精品解析：广东汕头市金平区2025～2026学年度第一学期高一级教学质量监测数学试卷

金平区2025~2026学年度第一学期高一级教学质量监测 数 学 试 卷 说明:本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟， 注意事项: 1.答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写准考证号、姓名、学生考号，再用2B铅笔把学生考号的对应数字涂黑 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应答案选项涂黑，如需改动.用皮擦擦干净后，再重新选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第I卷（本卷共计58分） 一、单选题：本题共8小题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求出集合，再由集合的交集运算可得结果. 【详解】易知集合， 又，可得. 故选：B 2. 已知命题，则是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定定义求出. 【详解】由题意可知，是. 故选：B 3. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据常见函数的奇偶性及单调性判断即可. 【详解】对于A，函数为奇函数， 且在和上为增函数，故A错误； 对于B，函数为偶函数，故B错误； 对于C，函数为奇函数，且在上为增函数，故C正确； 对于D，函数为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C 4. 在平面直角坐标系中，角以为顶点，为始边，终边经过点，则角可以是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角终边上的点确定三角函数值即可得解. 【详解】由角终边经过点，知，且为第四象限角. 故选：B 5. 设,则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由对数函数的图象和性质可得： ， 由指数函数的图象和性质可得： 故选 6. 函数的部分图象可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由函数的解析式分析的奇偶性以及定义域上的符号，可得答案． 【详解】由题意知的定义域为， 则，所以为奇函数，可排除， 又因当时，，所以，则满足选项的图像. 故选： 7. 已知，则（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】弦化切得，再根据两角和的正切公式代入计算即可. 【详解】，解得， . 故选：A. 8. 已知函数，若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，将原方程转化为，可得，作出函数的图象，数形结合，根据原方程根的个数，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】令，则即为，即， 即，则， 作出函数的图象，如图： 因为方程有且仅有5个不同实数根， 结合图象可得或， 即或， 解得或无解， 故实数的取值范围是， 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分有选错的得0分. 9. 已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根的关系，利用韦达定理即可求解. 【详解】由题意知，和是方程的两个实数根，则， 故且，解得，， 故选：AC. 10. 已知函数，则（    ） A. 最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象可通过的图象上所有点向左平移个单位长度得到 D. 点是图像的一个对称中心 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦型函数的周期公式求解判断A；根据正弦函数的性质判断B；根据函数的平移求解判断C；代入检验判断D. 【详解】由，则最小正周期为，故A正确； 当时，， 因为函数在上单调递增， 所以函数在区间上单调递增，故B正确； 将的图象上所有点向左平移个单位长度得到 ，故C错误； 因为， 所以点是图像的一个对称中心，故D正确. 故选：ABD 11. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，设，则下列结论中正确的是（ ） A. 对任意， B. 点是函数的对称中心 C. 若函数的图象关于点成中心对称图形，则 D. 函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用给定的推广结论及函数，逐一计算判断选项A，B，C；利用轴对称及偶函数的意义推理判断D作答. 【详解】函数为奇函数，等价于， 则函数的图象关于点成中心对称图形等价于，C不正确； 对任意，由得，，A正确，B正确； 函数的图象关于直线成轴对称图形等价于， 函数为偶函数等价于，D正确. 故选：ABD 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， (1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. (2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 第Ⅱ卷（本卷共计92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式化简即可. 【详解】因为，所以. 故答案为： 13. 在金平区第二届高中数学建模比赛中，某参赛队围绕“基于无障碍的WIFI信号平面传播模型”，发现WIFI信号y（单位：dBm）与距离x（单位：m）的关系可拟合为对数函数模型若某两个设备分别位于距离发射源2m和6m的位置，则这两个位置的信号差的值为___________ 【答案】8.6 dBm 【解析】 【分析】根据给定的函数模型，结合对数运算即可得解. 【详解】依题意，这两个位置的信号差的值为 （dBm）. 故答案为：8.6 dBm 14. 若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，判断的奇偶性和单调性，进而求解即可. 【详解】因对任意的，且，都有， 不妨设，则， 设，则， 所以在上单调递减， 又为奇函数及，所以， 则为偶函数，且，故在上单调递增， 则时，，时，， 由，则， 即，则不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2）36 【解析】 【详解】解：（1）因为， 所以，得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. （2）因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. 16. 已知全集，：，：，其中. （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意解不等式化简集合，结合集合的交集和补集运算求解； （2）分析可知集合是集合的真子集，分类讨论a的符号，结合包含关系运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：， 若，则，可得， 所以. 【小问2详解】 若是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 若，则，符合题意； 若，则，不合题意； 若，则，可得，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 17. 已知函数，，. （1）求的值； （2）求的单调递减区间； （3）函数在上的零点个数恰为2个，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2），. （3） 【解析】 【分析】（1）代入已知条件即可求出； （2）对题干中的式子利用公式化成正弦型函数，再利用其性质即可； （3）根据题干结合正弦函数的性质列出不等式即可. 【小问1详解】 ，.因为，所以. 【小问2详解】 于是. 设，.解得，. 因此的单调递减区间为，. 【小问3详解】 因为，所以. 因为函数在上的零点个数恰为2个，所以. 解得.即. 18. 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨. （1）求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本 （2）若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润最大利润是多少 【答案】（1）当年产量为吨时，其生产的总成本最低，最低成本为万元 （2）当年产量为吨时，可获得最大利润万元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得总成本的表达式，利用二次函数的性质求得总成本的最小值并求得此时对应的年产量. （2）利用求得总利润的表达式，再根据二次函数的性质求得最大利润以及此时对应的年产量. 【小问1详解】 因为， 所以当年产量为吨时，其生产的总成本最低，最低成本为万元. 【小问2详解】 设该工厂年获得总利润为万元， 则. 因为在上是增函数， 所以当时，有最大值为. 故当年产量为吨时，可获得最大利润万元. 19. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）判断函数在其定义域上的单调性，并用定义法证明； （3）若不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）为上的增函数， 证明：，且， ， ∵，∴，∴， ∴，即，∴为上的增函数． （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇函数的性质与定义求参数即可得结论； （2）利用单调性的定义，取值，作差，变形，定号，从而可证得函数单调性； （3）根据函数的奇偶性与单调性得不等式为，再利用不等式的恒成立、能成立求解最值即可得结论. 【小问1详解】 ∵为上的奇函数． ∴，∴，∴ 检验：此时为奇函数，满足条件； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，∴， ∵在上的奇函数，∴， ∵为上的增函数，∴， ∵对恒成立，∴， ∵在上单调递增，∴， ，使不等式成立，∴， ∵在上单增，在上单减， ∴，∴，∴， 另解：，使不等式成立， ∴， ∵，∴在上单减，在上单增 ∴ ∴即 ∴对恒成立 ∴， ∵在上单增，∴， ∴，∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金平区2025~2026学年度第一学期高一级教学质量监测 数 学 试 卷 说明:本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟， 注意事项: 1.答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写准考证号、姓名、学生考号，再用2B铅笔把学生考号的对应数字涂黑 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应答案选项涂黑，如需改动.用皮擦擦干净后，再重新选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第I卷（本卷共计58分） 一、单选题：本题共8小题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则是（     ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，角以为顶点，为始边，终边经过点，则角可以是（   ） A. B. C. D. 5. 设,则 A. B. C. D. 6. 函数的部分图象可能是（    ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. 5 B. C. D. 8. 已知函数，若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分有选错的得0分. 9. 已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（    ） A. 最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象可通过的图象上所有点向左平移个单位长度得到 D. 点是图像的一个对称中心 11. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，设，则下列结论中正确的是（ ） A. 对任意， B. 点是函数的对称中心 C. 若函数的图象关于点成中心对称图形，则 D. 函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数 第Ⅱ卷（本卷共计92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则___________ 13. 在金平区第二届高中数学建模比赛中，某参赛队围绕“基于无障碍的WIFI信号平面传播模型”，发现WIFI信号y（单位：dBm）与距离x（单位：m）的关系可拟合为对数函数模型若某两个设备分别位于距离发射源2m和6m的位置，则这两个位置的信号差的值为___________ 14. 若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为_____________ 四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 16. 已知全集，：，：，其中. （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. 已知函数，，. （1）求的值； （2）求的单调递减区间； （3）函数在上的零点个数恰为2个，求实数的取值范围. 18. 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨. （1）求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本 （2）若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润最大利润是多少 19. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）判断函数在其定义域上的单调性，并用定义法证明； （3）若不等式成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $