利润、最少费用；资源分配问题：有限资源的优化分配 3. 综合应用深化（解答题，8-12分） 与一次函数结合：建立函数模型，通过不等式确定取值范围；与实际问题结合：跨学科、生活化的应用情境；多步推理问题：需要多个不等式联立求解 4. 创新考查可能（压轴题，6-10分） 新定义不等式：结合新概念考查不等式解法；含参不等式：参数讨论与分类求解；不等式证明：简单的不等式关系证明。 备考建议 通过专项训练熟练掌握不等式的基本性质、解题步骤及数轴表示方法，攻克系数化为 1 时不等号方向变化、参数取值范围等易错点；再聚焦实际应用题型，总结 “设未知数 — 找不等关键词 — 列不等式 < 组 >— 验实际解” 的解题流程，积累不同场景的解题模板；最后加强与一次函数的综合训练，重点掌握利用不等式组确定自变量范围、结合函数增减性求最值的方法，同时通过真题限时训练提升解题速度和规范性，确保基础题不丢分、中档题稳得分、压轴题争得分。 考点一 不等式及其基本性质 一、不等式的相关概念 不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 二、不等式的基本性质 性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变； 若 性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变； 若或 性质3：不等式两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 若，则或 性质4： 【易错点】： 1.乘除负数时，忘记改变不等号方向 等式两边乘除任意非零数，等式仍成立；但不等式两边乘除负数时，不等号方向必须改变。 2.盲目对不等式进行相减或相除运算 很多学生类比等式的运算规则，误认为不等式也能直接相减、相除，忽略了性质的适用条件。 1.（2025·湖南娄底涟源·三模）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 2.（2025·湖南·模拟预测）若m＞n，则下列不等式正确的是（　　） A．m﹣2＜n﹣2 B． C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n 【答案】B 【分析】将原不等式两边分别都减2、都除以4、都乘以6、都乘以﹣8，根据不等式得基本性质逐一判断即可得． 【详解】解：A、将m＞n两边都减2得：m﹣2＞n﹣2，此选项错误； B、将m＞n两边都除以4得： ，此选项正确； C、将m＞n两边都乘以6得：6m＞6n，此选项错误； D、将m＞n两边都乘以﹣8，得：﹣8m＜﹣8n，此选项错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质，尤其是性质不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3．（2025·湖南·模拟预测）下列命题中是假命题的是（　　） A．方程有两个相等的实数根 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．若，则当时， D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用一元二次方程根的判别式、垂线的性质、不等式的性质、矩形的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式、垂线的性质、不等式的性质、矩形的判定等知识逐项判断命题的真假即可解答． 【详解】解：A．方程，根的判别式为，当时一元二次方程有两个相等的实数根，故该命题是真命题，不符合题意； B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．这是垂线的基本性质，符合初中几何公理，故该命题是真命题，不符合题意； C．若，则当时，，故该命题是真命题，不符合题意； D．对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形，故该命题是假命题，符合题意． 故选：D． 4.（2025·湖南长沙·模拟预测）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解不等式，掌握不等式的基本性质是解题关键．根据移项、合并同类项，系数化为1的顺序求解即可． 【详解】解析：移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 故选C． 考点二 一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的基本步骤 1.去分母 根据不等式的基本性质，两边同时乘所有分母的最小公倍数，消去分母。 注意：若最小公倍数为负数，不等号方向要改变；若分母中有小数，可先化为整数再计算。 示例：解不等式，两边乘2得。 2.去括号 运用乘法分配律去掉括号，注意符号变化：括号前是“—”时，括号内各项要变号。 示例：接上述不等式，去括号得。 3.移项 把含未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边，移项要变号(依据不等式加减性质)。 示例：接上述不等式，移项得。 4.合并同类项 分别合并含未知数的项和常数项，化为的形式。 示例：接上述不等式，合并同类项得-3 5.系数化为1 两边同时除以未知数的系数a,转化为最简形式。这是最易出错的关键步骤： 若，不等号方向不变，得(或对应其他符号)； 若，不等号方向必须改变，得(或对应其他符号)。 示例：接上述不等式，系数，两边除以-5，不等号变向，得 1.（2025·湖南永州·模拟预测）解不等式：，并在数轴上表示它的解集和直接写出它的非负整数解． 【答案】；数轴见解析；非负整数解为：0，1，2，3，4，5 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式的整数解问题，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 先求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集，进而求出其非负整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 数轴表示为： 非负整数解为：0，1，2，3，4，5． 2.（2025·湖南郴州·模拟）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】．数轴见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集．按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 化系数为：． 在数轴上表示为： ． 3.（2025·湖南武冈·模拟）下面是两位同学在讨论一个不等式． 根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式，找到未知数系数为负数，并且不等式的解为的即为所求． 【详解】解：A、，解得，不符合题意； B、，解得，不符合题意； C、，解得，符合题意； D、，解得，不符合题意． 故选：C． 4.（2025·湖南十三州市·模拟）若关于x的不等式的解集是，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式的解集；根据不等式的基本性质可得，进行计算即可得到答案． 【详解】解：关于的不等式的解集是， ， 解得：， 的取值范围是， 故答案为：． 考点三 一元一次不等式组的解法 1.解组内每一个一元一次不等式 按照一元一次不等式的解法步骤(去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1),分别求出不等式组中每个不等式的解集。 注意：系数化为1时，若系数为负数，不等号方向必须改变。 2.利用数轴或口诀确定公共解集 这是解不等式组的关键步骤，有两种常用方法： 方法一：数轴法(直观准确，推荐中考使用) ①画出数轴，标注出每个不等式的解集； ②找出数轴上所有解集重叠的区域，该区域就是不等式组的解集； ③若没有重叠区域，则不等式组无解。 方法二：口诀法（快速判断，适合简单不等式组） 中考常用口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到 不等式组解集类型 口诀对应 示例 最终解集 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小找不到 无解 3.写出不等式组的最终解集 根据公共区域的判断结果，规范写出解集；若无解，直接注明“不等式组无解”。 注意：解集的书写要符合规范，如，不能写成。 1.（2025·湖南长沙·中考真题）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴不等式组的解集为． 2.（2025·湖南岳阳·一模）如果一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先分别解两个不等式，再根据解集为，结合求不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”列不等式即可解答． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集为， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，掌握求不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”是解题关键． 3.（2025·湖南常德·模拟预测）若关于的不等式组的整数解恰有个，则的取值范围是为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解集求参数，由不等式组取解集的方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求解，掌握解不等式组，取值方法是解题的关键． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， ∵不等式组恰有3个整数解， ∴， 故答案为： ． 4.（2025·湖南岳阳·一模）解不等式组，并在数轴上表示它的解集．    【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，再确定公共部分即可． 【详解】解：， 由①得，， 解得，； 由②得，， 解得：， 在数轴上表示两个不等式的解集为   原不等式组的解为：． 考点四 一元一次不等式(组)的实际应用 一、核心思路：“转化—求解一验证”三步逻辑 1.第一步：实际问题→不等关系转化 这是解题的前提，关键是从题干中提取显性和隐性的不等条件。 ①抓显性关键词：直接锁定表示不等关系的词汇，如“至少(≥)"“至多(≤)"“超过(>)"“不足(<)”“不低于”“不超过“等，根据关键词确定不等号方向。 ②挖隐性限制条件：这类条件题干不会直接说明，但必须满足，如“人数为正整数”物品数量为非负整数”“时间/长度为正数”等，这是后续验证解集的重要依据。 ③设未知数：通常设所求量为x,若有多个相关量，用含x的代数式表示其他量，设未知数时要带单位，表述清晰。 2.第二步：不等关系→不等式（组）求解 这是解题的核心，需要用数学符号语言翻译第一步找到的不等关系。 ①列不等式（组）：用含未知数的代数式表示各量，结合不等关键词列出不等式；若有多个不等条件，需列出不等式组。 ②解不等式（组）：按照一元一次不等式（组）的解法步骤求解，系数化为1时注意判断系数正负，不等号方向是否需要改变；解不等式组时取各不等式解集的公共部分。 3.第三步：数学解集→实际意义验证 这是解题的关键收尾步骤，也是中考的高频丢分点。 验证逻辑：数学解集是理论范围，必须结合实际问题的意义筛选，比如人数、物品件数只能是正整数或非负整数，单价、时间只能是正数。 得出结论：若解集为连续范围，需提取其中符合实际的整数解；若题目要求“设计方案”，需列出所有符合条件的解；若要求“最值”，需在整数解中找到最大或最小值。 1.（2024·湖南长沙·中考真题）刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元． (1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？ (2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？ 【答案】(1)A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元 (2)最多能购买100件A种湘绣作品 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，根据“购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可解题； （2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件，总费用单价数量，结合总费用不超过50000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的值，再取其中的最大整数值即可得出该校最大可以购买湘绣的数量． 【详解】（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元． 根据题意，得 ， 解得 答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元． （2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件． 根据题意，得， 解得． 答：最多能购买100件A种湘绣作品． 2.（2025·湖南·模拟预测）中国正从人形机器人参与者向引领者迈进．全球唯一全工业门类基底支撑核心部件国产化，2025春晚《秧》缔造现象级场景——16台宇树机器人以每秒5次动态平衡校准的极致控制，完成东北秧歌32式传统动作，手绢转速与人体演员误差小于0．02秒，在非遗活化领域树立人机协同新范式．已知该机器人初始电量为个单位以下都是初始状态开始，跳舞每移动米，消耗个单位电量，每完成一个动作如转动手绢，跳跃，旋转等消耗个单位电量其它电量消耗忽略不计． (1)如果机器人先移动了米，然后完成了个动作，求此时的剩余电量； (2)在一次任务中机器人需要完成一段路程为米为整数的移动任务，并执行一些动作． 如果执行个动作后，机器人的剩余电量恰好为个单位，求的值； 如果完成动作电量消耗是移动电量消耗的倍时为最佳动作设计，则最佳动作设计最多可完成几个动作？ 【答案】(1)剩余个电量 (2)①的值为9；②最佳动作设计最多可完成个动作 【分析】本题考查有理数的计算应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式． （1）根据题意列式计算可得剩余电量； （2）①根据剩余电量恰好为个单位得：，即可解得的值； ②设最佳动作设计可完成个动作，根据完成动作电量消耗是移动电量消耗的3倍时为最佳动作设计得：，解出不等式取最大整数解即可． 【详解】（1）解：（个）， 机器人先移动了米，然后完成了个动作，此时剩余个电量； （2）解：根据题意得：， 解得， 的值为9； 设最佳动作设计可完成个动作， 根据题意得：， 解得，因为取整数，所以的最大值为12 答：最佳动作设计最多可完成个动作． 3.（2025·湖南长沙·模拟预测）在国家大力推动低空经济高质量发展的战略背景下，某航摄公司为扩大业务，计划购买，两款无人机．已知款无人机的单价比款无人机的单价贵3500元，用250000元购买款无人机的架数是用240000元购买款无人机架数的． (1)求款无人机和款无人机的单价； (2)航摄公司采购时恰逢该厂家进行促销：A款无人机八折优惠．若购买A，B两款无人机共120架，且款无人机架数不少于款无人机架数的一半，请问分别购买，款无人机多少架时，航摄公司花费最少？ 【答案】(1)款无人机的单价为12500元，B款无人机的单价为9000元． (2)当购买款无人机40架，B款无人机80架时，航摄公司花费最少． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程、不等式、函数关系式是解题的关键． （1）设B款无人机的单价为元，则款无人机的单价为元，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设购买款无人机架，花费为元，则B款无人机架，根据题意列出不等式，解出的范围，再根据题意列出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设B款无人机的单价为元，则款无人机的单价为元， 由题意得，， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 则， 答：款无人机的单价为12500元，B款无人机的单价为9000元． （2）解：设购买款无人机架，则B款无人机架，航摄公司花费为元， 由题意得，， 解得：， 由题意得，， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时， 答：当购买款无人机40架，B款无人机80架时，航摄公司花费最少． 3.（2025·湖南·模拟预测）某中学为了准备体育中考，采购了A，B两种品牌的排球，第一次采购A种排球100个，B种排球60个，采购费用为10320元；第二次采购了A种排球50个，B种排球90个，采购费用为9480元． (1)求A，B两种排球的采购单价分别为多少元． (2)商场通过一段时间的营销后发现，B种排球的销售比A品牌好，商场决定再采购一批排球，要求：①采购B种排球的数量比A种排球的2倍多30个，且A种排球的采购数量不低于50个；②采购两种排球的总费用不超过13 000元．请问：该商场有哪几种采购方案？ 【答案】(1)A种排球的单价是60元，B种排球的单价是72元． (2)有四种采购方案，分别为：①采购A种排球50个，B种130个；②采购A种排球51个，B种132个；③采购A种排球52个，B种134个；④采购A种排球53个，B种136个 【分析】此题主要考查了一元一次不等式组的应用和二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键． （1）设A种排球的单价是x元，B种排球的单价是y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设该商场采购A种排球的数量为m个，则采购B种排球个，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）设A种排球的单价是x元，B种排球的单价是y元， 根据题意，得 解得 答：A种排球的单价是60元，B种排球的单价是72元． （2）设该商场采购A种排球的数量为m个，则采购B种排球个． 根据题意，得 解得50 ∵m为整数， ∴或51或52或53 ．          ∴有四种采购方案，分别为： ①采购A种排球50个，B种130个； ②采购A种排球51个，B种132个； ③采购A种排球52个，B种134个； ④采购A种排球53个，B种136个． 命题点一 不等式及其基本性质 ►题型01 不等式的有关概念 1. 方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系. 2. 常见的不等号有：≠，>，≥，<，≤五种. 3. 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点. 4. 不等式的解与不等式的解集的区别与联系： 1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值. 2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值. 3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解. 【典例】（2025·湖南永州·模拟）下列式子①；②；③；④；⑤中，是一元一次不等式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义求解即可，一元一次不等式含有未知数，且未知数的最高次数为1次， 本题还要注意未知数的系数不能是0． 【详解】解：不是一元一次不等式，故①不符合题意； 是一元一次不等式，故②符合题意； 不是一元一次不等式，故③不符合题意； 不是一元一次不等式，故④不符合题意； 不是一元一次不等式，故⑤不符合题意； 故是一元一次不等式的有1个， 故选：D． 【变式1】（2025·湖南常德·模拟）若是关于x的一元一次不等式，则a的值为（   ） A．2 B．－1 C．0 D．0或2 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，正确掌握定义是解决此题的关键．由一元一次不等式未知数x的次数为1且系数不为0，求出的值即可． 【详解】一元一次不等式未知数x的次数为1， ， 解得：或， 一元一次不等式未知数x的系数不为0， ， 解得：， 综上，a的值为0． 故选：C． 【变式2】（2025·湖南永州·模拟）下列说法错误的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的整数解有无数个 C．不等式的整数解是0 D．是不等式的一个解 【答案】C 【分析】解出不等式的解集，根据不等式的解的定义，就是能使不等式成立的未知数的值，就可以作出判断． 【详解】解：A、不等式x−3＞2的解集是x＞5，正确，不符合题意； B、由于整数包括负整数、0、正整数，所以不等式x＜3的整数解有无数个，正确，不符合题意； C、不等式x＋3＜3的解集为x＜0，所以不等式x＋3＜3的整数解不能是0，错误，符合题意； D、由于不等式2x＜3的解集为x＜1.5，所以x＝0是不等式2x＜3的一个解，正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的解集，解答此题关键是掌握解不等式的方法，及整数的分类． 【变式3】（2025·湖南·模拟）一个数m的2倍与数n的差不小于5，写出这个不等式 ． 【答案】 【分析】本题考查列不等式．理解题意，找出数量关系是解题关键．根据题意列出不等式即可． 【详解】解：根据题意可列不等式为：． 故答案为：． ►题型02 不等式的基本性质 利用不等式基本性质判断不等式是否成立，核心是紧扣性质条件，逐一验证变形过程是否符合规则，尤其注意乘除负数变号和性质适用范围两大关键点。 一、核心判断步骤 1.明确已知不等式关系 先确定题干给出的基础不等式(如a>b),以及附加条件(如c>0、c<0或c=0)。 2.分析变形方式 观察待判断不等式是由已知不等式经过加减、乘除、移项中的哪种变形得到的。 3.对照性质验证 结合不等式的基本性质，判断变形过程是否合规： 加减变形：两边同时加减同一个数/式，不等号方向一定不变； 乘除变形：乘除正数，不等号方向不变；乘除负数，不等号方向必须改变；乘除0，不等式变等式； 传递性/同向相加：仅适用于同向不等式，异向不等式无此性质。 4.得出结论 变形符合性质则不等式成立，不符合则不成立。 【典例】（2025·湖南株洲·模拟）下列不等式的变形不一定成立的是（　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：、若，则，不等式的变形一定成立，不符合题意； 、若，则，不等式的变形一定成立，不符合题意； 若，则，不等式的变形一定成立，不符合题意； 、若，则，若或，则不一定成立，符合题意； 故选：． 【变式1】（2025·湖南邵阳·模拟）已知，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质． 根据不等式的基本性质逐一分析选项． 【详解】解：选项A：由，两边同乘负数，不等号方向改变，得，故A错误，不符合题意； 选项B：由，无法得到，故B不成立，不符合题意； 选项C：由，两边同乘得，再加6得，故C错误，不符合题意； 选项D：由，两边同乘正数得，再减3得，故D正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（2025·湖南邵阳·模拟）如果不等式的解集为，则必须满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，先根据不等式的解集为，且不等式两边同时乘上负数或者除以负数，不等式的符号改变，进行作答即可． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3】（2024·湖南·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用数轴表示数以及不等式的性质，加法与乘法法则，依次判断选项即可． 【详解】解：从题图中得出，，， 所以，，，， 故选项B、C、D错误，选项A正确， 故选：A． 【变式4】（2025·湖南张家界·模拟）阅读下列解题过程，再解题．已知，试比较与的大小． 解：① ② 故③ 问： (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第②步开始出现错误， 故答案为：②； （2）解：正确的解题过程如下： ， ． ►题型03 数轴与不等式的综合 【典例】（2025·湖南株洲·模拟）数轴是认识数形结合的重要工具．如图，完整的数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 根据题意得到，解得，再逐项判断即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， 解得：， 在中只有 ∴的值可以是， 故选：A． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，观察数轴判断a，b的大小和绝对值的大小关系，然后根据有理数的乘法法则、加法法则、不等式的基本性质和绝对值的性质对各个选项进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：，，，， ∴， ∴，，，， ∴A，B，C选项均错误，D选项正确， 故选：D． 【变式2】（2025·湖南·模拟）已知，实数，在数轴上的对应的点如图所示，化简的结果正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，二次根式的性质，立方根的定义，绝对值的性质；由数轴可得，，再根据立方根，二次根式性质与化简绝对值，进行求解即可． 【详解】解：根据数轴可得，， ∴， ∴ ； 故选：D． 【变式3】（2025·湖南衡阳·模拟预测）2029全运会花落湖南，数学小组以此为彩头，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“湘约运算”．实数，在数轴上的位置如图所示，例如：．由此“湘约运算”与原代数式之和为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，解题的关键是根据新定义列出算式并利用数轴判断代数式的符号，易错点是对新定义的理解有误或忽略数轴信息导致符号错误；先根据新定义将“湘约运算”转化为绝对值形式，再结合数轴上的位置判断的正负，从而去绝对值，然后计算与原代数式的和，最后化简结果并与选项匹配． 【详解】由题意得： 根据数轴图，且靠近1，且靠近， ∴，则 ， 故选B． 命题点二 一元一次不等式的解法 ►题型01 列一元一次不等式 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的提示还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式 6x≤50. 【典例】（2025·湖南永州·模拟）年道州龙船赛期间，为满足停车需要，组委会要求施工方将观礼台附近的空地平整为临时停车位，完成平整时间是小时内．开始的半小时，由于天气原因，只平整了．若施工方在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设施工方在剩余时间内每小时平整土地，根据题意列不等式即可，根据题意找到不等量关系是解题的关键． 【详解】解：设施工方在剩余时间内每小时平整土地， 由题意得，， 故选：． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）“x的2倍与4的和不小于15”，用不等式表示 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用不等式表示， 根据“．．．．的几倍”用乘法，“．．．的和”用加法，再根据不小于用表示可得答案． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 【变式2】（2025·湖南湘潭·模拟）一次知识竞赛共有20道选择题，答对一题得5分；答错或不答，每题扣1分．要使总得分不少于88分，则至少要答对几道题？若设答对道题，可列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可直接列出不等式． 【详解】解：由题意可列不等式为； 故选D． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，读懂题意是解题的关键． 【变式3】（2025·湖南邵阳·模拟）第十四届冬运会期间，某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，冬运会结束后，商店准备将这批服装降价处理，打折出售，使得每件衣服的利润率不低于，根据题意可列出来的不等式为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据打折出售，得出折后的售价为，再结合利润率的公式，进行列式，即可作答． 【详解】解：依题意，打折出售，得出折后的售价为 ∵每件进价为200元，且每件衣服的利润率不低于， ∴， 故选：B． 【变式4】（2025·湖南张家界·模拟）把“x的2倍与3的差不大于4”用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查列不等式，正确的翻译句子，列出不等式即可． 【详解】解：由题意，可列不等式为：； 故答案为：． ►题型02 一元一次不等式的解集在数轴上表示 一元一次不等式的解在数轴上表示的核心思路是“先求解集，再规范标注”，本质是将抽象的代数解集转化为直观的数轴图形，关键要把握点的类型（空心/实心）和射线方向两大要素。具体解题思路分为三步： 一、第一步：准确求解一元一次不等式的解集 这是数轴表示的前提，若解集计算错误，后续数轴标注必然出错。 1.按照一元一次不等式的标准解法步骤计算：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 2.核心注意点：系数化为1时，必须判断系数的正负—系数为正，不等号方向不变；系数为负，不等号方向改变。 第二步：依据解集，对照选项逐项排除 拿到解集后，从两个关键维度验证选项，不符合任一维度即可直接排除： 维度1：判断关键点的标注类型(空心圆圈/实心圆点) 规则：带等号(≥、≤)→实心圆点；不带等号(>、<)→空心圆圈。 示例：解集x <2→关键点2处是空心圆圈，选项中若标实心圆点，直接排除。 维度2：判断射线的延伸方向 规则：大于(>、≥)→向右画射线；小于(<、≤)→向左画射线。 示例：解集x<2→从2的空心圆圈向左延伸，选项中若向右延伸，直接排除。 第三步（验证）：代入特殊值，确认选项正确性 若排除后仍有模糊选项，可选取选项数轴上的一个点代入原不等式验证： 若点在解集内，代入后不等式应成立；若点不在解集内，代入后应不成立。 【典例】（2025·湖南·模拟预测）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了解一元一次不等式．先去括号，再移项合并同类项，即可求解． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：， 把解集在数轴上表示为： ． 故选：D 【变式1】（2025·湖南娄底·一模）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集．根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式，把解集在数轴上表示即可． 【详解】解：使二次根式在实数范围内有意义， 则， 解得：， 则x的取值范围在数轴上表示为： 故选：C． 【变式2】（2025·湖南·模拟）已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，解一元一次不等式．根据绝对值的性质，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 则的取值范围在数轴上表示正确的是： 故选：A． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）不等式的解在数轴上可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键． 按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并，得， 解得， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示： 故选：A． ►题型03 解一元一次不等式（计算题） 解一元一次不等式的计算步骤与解一元一次方程类似，但因不等号方向的变化规则，衍生出专属易错点，这些也是中考计算题的主要丢分点，具体归纳如下： 1.漏乘不含分母的项 去分母时，两边需同乘所有分母的最小公倍数，每一项都要乘，包括常数项和不含分母的项，学生易忽略常数项的乘法运算。 错误示例：解不等式，两边乘2，错误得 正确解法：两边乘2，得。 2.分母为负数时，未变不等号方向 若不等式两边同乘负数去分母，不等号方向必须改变，学生常忽略这一规则。 错误示例：解不等式，两边乘-3,错误得x<-6; 正确解法：两边乘一3，不等号变向，得x>－6。 3.为负数时，未改变不等号方向 这是解不等式计算的头号丢分点，学生常照搬解方程的思路，忽略“乘除负数要变号”的规则。 错误示例：解不等式，两边除以-4，错误得； 正确解法：两边除以-4，不等号变向，得。 关键提醒：系数化为1前，先判断系数正负：系数正不等号方向不变；系数负，必须变向。 【典例】（2025·湖南武冈·期中）解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可． 【详解】解： 去分母，得，                            移项，得，                                       合并同类项，得，                                     系数化为1，得． 【变式1】（2025·湖南娄底新化·模拟）下面是小明同学解不等式的过程，请阅读并完成相应任务． 解：⋯⋯第一步 ，⋯⋯第二步 ，⋯⋯第三步 ，⋯⋯第四步 (1)任务一： ①以上解题过程中，第一步变形的依据是 ； ②第 步出现错误，这一步出现错误的原因是 ； (2)任务二：请直接写出该不等式的正确解集，并把解集表示在数轴上． 【答案】(1)①不等式的基本性质2；②四；不等式两边除以时，不等号的方向没有改变； (2)，见解析． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 任务一：①根据不等式的基本性质，即可解答；②根据解一元一次不等式的步骤，进行计算逐一判断即可解答； 任务二：按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：任务一：①以上解题过程中，第一步是进行去分母，变形依据是不等式的基本性质2； ②第四步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边除以时，不等号的方向没有改变； 故答案为：①不等式的基本性质 2 ；②四；不等式两边除以 时，不等号的方向没有改变； （2）解：任务二：， 去分母得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，． 把解集表示在数轴上如图所示： 【变式2】（2025·湖南衡阳·模拟）当取什么值时，代数式的值大于的相反数？ 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据题意可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵代数式的值大于的相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，代数式的值大于的相反数． 【变式3】（2025·湖南邵阳·月考）解不等式并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为，得， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示： 【变式4】（2025·湖南·模拟预测）解不等式：，并写出该不等式的最大整数解． 【答案】，最大整数解为 【分析】本题考查了解一元一次不等式，正确求出不等式的解集是解题的关键．先求出不等式的解集，再根据解集，确定不等式的最大整数解即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， ∴该不等式的最大整数解为． 【变式5】（2025·湖南衡阳·模拟）已知有理数、，定义一种新运算“*”，规定：（、均不为零）．等式右边的运算是通常的四则运算，例如．已知，． (1)求，的值． (2)求的最小整数解． 【答案】(1)， (2)最小整数解为3 【分析】本题考查新定义运算，解二元一次方程组，求一元一次不等式的整数解，理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据列出关于a和b的二元一次方程组，解方程组即可； （2）将变形为，求不等式的最小整数解即可． 【详解】（1）解： ，， ，， 即， 解得，． （2）解：， ， 解得， 关于的不等式的最小整数解为3． ►题型04 已知一元一次不等式解集的情况求参数 【典例】（2025·湖南·随堂练习模拟预测）若不等式的最小整数解是方程的解，则的值为 ． 【答案】// 【分析】本题考查了解一元一次不等式和一元一次方程，解不等式得到，求出最小整数解是，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴不等式的最小整数解是， ∵是方程的解， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式1】（2025·湖南岳阳·模拟）已知关于x的不等式的正整数解为1，2，3，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据不等式的解集情况求参数，先解不等式得到，再根据不等式的正整数解为1，2，3即可得到答案． 【详解】解：解不等式 ，得 ， ∵关于x的不等式的正整数解为1，2，3， ∴， 故选：A． 【变式2】（2025·湖南张家界·模拟）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，根据新定义和正整数解列出关于的不等式组是解题的关键．根据新定义列出不等式，解关于的不等式，再由不等式的解集有且只有一个正整数解得出关于的不等式组求解可得． 【详解】解：根据题意可知， 解得： 有且只有一个正整数解 解不等式①，得： 解不等式②，得： 故答案为：． 【变式3】（2025·湖南·模拟）若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解．先解一元一次不等式可得，再根据不是不等式的整数解，可得，然后根据是关于x的不等式的一个整数解，可得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∵不是不等式的整数解， ∴， 解得． ∵是关于x的不等式的一个整数解， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 命题点三 一元一次不等式组的解法 ►题型01 一元一次不等式组与数轴结合 【典例】（2025·湖南娄底·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，利用数轴表示不等式组的解集，正确掌握一元一次不等式的解法是解题的关键 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 将解集表示在数轴上为： 故选：B 【变式1】（2025·湖南郴州·模拟预测）若点在平面直角坐标系的第四象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标特征，解一元一次不等式组，在数轴上表示解集，由点在第四象限内可得，解不等式组求出的取值范围，再把解集在数轴上表示出来即可求解，掌握点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在第四象限内， ∴， 解得， ∴的取值范围在数轴上可表示为： 故选：． 【变式2】（2025·湖南常德·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组解集的数轴表示，正确掌握解集表示法是解题的关键．先求出不等式组的解集，再根据大于方向向右，小于方向向左，有等号，数用实点覆盖，无等号，数用空心圆圈覆盖，解答即可． 【详解】解：， 由得：， 由得：， 原不等式组的解集为． 故选C． 【变式3】（2025·湖南·模拟）一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式解集在数轴上的表示可得答案， 本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【详解】解：由数轴知，该不等式组的解集为：， 故选：B． 【变式4】（2025·湖南·模拟预测）解集在数轴上表示如图的不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题重点考查一元一次不等式组的解集在数轴上的表示方法，理解数轴上实心点表示包含端点（等号）、空心点表示不包含端点（严格不等式），并能从数轴解集反推不等式组是解题的关键． 根据数轴表示，逐选项判断即可． 【详解】 根据数轴表示，该不等式组的解集表示为， 对于A，，解得： ，不满足题意； 对于B，，解得：，满足题意； 对于C，，解得：，不满足题意； 对于D，，解得：，不满足题意； 故选：B． ►题型02 解一元一次不等式组（计算题） 解一元一次不等式组的核心是“先解单个不等式，再取公共解集”,易错点集中在单个不等式求解错误、公共解集判断偏差和细节规范失误三类，具体梳理如下： 一、解单个不等式时的“连带错误” 这类错误会直接导致后续公共解集判断全部出错，是最基础也最易忽略的问题。 1.系数化为1时，乘除负数忘变号 解组内单个不等式时，若系数为负，不等号方向必须改变，学生常照搬解方程思路，忽略变号规则。○错误示例：解不等式-2x>4,错误得x>-2; 正确结果：x<-2。 2.去分母漏乘常数项、去括号漏变号 去分母时未给不含分母的项乘最小公倍数，或括号前早负号时，括号内部分项未变号，导致单个不等式解集错误。 二、公共解集判断的核心易错点 这是解不等式组的专属易错点，也是中考丢分重灾区。 1.混淆口诀适用场景，错判公共解集 对“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的口诀理解模糊，尤其含等号时易出错。 ○错误示例：解不等式组,错误认为解集是 正确判断：属于“大大小小找不到”,不等式组无解。 关键提醒：判断前先把每个解集整理成或的形式，再对比大小。 2.数轴标注时，空心圆圈与实心圆点混淆 用数轴找公共解集时，把“>、<”对应的空心圆圈，和“≥、≤”对应的实心圆点搞混，导致公共范围判断失误。 错误示例：解集x>3在数轴上标成实心圆点； 正确规则：带等号用实心，不带等号用空心。 3.遗漏“等号”对公共解集的影响 忽略等号是否包含在解集中，导致解集边界错误。 错误示例：不等式组，错误认为无解； 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．    【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求解不等式组并把解集在数轴上表示出来是解题的关键． 先求出每一个不等式的解集，再确定不等式组的解集最后把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 该不等式组的解集在数轴上表示如下：    【变式1】（2025·湖南永州·一模）解不等式组． 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得_______； (2)解不等式②，得_______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来． 【答案】(1) (2) (3)数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键． （1）根据移项合并同类项解一元一次不等式即可求解； （2）根据不等式的性质解不等式即可求解； （3）先根据（1）（2）求出不等式组的解集，再将不等式的解集在数轴上表示． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：， 解得：， 故答案为：； （3） 解：由上可得，不等式组的解集为：， ∴数轴表示为： 【变式2】（2025·湖南怀化·一模）不等式组的解集为(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求不等式组的解集，分别解两个不等式，再求公共部分，即可求解． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 故不等式的解集为． 故选：A． 【变式3】（2025·湖南永州·三模）解不等式：，并写出整数解． 【答案】，整数解为1 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先将一元一次不等式转化为一元一次不等式组，分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的整数即可． 【详解】解：不等式可化为：， 由①得：， 由②得： ∴不等式组的解为：， ∴整数解为1． 【变式4】（2025·湖南永州·二模）有一个两位数，它的十位上的数字是个位上的数字的一半，且个位上的数字x满足条件则这个两位数是多少？ 【答案】24 【分析】本题主要考查了解不等式组，先分别求出不等式的解集，然后求出公共部分得出不等式组的解集，在根据两位数的十位上的数字是个位上的数字（x）的一半，得出x是偶数，进而求出x的值，即可求解． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∵两位数的十位上的数字是个位上的数字（x）的一半， ∴x是偶数， ∴， ∴十位数为2， ∴这个两位数为24． ►题型03 已知一元一次不等式组整数解求参数 【典例】（2025·湖南永州·适应性模拟）关于的不等式组仅有4个整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了．首先解不等式组，即可确定不等式组的整数解，即可确定的范围． 【详解】解：， 由得：， 由得：． 不等式组有四个整数解， 不等式组的整数解是：，0，1，2． 则实数的取值范围是：． 故答案为：． 【变式1】（2025·湖南·模拟）若关于的不等式组恰有三个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，不等式组的整数解的确定，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先分别求解不等式组中的两个不等式，得到解集，再根据该解集恰有三个整数解（即0、1、2），确定的范围，从而求出的取值范围． 【详解】解：解不等式组： 解第一个不等式：， ， ， ， ， ， 解第二个不等式：， ， ， ， 因此，不等式组的解集为：， 由于该解集恰有三个整数解，即整数解为0、1、2， 故需满足： 解得：， 故答案为：． 【变式2】（2025·湖南湘西·模拟）已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是一元一次不等式的解法，求不等式组的解集．首先解不等式组确定不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解有5个，即可得到一个关于a的不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于的不等式组的整数解共有5个，即3，2，1，0，， ∴，即． 故选：C． 【变式3】（2025·湖南岳阳·模拟）关于x的分式方程有负整数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．2 B．0 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，不等式组无解问题． 首先解分式方程得到 ，根据有负整数解且 ，得 ， 为偶数且 ．再解不等式组，由无解条件得 ．综合得 或 ，求和即可． 【详解】解：， 去分母得 ， 化简得， ∴， 即 ． ∵方程有负整数解且， ∴ 且为整数，且 ， ∴， 为偶数，且 ． ∵不等式组 ， 解第①不等式，得， 解第②不等式得 ∵不等式组无解， ∴， 即 ， ∴（ 为整数）． 综合得 为偶数， 且 ， ∴ 或 ． ∴和为． 故选：C． ►题型04 已知一元一次不等式组有无解求参数 【典例】（2025·湖南娄底·模拟预测）若不等式组无解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数，反比例函数的图象和性质，求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，得到关于的不等式，利用反比例函数的图象和性质，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组无解， ∴，，， 令， ∵， ∴反比例函数的图象在第四象限，随着的增大而增大， 当时，， ∴当时，； 故选B． 【变式1】（2025·湖南郴州·模拟）已知关于的不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，依据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了可得答案． 【详解】解：解不等式得，， 关于的不等式组无解， ， 故选：D． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）已知不等式组有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式组有解的条件； 根据不等式组有解的条件确定参数的取值范围即可． 【详解】解：若不等式组有解，则两个解集必须有公共部分，此时需满足， 当时，解集为，存在解； 当时，和无公共部分，无解； 因此，的取值范围是， 故选：A． 【变式3】（2025·湖南娄底·二模）若不等式组有解，则的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出不等式的解集，再根据不等式组有解得出即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集有解， ∴， 当时，解得， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 综上，的取值范围为或． 故选：C． 【变式4】（2025·湖南·模拟预测）若关于x的一元一次方程的解为正整数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先求出的解为，从而推出，整理不等式组可得整理得：，根据不等式组无解得到，则，再由整数k和是自然数进行求解即可． 本题主要考查了解一元一次方程，根据一元一次不等式组的解集情况求参数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【详解】解：由，得， 方程的解为正整数，， 解得：， 解①得， 解②得， ， 不等式组无解， ， 即整数， 为正整数，， 则符合条件的整数的值的和为． 故选：A． ►题型05 已知一元一次不等式组解的情况求参数 【典例】（2025·湖南·模拟预测）如果一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先分别解两个不等式，再根据解集为，结合求不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”列不等式即可解答． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集为， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，掌握求不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”是解题关键． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）已知不等式组 的解集是，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及一元一次不等式组的解，代数式求值，先解不等式组得到，再根据不等式组的解集为得，，据此即可求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，根据不等式组的解集求出的值是解题的关键． 【详解】解：解不等式得 ，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为， 又∵不等式组的解集为， ∴ ，， 解得，， ∴， 故选：． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟）已知不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是根据不等式组的公共解集，求参数的取值范围，分别求两个不等式的解集，根据公共解集的取法：同小取小是解决此题的关键． 【详解】解：解，得， 解得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， 故选：C． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）已知关于的不等式组下列四个结论： ①若它的解集是，则； ②若，不等式组有解； ③若它的整数解仅有3个，则的取值范围是； ④若它无解，则． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了不等式组的解集，掌握数形结合思想是解题的关键．根据不等式组解的情况，对进行讨论求解． 【详解】解：①若它的解集是， 则：，且， ， 故①正确； ②当时，不等式组无解， 故②不正确； ③由题意得：， 解得：， 故③不正确； ④由题意得：， 解得：， 故④正确． 故选：B． 【变式4】（2025·湖南·模拟预测）不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组．先求出不等式组的解集，再根据题意建立关于a的不等式组即可解决问题． 【详解】解：解不等式得，； 解不等式得，， 所以不等式组的解集为：， 则此不等式组的整数解为0，1． 又因为此不等式组的整数解均满足不等式组， 所以， 解得． 故答案为：． 命题点四 一元一次不等式（组）的实际应用 ►题型01 销售利润问题 销售利润类应用题是中考的高频题型，核心解题思路是“梳理利润公式一提取不等关系→建立不等式模型→结合实际求解”,关键是理清成本、售价、销量、利润之间的数量关系，再结合题干中的“最多”至少”“不超过“等关键词列出不等式(组)。 一、先掌握核心公式(解题基础) 解决利润问题的前提是熟记以下公式，避免因公式混淆导致列式错误： 1.单件利润=单件售价-单件进价(成本) 2.总利润=单件利润×销售数量 拓展公式：总利润=总销售额-总成本 3.常见限制条件：销售数量为非负整数；售价≥进价(保证不亏本) 二、四步解题法(核心逻辑) 1.审：梳理题干信息，提取关键条件 ●找出已知量：进价、售价、固定销量/销量与售价的关系、利润目标等； ●圈画不等关键词：确定不等关系，常见表述有 ①利润“不低于"/"至少”达到多少元→总利润≥目标利润 ②利润“不超过”多少元→总利润≤目标利润 ③进货量“最多”/“最少”为多少→进货数量≤/≥限定值 ●明确未知量：通常设进货数量或调价后的售价为x。 2.设：合理设未知数，表示相关量 ●若题干涉及两种商品，设其中一种商品的进货量为x,另一种用含x的代数式表示(如两种商品共进货100件，设甲x件，则乙(100-x)件); ●若涉及售价调整，设调价后售价为x,则单件利润为(x—进价)。 3.列：根据不等关系，建立不等式（组） 这是解题的核心步骤，结合总利润公式和不等关键词列不等式： 基本模型：单件利润×销售数量≤/≥目标利润 若有多个限制条件（如进货总量限制+利润限制），则列出不等式组。 【典例】（2025·湖南长沙·二模）近期，全国文化和旅游业呈现出快速复苏的良好势头，据美团、大众点评数据显示，今年沈阳旅游订单（含酒店、景点门票）同比增长超．世界文化遗产故宫是热门的旅游目的地之一．某故宫文创店积极为旅游热门活动做好宣传与备货工作．已知该文创店销售甲、乙两种文创产品，每个甲种文创的进价比每个乙种文创的进价多4元；购进16个甲种文创产品和10个乙种文创产品共花费220元．文创店将每个甲种文创售价定为13元，每个乙种文创售价定为8元． (1)每个甲种文创和每个乙种文创的进价分别是多少？ (2)根据市场调查，文创店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种文创共400个，假设这400个文创能够全部卖出，请设计出总利润最大的购进方案，并说明理由． 【答案】(1)每个甲种文创的进价是10元，每个乙种文创的进价是6元 (2)总利润最大的购进方案为购进甲文创150个，乙文创250个，理由见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键． （1）设每个甲种文创的进价是x元，每个乙种文创的进价是y元，根据每个甲种文创的进价比每个乙种文创的进价多4元；购进16个甲种文创产品和10个乙种文创产品共花费220元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进甲种文创a个，则购进乙种文创个，根据文创店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种文创，列出一元一次不等式，解得，再设总利润为w元，根据题意列出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设每个甲种文创的进价是x元，每个乙种文创的进价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：每个甲种文创的进价是10元，每个乙种文创的进价是6元； （2）解：设购进甲种文创a个，则购进乙种文创个， 由题意得：， 解得：， 设总利润为w元，由题意得： ， ∵， ∴w随着a的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值， 此时，， 答：总利润最大的购进方案为购进甲文创150个，乙文创250个． 【变式1】（2025·湖南长沙·三模）“茶颜悦色”是长沙网红奶茶品牌，以其独特的口味和精美的包装吸引无数游客．某门店销售两种口味的奶茶饮品，若购买3杯种口味奶茶饮品和4杯种口味奶茶饮品共需125元；若购买1杯A种口味奶茶饮品和3杯B种口味奶茶饮品共需75元． (1)A种口味奶茶饮品和B种口味奶茶饮品价格分别是多少元一杯？ (2)若旅游团队需要购买两种口味奶茶饮品共30杯，其中种口味的数量至少比种口味的数量多5杯，怎样购买才能使总费用最少?并求出最少费用． 【答案】(1)A种口味奶茶饮品和B种口味奶茶饮品价格分别是15元和20元一杯． (2)购买A种口味奶茶饮品12杯，则购买B种口味奶茶饮品18杯，费用最少，最少为540元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，以及根据一次函数增减性求最值．正确列出方程组和一次函数的关系式是解题的关键． （1）A种口味奶茶饮品和B种口味奶茶饮品价格分别是x元和y元一杯，根据题意建立方程组，解方程组即可得解； （2）设购买A种口味奶茶饮品m杯，则购买B种口味奶茶饮品杯，总费用为w元，根据题意列不等式，求出m的取值范围，再根据题意列出w与m之间的函数关系式，根据一次函数的增减性即可求出w的最小值． 【详解】（1）解：A种口味奶茶饮品和B种口味奶茶饮品价格分别是x元和y元一杯， 由题意得：，     解得 ．      答：A种口味奶茶饮品和B种口味奶茶饮品价格分别是15元和20元一杯． （2）解：设购买A种口味奶茶饮品m杯，则购买B种口味奶茶饮品杯，总费用为w元， 由题意得：， 解得，    ，         ， 随m的增大而减小． 当时，w取得最小值，     ．       答：购买A种口味奶茶饮品12杯，则购买B种口味奶茶饮品18杯，费用最少，最少为540元． 【变式2】（2025·湖南衡阳·二模）因为我市体育中考改革，篮球、排球增选为运动技能选考项目，我校为更好开展球类课程，计划在某体育用品店购买一批篮球和排球，已知购买个篮球和个排球共需元，篮球的单价比排球单价的倍少元． (1)求篮球、排球的单价分别是多少元． (2)现学校准备购买篮球、排球共个，总费用不超过元，那么至多可以购买篮球多少个？ 【答案】(1)篮球的单价是元，排球的单价是元 (2)个 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，正确理解题意、列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设篮球的单价是元，排球的单价是元，根据购买个篮球和个排球共需元，篮球的单价比排球单价的倍少元，即可得到关于、的方程组，解方程组即可； （2）设购买篮球个，则购买排球个，根据购买总费用不超过元即可得出关于的不等式，解不等式即可求出的范围，再取解集中的最大整数即可． 【详解】（1）解：设篮球的单价是元，排球的单价是元，根据题意可得： ， 解得：； 答：篮球的单价是元，排球的单价是元； （2）解：设购买篮球个，则购买排球个，根据题意可得： ， 解得：； 所以m的最大值为， 答：最多能够购买篮球个． 【变式3】（2025·湖南·二模）加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多元，且用元购买甲种分类垃圾桶的数量与用元购买乙种分类垃圾桶的数量相同． (1)求甲、乙两种分类垃圾桶的单价； (2)该社区计划用不超过元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？ 【答案】(1)甲、乙两种分类垃圾桶的单价分别是元/个、元/个 (2)最少需要购买甲种分类垃圾桶个 【分析】（1）设甲种分类垃圾桶的单价是x元/个，则乙种分类垃圾桶的单价是元/个，根据“用元购买甲种分类垃圾桶的数量与用元购买乙种分类垃圾桶的数量相同”列出分式方程，求解即可； （2）设购买甲种分类垃圾桶a个，则购买乙种分类垃圾桶个，根据“用不超过元的资金”列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设甲种分类垃圾桶的单价是x元/个，则乙种分类垃圾桶的单价是元/个， 由题意可知：， 解得， 经检验是所列方程的根且符合题意 （元/个） 答：甲、乙两种分类垃圾桶的单价分别是元/个、元/个； （2）解：设购买甲种分类垃圾桶a个，则购买乙种分类垃圾桶个， 由题意可知：， 解得， 答：最少需要购买甲种分类垃圾桶个． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． ►题型02 方案问题 【典例】（2024·湖南长沙·模拟预测）为提高学生综合素养，我市某中学拟组织学生进行红色之旅研学活动，相关组织老师发现：若按原计划租用可坐乘客45人的种客车若干辆，则有30人将没有座位；若租用可坐乘客60人的种客车，则比原计划可少租6辆，且恰好坐满． (1)求本次红色之旅研学活动共有多少人参加？原计划租用种客车多少辆？ (2)若该校更改计划，同时租用、两种客车共25辆，要求种客车不超过7辆，且座位有剩余，则有哪些租车方案？ (3)在（2）的条件下，若种客车租金每辆300元，种客车租金为每辆220元，应该怎样租车才最合算？ 【答案】(1)1200人；26辆 (2)方案1： B种：6辆，A种：19辆；方案2：B种：7辆，A种客：18辆 (3)B种：6辆，A种：19辆 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算． （1）设原计划租用种客车辆，则这次研学去了人，根据这次去研学的人数不变，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据“租用的25辆客车可乘坐人数不少于1200人，且租用的种客车不超过7辆”，可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金每辆种客车的租金租用种客车的辆数每辆种客车的租金租用种客车的辆数，可分别求出选择各方案所需总租金，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了人， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：原计划租用4种客车26辆，这次研学去了1200人； （2）解：设租用B种客车y辆，则租用A种客车辆， 根据题意得：， 解得：， 又∵y为正整数， ∴y可以为6，7，     ∴该学校共有2种租车方案， 方案1：租用6辆B种客车，19辆A种客车； 方案2：租用7辆B种客车，18辆A种客车； （3）解：选择方案1的总租金为（元）； 选择方案2的总租金为（元）． ∵， ∴租用6辆B种客车，19辆A种客车最合算． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系，列出不等式组是解题的关键； 根据题意，设购买篮球个，则排球为个，总费用不超过3600元，即 ；篮球数量不少于排球数量的一半，即 ． 【详解】解：∵购买篮球个，则排球为个， 总费用为 ，且不超过3600元， ∴ ； 又∵篮球数量不少于排球数量的一半， ∴ ； 故不等式组为 ， 故选：C． 【变式2】（2025·湖南张家界·模拟）某古城一商铺打算购进，两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购种的件数是630元采购种件数的2倍，种的进价比种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购种的件数不低于390件，不超过种件数的4倍． (1)求，饰品每件的进价分别为多少元？ (2)若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购种超过150件时，种超过的部分按进价打6折．设购进种饰品件， ①求的取值范围； ②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润． 【答案】(1)种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元； (2)①且为整数，②当采购种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元． 【分析】（1）分别设出，饰品每件的进价，依据数量列出方程求解即可； （2）①依据题意列出不等式即可； ②根据不同的范围，列出不同函数关系式，分别求出最大值，比较即可得到李荣最大值． 【详解】（1）（1）设种饰品每件的进价为元，则B种饰品每件的进价为元． 由题意得：，解得：， 经检验，是所列方程的根，且符合题意． 种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元． （2）①根据题意得：， 解得：且为整数； ②设采购种饰品件时的总利润为元． 当时，， 即， ， 随的增大而减小． 当时，有最大值3480． 当时， 整理得：， ， 随的增大而增大． 当时，有最大值3630． ， 的最大值为3630，此时． 即当采购种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数利润最大化方案问题，关键是对分段函数的理解和正确求出最大值． 【变式3】（2025·湖南娄底·三模）袁隆平爷爷多次说：“中国人要把饭碗牢牢地端在自己的手里！”为扩大粮食生产规模，稻田公园生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机，已知购进1件甲种农机和1件乙种农机共需2万元，购进2件甲种农机和3件乙种农机共需5.5万元． (1)求购进1件甲种农机和1件乙种农机各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机共10件，且投入资金不少于9.5万元且不超过12万元，则有哪几种购买方案？ 【答案】(1)购进1件甲种农机和1件乙种农机各需万元和万元 (2)方案一：购进甲种农机件，购进乙种农机件；方案二：购进甲种农机件，购进乙种农机件；方案三：购进甲种农机件，购进乙种农机件． 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组，是解题的关键： （1）设购进1件甲种农机和1件乙种农机各需万元和万元，根据购进1件甲种农机和1件乙种农机共需2万元，购进2件甲种农机和3件乙种农机共需5.5万元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进甲种农机件，根据投入资金不少于9.5万元且不超过12万元，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设购进1件甲种农机和1件乙种农机各需万元和万元，由题意，得： ，解得：， 答：购进1件甲种农机和1件乙种农机各需万元和万元； （2）解：设购进甲种农机件，则购进乙种农机件，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴， ∴； ∴共有3种购买方案：方案一：购进甲种农机件，购进乙种农机件； 方案二：购进甲种农机件，购进乙种农机件； 方案三：购进甲种农机件，购进乙种农机件． ►题型03 其它问题 【典例】（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【答案】(1)甲车间每天能生产件产品乙车；间每天能生产件产品 (2)安排甲车间生产天，则乙车间生产天 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式以及一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品，分别表示出甲、乙两个车间合作完成的时间和乙车间单独完成的时间，再根据“前后共用10天完成这批订单”建立分式方程求解； （2）设安排甲车间生产天，则乙车间生产天，先根据“安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍”得到关于的一元一次不等式，再设生产总量为，建立关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则（件）， 答：甲车间每天能生产件产品，乙车间每天能生产件产品 （2）解：设安排甲车间生产天，则乙车间生产天， 由题意得：， 解得：， 设生产总量为，由题意得： ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最大，即这30天的生产总量最大， ∴， ∴安排甲车间生产天，则乙车间生产天． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住人，则还有人无宿舍住；若每间住人，其余宿舍住满，且有一间宿舍不空但所住的人数不足人．若设宿舍间数为，根据题意应满足的不等式（组）为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的实际应用，准确列出关系式是解题的关键． 根据总人数列式，利用最后一间宿舍人数大于等于1且小于5建立不等式组． 【详解】解：设宿舍间数为，则总人数为人， 若每间住7人，则前间住满，最后一间宿舍不空但所住人数不足5人， 即最后一间宿舍人数满足， 得， 即不等式组． 故答案为：． 【变式2】（2025·内蒙古·中考真题）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个． (1)求的值； (2)现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个? 【答案】(1)8 (2)至少需要6个这样的机器人 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个”建立分式方程求解即可； （2）设需要个这样的机器人同时工作1小时，由总采摘量不少于10000个建立一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴的值为8； （2）解：1小时， 设需要个这样的机器人， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴最小值为6， 答：至少需要6个这样的机器人 【变式3】（2025·湖北·中考真题）某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克． (1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ (2)妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果千克． ①若这两种水果按标价出售，求的取值范围； ②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款48元，求的值． 【答案】(1)购买A种水果2千克，B种水果1千克 (2)①；② 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用； （1）设购买A种水果x千克，B种水果y千克，根据在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．再建立方程组解题即可； （2）①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元，再建立不等式求解即可；②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据不同的优惠方式可得，再解方程即可. 【详解】（1）解：设购买A种水果x千克，B种水果y千克， 依题意得：， 解得：． 答：购买A种水果2千克，B种水果1千克． （2）解：①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克， ∴， 解得：， ∴结合实际可得：； ②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克， ∴， 解得：. 突破一 利用等式与不等式(组)综合 【典例】已知实数a，b，c满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将整理得到，则，把代入即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 综上：， 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的性质，等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 【变式1】（2025·福建·中考真题）（1）当取什么值时，不等式对一切实数都成立？ （2）若实数，，满足，则称比远离．对任意两个不相等的实数，，证明比远离． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，完全平方公式，不等式的性质． （1）分和两种情况讨论，当时直接判断不等式是否成立；当时利用二次函数恒小于0的条件(开口向下且判别式小于0)求解k的取值范围； （2）根据“远离”的定义，分别计算两个表达式与的差的绝对值，比较大小即可证明结论． 【详解】解：（1）当时，显然成立， ∴； 当时，不等式对一切实数x都成立， ∴， 解得， 综上，k的取值范围为； （2）证明：， ， ∵， ∴， ∴比远离． 【变式2】如果关于的分式方程有正整数解，且关于的一元一次不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式组，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先求解分式方程，得出，再求解一元一次不等式组，结合题意可得，或，分别代入求解计算即可． 【详解】解：， 去分母：， 解得：，为正整数，且， 解不等式， 可得：， 解不等式：， 可得：， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴， 又∵，为正整数，且， ∴或， 若，则， 得， 若，则， 得， ∴所有满足条件的整数的和为：， 故选：D． 【变式3】从3，，，1，这5个数中，随机抽取一个数记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之积是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 不等式组变形后，根据无解确定出a的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有整数解，确定出5个数中满足条件a的值，进而求出之积． 【详解】解： 不等式组整理得：， 由不等式组无解，得到， 分式方程去分母得：， 解得： 又∵即, 由分式方程有整数解，3，，，1，这5个数中，得到，1，， ∵， ∴、． 则这5个数中所有满足条件的a的值之积为， 故选：C． 4 【变式4】关于的一元二次方程的两根是和，若，则下列选项正确的是（    ） A．、 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系即可判断A；B、C举反例说理即可；根据一元二次方程根的判别式结合不等式的性质即可判断． 【详解】解：A、∵关于的一元二次方程的两根是和， ∴， ∴， ∴故A错误，不符合题意； B、取，符合题干条件，但 故B错误，不符合题意； C、取，符合题干条件，但 故C错误，不符合题意； D、， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 故D正确，符合题意； 故选：D． 突破二 利用不等式求最值 【典例】阅读材料： 已知为非负实数，，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知，求代数式的最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当___________时，代数式取到最小值，最小值为___________． (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (4)若为任意实数，代数式的值为m，则m的取值范围为___________． 【答案】(1)， (2)长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)当时，函数取到最大值，最大值为 (4) 【分析】本题主要考查不等式的性质，函数，分式的性质，分母有理化及完全平方公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）设这个矩形的长为x米，则宽为米，（），由题意得：所用篱笆的长度为米，然后根据题中所给方法进行求解即可； （3）由题意易得，然后根据题中所给方法可知代数式的最小值为，然后问题可求解； （4）由题意可分：当时，当时，当时，然后根据题中所给方法可分类进行求解． 【详解】（1）解：由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为； 故答案为：，． （2）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，（），由题意得： 所用篱笆的长度为米， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为20； ∴宽为米，所用篱笆的长度为米， 答：长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 （3）解：∵， ∴由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6， ∴代数式的最小值为， ∴函数的最大值为； ∴当时，函数取到最大值，最大值为； （4）解：由题意可分：当时，则； 当时，则， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， ∴的最大值为， 当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，代数式取到最大值，最大值为， ∴的最小值为， 综上所述：m的取值范围为． 【变式1】已知a、b、c均为正数，且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了不等式的性质，完全平方公式的应用，算术平方根应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的基本性质．先根据得出，根据，得出，根据不等式的基本性质得出，即可得出，两边开平方得出，最后代入，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵a、b、c均为正数， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式2】已知，当取最小值时，S的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质及完全平方公式，解决本题的关键是熟练掌握运用不等式的性质解决问题，先求出，，求得，再求得当时，取最小值，再求得，再求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 当时，取最小值， ， ， ， 故答案为： 突破三 不等式组与方程组的综合 【典例】关于x、的方程组的解是非负数，关于的不等式组有解，则满足条件的整数m的和为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解出方程组，确定m的范围，然后求出不等式组，结合m的范围，求出答案即可. 【详解】解：∵，解得：， ∵， ∴，解得：， ∵，解得：， ∵不等式组有解，则， 解得：， ∴， ∴满足条件的整数解有：， ∴； 故选择：C. 【点睛】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的解法，解题的关键是掌握解不等式组和解方程组的解法. 【变式1】若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先用整体法解二元一次方程组，再代入不等式即可求解． 【详解】解：， ，得：， 不等式整理可得：， ∴， ， 解得：． 故选：A ． 【变式2】若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7， ∴满足条件的整数之和是， 故答案为：． 【变式3】若关于x的方程 +＝3的解为正数，则m的取值范围是 ． 【答案】m＜且m 【分析】根据解分式方程的方法求出题目中分式方程的解，然后根据关于x的方程的解为正数和x﹣3≠0可以求得m的取值范围． 【详解】解： ， 方程两边同乘以x﹣3，得 x+m﹣3m＝3（x﹣3） 去括号，得 x+m﹣3m＝3x﹣9 移项及合并同类项，得 2x＝﹣2m+9 系数化为1，得 x＝， ∵关于x的方程的解为正数且x﹣3≠0， ∴， 解得，m＜且m． 【点睛】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． 【变式4】对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为．即：当n为非负整数时，如果，则．反之，当n为非负整数时，如果，则，例如：，，． 试解决下列问题： (1)填空：①___________（π为圆周率）；②如果，则实数x的取值范围为___________． (2)①若关于x的不等式组的整数解恰有3个，则a的取值范围是___________． ②若关于x的方程有正整数解，求m的取值范围． (3)求满足的所有非负整数x的值． 【答案】(1)①3，② (2)①；② (3)3 【分析】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，新定义，根据题意正确理解的意义是解题关键． （1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，进而得出的值；②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，进而得出x的取值范围； （2）①首先将看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围；②先解方程，得出，再根据是整数，x是正整数，得到或2，进而得出或1，则或，即得； （3）根据，得，解得，3，4，由是正整数即得． 【详解】（1）解：①由题意可得：； 故答案为：3， ②∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：①解不等式组得：， 由不等式组整数解恰有3个得，， 故； 故答案为：； ②解方程得， ∵是整数，x是正整数， ∴或1， ∴或1， ∴，或， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，3，4， ∵x为整数， ∴满足的所有非负整数x的值为3． 突破四 一元一次不等式组中探究问题 【典例】某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用、两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．型车每辆租金元，型车每辆租金元．若辆型和辆型车坐满后共载客人；辆型和辆型车坐满后共载客人． (1)每辆型车、型车坐满后各载客多少人？ (2)若该校计划租用型和型两种客车共辆，总租金不高于元，并将全校人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ (3)在这次活动中，学校除租用、两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为千米，甲车从学校出发小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早小时到达目的地．下图是两车离开学校的路程（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，为何值时两车相距千米． 【答案】(1)每辆型车、型车坐满后各载客人、人 (2)共有种租车方案，租辆型车，辆型车最省钱 (3)在甲乙两车第一次相遇后，当小时或小时时，两车相距千米 【分析】（1）设每辆型车、型车坐满后各载客人、人，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设租用型车辆，则租用型车辆，由题意列出一元一次不等式组，解不等式组，求整数解即可得出的值，设总租金为元，根据一次函数的性质即可求解； （3）设，，由题意可知，甲车的函数图像经过；乙车的函数图像经过，两点．求出函数解析式，进而即可求解． 【详解】（1）解：设每辆型车、型车坐满后各载客人、人，由题意得      解得     答：每辆型车、型车坐满后各载客人、人 （2）设租用型车辆，则租用型车辆，由题意得   解得：     取正整数， ，，， 共有种租车方案     设总租金为元，则 随着的增大而减小 时，最小 租辆型车，辆型车最省钱 （3）设，． 由题意可知，甲车的函数图象经过；乙车的函数图象经过，两点． ∴，     ，即 解得     或 解得 所以，在甲乙两车第一次相遇后，当小时或小时时，两车相距25千米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意找到等量关系，列出方程组，不等式组，以及函数解析式是解题的关键． 【变式1】某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 0 2 3 5 6 … 竖直高度 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． 【应用模型】 （1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． （2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为，发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求的取值范围． 【答案】建立模型：；应用模型：（1）不能，理由见解析；（2） 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． 建立模型：将点，代入计算即可得； 应用模型：（1）令，则可得，利用一元二次方程根的判别式进行判断即可得； （2）先求出，再根据当时，；当时，建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：建立模型：将点，代入得：， 解得， 所以与的函数解析式为． 应用模型：（1）令，则， 整理得：， 这个方程根的判别式为，方程没有实数根， 所以羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到． （2）∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变， ∴的值不变，即， ∴改变发球方式后，羽毛球飞行路线对应的抛物线为， ∵发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于， ∴当时，；当时，， ∴， 解得， 所以的取值范围为． 【变式2】）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【答案】(1)A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人 (2)本次研学活动学校最少租车费用为27 000元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系式是解题的关键． （1）设A型客车每辆载客量为人，根据题意列出方程，求解即可； （2）设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，根据材料三先求出m的取值范围，再列出w关于m的函数关系式，结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设A型客车每辆载客量为人，根据题意得： ． 解之得． 经检验：是方程的根，且符合题意， 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． （2）解：设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，则 ． 解之得． ． ∵，且对称轴为， ∴时，随着的增大而增大． ∵取正整数，且， ∴当时，最小值为27000（元）． ∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元 1.（2025·湖南·模拟预测）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：不等式的两边同时乘以一个负数，不等式的符合改变；不等式的两边同时加上或减去一个数，不等号方向不变逐项分析，即可求解． 【详解】解：A. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；     B. ∵，∴，故该选项正确，符合题意； C. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；     D. 当，则，故该选项不正确，不符合题意；     故选：B． 2.（2025·湖南湘潭·模拟预测）关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式的解集．根据求不等式的性质，先移项，然后化系数为1，计算即可求解． 【详解】解：， ∴， 解得：， 故答案为：． 3.（2025·湖南娄底·模拟预测）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，正确求出一元一次不等式组的解集是解题的关键． 先求出不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示出来即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， 把不等式组的解集表示在数轴上，如下： 故选：B． 4.（2025·湖南·模拟预测）不等式组的解集为（      ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小大大无法找来确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得，； 解不等式②得，； 所以，不等式组的解集为且， 故选：A． 5.（2025·湖南·模拟预测）小明计划用40元购买甲，乙两种不同类型的笔记本，已知甲种笔记本每本3元，乙种笔记本每本4元，在40元钱刚好用完且每种笔记本至少要买一本的情况，小明的购买方案有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】设小明购买甲种笔记本x本，购买乙种笔记本y本，由题意可列出关于x、y的二元一次方程，并整理可得，再由x≥1，y≥1，且都为整数即可解答． 【详解】解：设小明购买甲种笔记本x本，购买乙种笔记本y本， 由题意，得3x+4y＝40， ∴x＝． ∵x≥1，y≥1， ∴≥1， ∴， ∵x、y为整数， ∴1≤y≤9，且为整数， ∴y＝1，4，7时， x＝12，8，4， ∴共有3种购买方案． 故选：B． 【点睛】本题考查二元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用．读懂题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． 6.（2025·湖南·模拟）关于的一元一次不等式至少有两个负整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式，根据不等式解的个数求参数，理解负整数解的概念是解题的关键． 解一元一次不等式，根据不等式负整数解的个数，即可确定的取值范围． 【详解】解：解不等式得：， 又∵关于的一元一次不等式至少有两个负整数解， ∴， 即：， 故选：C． 7.（2025·湖南郴州·二模）小明去食堂排队取餐，看到甲、乙两窗口排队的人数均为，选择在甲窗口排队取餐．观察发现：甲、乙窗口的取餐速度分别为4人/分钟和6人/分钟，且乙窗口每分钟新增4人排队取餐（假定后续同学按此速度取餐）．2分钟后，小明选择到乙窗口重新排队取餐，则小明在乙窗口排队取到餐所需时间为 （用含m的式子表示）．若小明在乙窗口取到餐所需时间，比不换队伍继续在甲窗口排队取到餐所需时间少，不考虑其他因素，则排队人数m的最小值为 ． 【答案】 17 【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用，正确列出代数式与一元一次不等式是解此题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解． 【详解】解：由题意得，小明在乙窗口排队取到餐所需时间为：， 不换队伍继续在甲窗口排队取到餐所需时间为：， 由题意得， 解得， 所以排队人数m的最小值为17， 故答案为：；17． 8.（2025·湖南长沙·一模）解不等式组并写出它的非负整数解． 【答案】，不等式组的非负整数解为0，1 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，进而求出非负整数解即可． 【详解】解： 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为 ∴不等式组的非负整数解为0，1． 9.（2025·湖南衡阳·一模）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．若一次函数图象上存在“近轴点”．则m的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了新定义，一次函数的图象和性质，正确理解“近轴点”的意义，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 依据题意，分两种情况：或，分别画图计算边界点可解答． 【详解】解：∵， ∴一次函数经过， 分两种情况： ①当时，如图1， 当时，， ∵一次函数图象上存在“近轴点”， ∴， ∴； ②当时，如图2， 由①知：点A的坐标为， ∵一次函数图象上存在“近轴点”， ∴， ∴； 综上，m的取值范围为：或． 故答案为：或． 10.（2025·湖南娄底·二模）中考在即，为了缓减学生的学习压力，某中学组织九年级450名师生前往曾国藩故居开展研学活动，如果租用10辆A型巴士和8辆B型巴士，则有10人没有座位，如果租用8辆A型巴士和10辆B型巴士，则还有10个空座位． (1)求每辆A型巴士和每辆B型巴士的座位数； (2)学校决定租用两种型号的巴士共20辆，且B型巴士最多租8辆，已知每辆A型巴士和每辆B型巴士的租金分别为750元和900元，若要使参加活动的师生均有座位，则共有多少种租车方案？最低租车费用是多少？ 【答案】(1)每辆A型巴士的座位数为20个，每辆B型巴士的座位数为30个 (2)共有4种租车方案，最低租车费用为15750元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用等知识，解题的关键是： （1）设每辆A型巴士的座位数为m个，每辆B型巴士的座位数为n个，根据“如果租用10辆A型巴士和8辆B型巴士，则有10人没有座位，如果租用8辆A型巴士和10辆B型巴士，则还有10个空座位”列方程组求解即可； （2）设租用A型巴士x辆，则租用B型巴士辆，以此可列出一元一次不等式，求得m的范围，设租车的总费用为w（元），因此，根据一次函数的性质，结合m的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：设每辆A型巴士的座位数为m个，每辆B型巴士的座位数为n个， 根据题意，得， 解得， 答：每辆A型巴士的座位数为20个，每辆B型巴士的座位数为30个； （2）解：设租用A型巴士x辆，租用B型巴士辆， 根据题意，得， 解得， ∵x为整数， ∴x的取值为12、13、14、15， ∴共有4种租车方案， 设租车总费用为w元， 则， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w取最小值，最小值为， 答：共有4种租车方案，最低租车费用为15750元． 11.（2025·湖南·模拟）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的相伴方程． (1)问方程是不是不等式组的相伴方程？请说明理由； (2)若关于x的方程是不等式组的相伴方程，求a的取值范围； (3)若方程和都是关于x的不等式组的相伴方程，求k的取值范围． 【答案】(1)方程是不等式组的相伴方程，理由见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了一元一次不等式组和一元一次方程的解法，掌握相伴方程的定义和分类讨论是解题的关键． （1）求出方程的解和不等式组的解集，根据相伴方程的定义进行判断即可； （2）解不等式组得到，解方程得到，根据关于x的方程是不等式组的相伴方程得到，解不等式组即可得到答案； （3）求出两个方程的解后，根据k的取值范围分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：方程是不等式组的相伴方程． 理由如下： 解不等式组，得：， 解方程，得：， ∵， ∴方程是不等式组的相伴方程． （2）解不等式组，得：， 解方程，得：， ∵关于x的方程是不等式组的相伴方程， ∴， 解得：， 即a的取值范围是． （3）解方程，得：， 解方程，得：， ∵方程和都是关于x的不等式组的相伴方程， ∴分为两种情况： ①当时，解不等式得到：，此时不等式组的解集为：，不符合题意，舍去； ②当时，不等式为：，此时不等式组的解集为：， ∴根据题意，得： ， 解得：， 即k的取值范围为． 1.（2025·山东济南·中考真题）已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可得出答案． 【详解】解：A、，则，选项错误，不符合题意； B、，则，选项错误，不符合题意； C、，则，选项错误，不符合题意； D、，则，即，选项正确，符合题意， 故选：D． 2.（2025·吉林·中考真题）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键． 解一元一次不等式，通过移项即可求解． 【详解】解：不等式为， 移项，得：， 不等式的解集为． 故选：A． 3.（2025·内蒙古·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先解一元一次不等式组，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示是： 故选：C． 4.（2025·四川宜宾·中考真题）采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 【答案】C 【分析】设小明答对x道题，则答错或不答的题数为道，根据得分规则建立不等式，解不等式后求解x的最小整数值即可． 本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设答对x道题，则答错或不答的题数为道． 根据题意得：， 解得：， ∴x的最小值为12， ∴他至少要答对12道题． 故选：C． 5.（2025·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 【答案】2 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的整数解．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，找出整数解即可得答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为， 原不等式组的整数解为3，2共2个． 故答案为：2． 6.（2025·四川南充·中考真题）不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集，熟知不等式组的解集取值规则是关键． 先分别求出每一个不等式的解集，再根据两个解集结合不等式组的解集求出m的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴． 故答案为： 7.（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式的解集和已知得出关于P的不等式组是解此题的关键．先根据新定义化简关于的不等式，根据不等式组有3个整数解，得出，进而解不等式组，即可求解． 【详解】解：∵ ∴关于a的不等式组即 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组有3个整数解， ∴整数解为， ∴ 解得： 故答案为：． 8.（2025·山东淄博·中考真题）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的应用，根据对话列不等式组，求出解集即可． 【详解】解：根据对话可得， 解得， 故答案为：． 9.（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 【答案】B 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解①得： 解②得：， ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解 ∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． 当时，解集包含， 此时． 分式方程化简为：， 解得． 要求解为正整数且，则为大于等于2的整数， 即为大于等于6的偶数． ∵， ∴或8， 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 则所有满足条件的整数之和为， 故选：B． 10.（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，根据新定义运算分类讨论是解题的关键．根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴，故①正确， ②∵， 当时，， 当时，，即，故②不正确； ③不成立，例如，则，故③不正确； ④当即时， 则：， 解得：， ∴； 当，即时， 则：， 解得：， ∴， 综上所述，，故④正确， 故正确的有①和④，共2个， 故选：B． 11.（2025·陕西·中考真题）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解法为解题的关键． 将原不等式去括号得到，，通过移项、合并同类项得到，最后将系数化为1得到，将解集画在数轴上即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项、合并同类项得： 系数化为1得： 原不等式的解集在数轴上表示如解图． 12．（2025·西藏·中考真题）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示见详解 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解为． 在数轴上表示为： 13.（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【答案】(1)款机器人的单价为5万元，款机器人的单价为4万元 (2)购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，根据用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，根据购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得，再设购买成本为万元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元； （2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台， 根据题意得：， 解得：， 设购买成本为万元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时，， 答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台． 14.（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)每个篮球60元，每个足球50元 (2)当购买篮球4个的时候，所花费用最少 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数解析式，是解题的关键： （1）设每个篮球元，每个足球元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设蓝球有个，购买的总费用是元，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得： 或或，（三个方程组任选一个即可） 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． （2）设蓝球有个，则足球有个 ， 解得：， 设购买的总费用是元， ， ， 随着的减小而减小； ∵且为整数， 当最小值为4时，最小值为540元； 答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少． 15.（2025·黑龙江绥化·中考真题）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和2颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元． (1)求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． (2)若该公司计划购买、两种型号的芯片共频，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． (3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是________． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值________． 【答案】(1)购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 (2)当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 (3)①；②或或 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数最优化问题： （1）根据题意列方程组求解即可； （2）结合不等式约束条件，将问题转化为求函数最小值即可； （3）求出解析式代入计算即可；求出甲乙两车的函数解析式，分类讨论即可． 【详解】（1）设：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 由题意得 解得 答：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 （2）设购买型芯片颗，则购买型芯片颗，所需资金为元 由题意得： 随的增大而减小 购买型芯片的数量不少于型芯片数量的3倍， 解得 取正整数 当时，取最小值，（元） 此时 答：当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 （3）①设的解析式为 将点，代入 得 解得 所以，的解析式为， 当时， 所以，甲车的速度为 ②的解析式为 将点代入 得，解得 所以的解析式为 当函数的图象在函数上方时 可列方程 解得 当函数的图象在函数下方时 可列方程 解得 当甲车到达地，乙离目的地时， 可列方程 解得 综上所述，的值为：或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $