第08讲 全等三角形与等腰三角形（复习讲义，3考点8题型3重难）（上海专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“全等三角形与等腰三角形”专题，覆盖三角形基本概念（内角和、外角、中位线）、全等三角形（判定、性质、构造）、等腰三角形（性质、判定、三线合一、等边三角形）等中考核心考点，通过考情剖析、知识导航构建知识网络，考点解析分模块通关，命题洞悉按题型预测，重难突破针对重心、全等综合、等腰分类等难点，优题精选分层训练，体现复习教学的系统性和针对性。 亮点在于融合核心素养，如通过重心性质探究培养几何直观，全等三角形构造训练发展推理意识，等腰三角形分类讨论提升抽象能力。特设“三线合一”辅助线专题，结合2025年模拟题讲解截长补短法构造全等，分层练习从基础巩固到全国新趋势，帮助学生高效突破易错点，教师可依此把控复习节奏，提升学生应考能力。

三角形的角平分线、中线和高 三角形的重心是三角形三边中线的交点。 三角形的重心 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 重心的性质： 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 考点一三角形基本概念 重心到三角形3个顶点距离的和最小。（等边三角形） 三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边。 三角形内角和是180°。 三角形内角和与外角和 三角形的外角和为360°。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 性质1：全等三角形的对应边相等。 全等三角形的性质 性质2：全等三角形的对应角相等。 考点二全等三角形 判定定理1：SSS一一三条边分别对应相等的两个三角形全等。 判定定理2：SAS一一两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等。 全等三角形与 全等三角形的判定 判定定理3：ASA一一两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等。 等腰三角形 判定定理4：AAS一两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 判定定理5：皿一斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等。 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。 线段垂直平分线的性质 垂直平分线垂直且平分其所在线段」 性质： 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。 概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 等腰三角形的性质 等腰三角形的两腰相等。 性质： 等腰三角形的两个底角相等。【简称：等边对等角】 考点三等腰三角形 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。【三线合一】 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。【简 称：等角对等边】 等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 等边三角形的性质 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60° 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴：它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是 对称轴。 由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形。 等边三角形的判定 判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 第四章 三角形 第08讲 全等三角形与等腰三角形 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 11 命题点一 三角形基本概念 题型01 与三角形有关的线段 题型02 与三角形有关的角 命题点二 全等三角形 题型01 全等三角形的判定 题型02 求反比例函数解析式 命题点三 等腰三角形 题型01 等腰三角形的性质和判定 题型02 等腰三角形的定义及性质 题型03 三线合一 题型04 等边三角形 05·重难突破·思维进阶 15 突破一 重心的有关性质 突破二 全等三角形综合问题 突破三 等腰三角形等角对等边 06·优题精选·练能提分 21 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点类别 具体考点 考频 课标要求 三角形基本概念 1. 三角形内角和定理； 2. 三角形外角性质； 3. 三角形中位线定理 2023年T17、2024年T12、2023年T25(1)、 2025年T22(1) 1. 掌握内角和定理，能计算未知角； 2. 理解外角性质，简化角推导； 3. 掌握中位线定义与定理，能证明平行或求线段长 全等三角形 1. 判定定理； 2. 性质应用； 3. 复杂图形全等构造 2023年T23(2)、2024年T23(1)、2024年T23(2)、2025年T23(1) 1. 掌握判定定理，能选合适方法； 2. 理解全等性质，推导线段/角关系； 3. 能识别或构造全等三角形 等腰三角形 1. 性质（等边对等角、三线合一）； 2. 判定（等角对等边）； 3. 与折叠/旋转综合应用 2023年T25(3)、2024年T17、2024年T23(1)、2025年T22(1)、2025年T23(1) 1. 掌握性质与判定，能推理角度/线段； 2. 理解三线合一，能证明垂直或相等； 3. 能分析折叠/旋转后等腰三角形 命题预测 核心考点年年必考，题型覆盖选择、填空、解答，侧重与四边形、动态图形（折叠/旋转）综合，注重逻辑推理，分类讨论为高频易错点 备考建议 夯实定理定义与基础应用，精练近三年真题，熟练掌握辅助线构造（作高、截长补短），强化分类讨论意识，避免动态图形和等腰三角形漏解 考点一 三角形基本概念 1．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． 【特别提醒】锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 2．三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 3．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 4．三角形内角和定理 （1）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 5．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． 6．等腰直角三角形 （1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形． （2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）； （3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1． 7．三角形中位线定理 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 1．（2025•上海模拟预测）如图，在周长为20cm的△ABC中，AD是边BC上的中线，已知CD＝4cm，AC＝7cm，则AB的长为（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 2．（长宁区模拟）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB＝10，则它的周长等于 　 　 ． 3．（2025•徐汇区二模）如图，在△ABC中，点D是边AC的中点，点E在边BC上，CE＝2BE，AE和BD交于点O，那么△BOE和四边形OECD的面积比是 　 　 ． 4．（2025•闵行区模拟）我们定义：有两边之比是1：2的三角形叫“倍半三角形”．已知直角三角形ABC是倍半三角形，如果AB＝1，∠B＝90°，那么△ABC的面积＝　 　 ． 5．（2025•崇明区模拟）已知点G是△ABC的重心，如果联结AG，并延长AG交边BC于点D，那么下列说法中错误的是（　　） A．BD＝CD B．AG＝GD C．AG＝2GD D．BC＝2BD 6．（2025•浦东新区校级模拟）已知三角形三边长分别为a，b，c，其中a，b满足|a﹣3|+（b﹣7）2＝0，那么这个三角形的最大边长c的值可以是（　　） A．10 B．8 C．5 D．6 7．一张三角形纸片如图所示，已知∠B+∠C＝α，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记∠1+∠2＝β，则下列选项正确的是（　　） A．α＝β B．α＞β C．α＜β D．无法比较α和β的大小 8．（2024•宝山区二模）如图，街心花园有A、B、C三座小亭子，A、C两亭被池塘隔开，A、B、C三亭所在的点不共线．设AB、BC的中点分别为M、N．如果MN＝3米，那么AC＝　 　 米． 考点二 全等三角形 1．全等图形 （1）全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （2）对应顶点、对应边、对应角：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 2．全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 3．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 4．直角三角形全等的判定 （1）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． （2）一般三角形全等的判定方法也适合． 5．全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 1．（黄浦区二模）我们把两个能够完全重合的图形称为全等图形，则下列命题中真命题是（　　） A．有一条边长对应相等的两个矩形是全等图形 B．有一个内角对应相等的两个菱形是全等图形 C．有两条对角线对应相等的两个矩形是全等图形 D．有两条对角线对应相等的两个菱形是全等图形 2．（2025•金东区二模）把正方形ABCD按如图方式切割成由四个全等的直角三角形（△ABF，△BCG，△CDH，△DAE）和小正方形EFGH，连结AC，交BG于点P，若AE＝2，DE＝3，则PG的长为（　　） A． B． C． D． 3．在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是 　 　 ． 4．（黄浦区二模）我们规定：在四边形ABCD中，O是边BC上的一点，如果△OAB与△OCD全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”．在四边形EFGH中，∠EFG＝90°，EF∥GH，EF＝1，FG＝3，如果该四边形的“等形点”在边FG上，那么四边形EFGH的周长是 　 　 ． 5．（2024•静安区校级二模）我们把一条对角线是另一条对角线2倍的四边形叫“奇异四边形”．现有两个全等的直角三角形，一条直角边长是1，如果它们可以拼成对角线互相垂直的“奇异四边形”，那么直角三角形另一条直角边长是　 　 ． 6．（宝山区三模）如图，在直线l上有三个正方形A，B，C，若正方形A，C的面积分别是8，6，则正方形B的面积为（　　） A．10 B．12 C．14 D．18 7．（2025•徐汇区一模）如图，l1∥l2∥l3，且l1和l2之间的距离是1，l2和l3之间的距离是2，△ABC的三个顶点分别在l1、l2、l3上，AC与l2交于点D，如果BC⊥AC，tan∠BAC，那么BD的长是 　 　 ． 8．（2025•浦东新区校级三模）如图，点O是菱形ABCD的对称中心，连接OA、OB，OA＝4，OB＝6，EF为过点O的一条直线，点E、F分别在AD、BC上，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 9．如图，某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带（　　） A．带③去 B．带②去 C．带①去 D．带①②去 考点三 等腰三角形 1．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线 2．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质： ①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 3．等腰三角形的性质 （1）概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）性质： ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 4．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 5．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 6．等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 1．（普陀区二模）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，AO＝2，下面结论中不一定正确的是（　　） A．∠BOC＝120° B．∠BAO＝30° C．OB＝3 D．点O到直线BC的距离是1 2．（徐汇区一模）如图，点D在△ABC边AB上，∠ACD＝∠B，点F是△ABC的角平分线AE与CD的交点，且AF＝2EF，则下列选项中不正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（徐汇区二模）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE的大小是（　　） A．24° B．30° C．32° D．36° 4．（杨浦区二模）如图，△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，BC的垂直平分线交AB于点D，连接DC．如果AD＝2，BD＝6，那么△ADC的周长为　 　 ． 5．（2025•浦东新区校级模拟）如图，直线EF分别交直线AB、CD于点P和点Q，点R在直线CD上，且RQ＝PQ，如果AB∥CD，∠APQ＝40°，那么∠BPR＝　 　 度． 6．（2025•普陀区三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，AD＝BD，如果∠DAC＝102°，那么∠BAD＝　 　 度． 7．【分类讨论】（2025•浦东新区校级模拟）已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在腰AC上，如果BD将△ABC分割成两个等腰三角形，那么∠BAC的度数为　 　 ． 8．（2025•青浦区二模）在同圆中，圆内接正三角形的边长与圆内接正六边形的边长的比值是 　 　 ． 命题点一 三角形基本概念 ►题型01 与三角形有关的线段 1．重心分中线：（为重心，为中线） 2．重心＋平行线（面积／线段比） , 相似比：， 面积比：。 【典例】（2026·上海金山·一模）在等边中，点分别在边上，将沿折叠，使得点与的重心重合，与交于点，延长交于点，那么的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式1】（2025·上海闵行·一模）形状与大小都确定的一个锐角三角形，点是边上一点，下列条件不能唯一确定与面积的比值的是（    ） A．点是边的黄金分割点 B．点是边的中点 C．是边上的高 D．是的平分线 【变式2】（2026·上海松江·一模）如图，点是的重心，经过点，且，那么与面积的比值是 ． ►题型02 与三角形有关的角 1. 三角形内角和定理： 2. 三角形外角性质：外角不相邻的两个内角之和 3. 直角三角形两个锐角互余： 4. 等腰三角形两底角相等：若，则 【避坑指南】 1. 不要忽略三角形的外角是“不相邻”的两个内角之和，不要错加相邻的内角。 2. 遇到复杂图形时，先标记已知角，再用“整体代换”思想简化计算。 【典例】（2025·上海黄浦·一模）如果两个三角形是相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别为和，那么另一个三角形中最小内角的度数为 ． 【变式1】（2026·上海松江·一模）已知与相似，，那么的度数可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·上海长宁·一模）如图，在中，，，分别是边上的点，满足，若为的中点，且，那么的值为 ． 命题点二 全等三角形 ►题型01 全等三角形的判定 1. 直接判定类 - 读题时，先标记已知的边、角相等关系。 - 对照判定定理，凑齐对应条件即可证明全等。 2. 添加条件类 - 分析已有条件，看还缺什么条件能满足判定定理。 - 例如：已有两边，缺夹角 → 选SAS；已有两角，缺夹边或其中一角的对边 → 选ASA或AAS。 3. 二次全等类 - 先通过第一次全等得到新的边/角相等，再用新条件证明第二次全等。 4. 动点/折叠类 - 利用动点运动过程中的不变量（如速度相等→路程相等）或折叠的性质，得到边/角相等。 - 再结合判定定理证明全等。 【典例】（2025·上海闵行·二模）如图，在中，，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转，点落在边延长线上的点处，连接，与边交于点，，，那么的长为 ． 【变式1】（2025·上海松江·二模）已知：如图，四边形是菱形，是对角线上一点，连结、并延长，分别与边、交于点、． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【变式2】（2025·上海嘉定·一模）如图1，在中，，过点作，垂足为点，点在边上（不与点重合），点是边上的点，且满足，设． (1)求证：； (2)如图2，过点作，垂足为点，求证：； (3)设点是的中点，连接并延长交边于点，当与相似时，求的值． 命题点三 等腰三角形 ►题型01 等腰三角形的性质和判定 等腰三角形与几何变换综合题解题方法 解决这类题时，我们可先梳理等腰三角形、直角三角形、翻折变换的核心性质，用设参或建系的方式把几何条件转化为代数关系。遇到等腰、直角等存在性问题时，要按边或角的不同情况分类讨论，再利用等角、等线段转化，结合勾股定理或三角函数计算。最后，结合题目中点、线的位置约束验证解的合理性，舍去不符合题意的结果。 【典例】（2025·上海松江·二模）我们把一个等腰三角形的腰与底边的比值叫做这个等腰三角形的“特征值”．设等腰△的特征值是，下列命题中假命题是（     ） A．如果，那么△是直角三角形 B．如果，那么△有一内角为 C．如果△是直角三角形，那么 D．如果△有一内角为，那么 【变式1】（2026·上海徐汇·一模）如图，中，，，，为斜边上的中线，则的值为 ． 【变式2】（2026·上海长宁·一模）在矩形中，，，为射线上一点，将沿翻折，得到（点的对应点为）．联结，当为等腰三角形时，长是 ． ►题型02 等腰三角形的定义及性质 等腰三角形与相似三角形综合题解题方法 解决这类题时，我们可先梳理等腰三角形“等边对等角”“等角对等边”的性质，以及相似三角形“两角对应相等”“两边成比例且夹角相等”的判定条件。对命题判断类问题，需分情况验证（如高的位置、角是顶角或底角），排除特殊情况干扰；对证明类问题，从已知条件（如等线段、等角）出发，转化为等角或成比例线段，进而证明三角形相似，再利用相似性质推导结论。 【典例】（2026·上海松江·一模）已知命题： ①腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似 ②底边和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似 下列对这两个命题的判断，正确的是（     ） A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【变式1】（2025·上海金山·一模）下列说法中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．含角的两个等腰三角形一定相似 D．含角的两个等腰三角形一定相似 【变式2】（2025·上海长宁·一模）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，，． (1)求证：； (2)如果点是边的中点，求证：． ►题型03 三线合一 等腰三角形“三线合一”题型解题方法 解决这类题时，我们可先利用等腰三角形“三线合一”性质，确定底边的中点、高线与中线的重合关系，快速得到线段相等或中点信息。遇到中线、高线交点时，结合重心“分中线为2:1”的性质转化线段比例；计算类问题可通过设参简化边长，结合勾股定理、相似三角形或中位线定理建立方程求解；证明类问题则从等角、平行条件出发，推导三角形相似，再利用相似性质转化线段比例。 【典例】（2025·上海奉贤·一模）等腰三角形中， 分别是边上的中线，且 ，那么 ． 【变式1】（2025·上海杨浦·一模）如图，在中，，，中线与高交于点，如果，那么 ． 【变式2】（2025·上海松江·一模）如图，在中，，，，垂足分别为点，点．，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． ►题型04 等边三角形 特殊角（30°/60°）与等边三角形综合题解题方法 解决这类题时，我们可先抓住等边三角形、菱形、含30°/60°角的直角三角形的核心性质：菱形对角线平分120°内角得到60°/30°角，等边三角形三边相等且内角为60°，30°角对直角边是斜边的一半。计算时，优先通过作高构造直角三角形，设参表示边长，结合三角函数、勾股定理或相似三角形转化线段比例；网格类问题可利用菱形边长与角度建立坐标，求出线段长度后计算三角函数值；与圆结合的题型，可利用切线性质、半径相等的条件，将角或线段关系转化到特殊直角三角形中求解。 【典例】（2026·上海松江·一模）如图，由6个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为1，，点、、都在格点上，那么的值是 ． 【变式1】如图，在中，，，． (1)求的长； (2)在边上取一点，使，连接，求的正切值． 【变式2】（2025·上海松江·二模）如图，在△中，，，点在边上，以为圆心，为半径的圆与边交于点，与边相切于点． (1)当时，求的半径长； (2)求的值． 突破一 重心的有关性质 【典例】（2025·上海嘉定·一模）如图，点是的重心，连接并延长交边于点．如果，那么 （用含向量的式子表示）   【变式1】（2025·上海静安·二模）如图，点是的重心，已知，，那么向量 ．（用向量、表示） 【变式2】（2026·上海长宁·一模）如图，已知点是的重心，连接并延长交边于点，连接，过点作交边于点． (1)如果设，试用表示． (2)当，，时，求的面积． 突破二 全等三角形综合问题 【典例】（2026·上海黄浦·一模）如图，过菱形顶点A分别作边、的垂线，垂足为E、F，交对角线于点M、N． (1)求证：； (2)连接，如果，求的值； (3)如果与五边形的面积均为1，求菱形的面积． 【变式1】（2025·上海宝山·二模）如图，已知梯形，，，以点为圆心、为半径画弧，与分别交于点，且．                          (1)如果设，，求的长； (2)求的值； (3)如果是弧的中点，求的值． 【变式2】（2025·上海浦东新·二模）已知：如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，且．对角线分别交、于点M、N，联结、． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点C作交的延长线于点P，如果，求证：． 突破三 等腰三角形等角对等边 【典例】如图，在中，，，点在边上，且，将绕着点逆时针旋转，点落在的一条边上的点处，那么旋转角的度数是 ．    【变式1】（2025·上海长宁·一模）已知在中，，点、、分别在边、、上，且，连接． (1)如图1，如果，，求的余切值： (2)如图2，连接交于点，如果，求的值； (3)如果，，，与相似，求的长． 【变式2】（2026·上海徐汇·一模）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点分别与点对应，边分别与原三角形底边交于点．当是等腰三角形时，的长为 ． 1．（2025·上海普陀·一模）如图，在四边形中，为对角线，，如果要证得与全等，那么可以添加的条件是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海金山·一模）在中，如果，这个三角形的重心为点，设，，那么向量用向量、表示为 ． 3．（2025·上海黄浦·一模）如图，在四边形中，E是上的点，，，，那么 ． 4．（2026·上海松江·一模）如图，在梯形中，，，是边上一点，与交于点，如果平分，且． (1)求证：； (2)求证：． 5．（2026·上海徐汇·一模）如图，在四边形中，，，，点在边上，且． (1)求证：； (2)过点作射线交边于点，交的延长线于点．若，求证：． 1．（2026·上海虹口·一模）如图，在中，，，，是的中点．是线段延长线上一点，连接，如果四边形的一组对角相等且另一组对角不相等，那么的长是____________． 2．（2026·上海虹口·一模） 【模型探究】 如图，已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，满足．求证：． 【模型应用】 （1）已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，如果，，那么的度数为_____________； （2）如图，已知，是边上一点，请在边上选择一个合适的点，并在内部求作一个点，满足且． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 3．（2026·上海黄浦·一模）如图，在中，，是的中位线，是线段上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)如果，求证：； (2)过点作交于点，连接并延长交的延长线于点，再连接，求证：． 4．（2026·上海长宁·一模）如图1，在中，为边上一点，始终满足． (1)求证：． (2)在中，当时． ①如图2，已知，过点作交于点，若的面积为5，求长． ②如图3，为中点，如，设长为，记与的差为，求关于的函数关系式及函数定义域． 1．（2025·湖南·中考真题）如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点， ． 2．（2025·江西·中考真题）如图，在矩形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是 3．（2025·湖南·中考真题）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则 ； （2）下列结论正确的是 （写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 4．（2025·四川德阳·中考真题）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点处是它的两个门，且，要修建两条直路，与相交于点（两个门的大小忽略不计）． (1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由； (2)同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点B处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由． 1 / 81 学科网（北京）股份有限公司 $三角形的角平分线、中线和高 三角形的重心是三角形三边中线的交点。 三角形的重心 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 重心的性质： 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 考点一三角形基本概念 重心到三角形3个顶点距离的和最小。（等边三角形） 三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边。 三角形内角和是180°。 三角形内角和与外角和 三角形的外角和为360°。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 性质1：全等三角形的对应边相等。 全等三角形的性质 性质2：全等三角形的对应角相等。 考点二全等三角形 判定定理1：SSS一一三条边分别对应相等的两个三角形全等。 判定定理2：SAS一一两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等。 全等三角形与 全等三角形的判定 判定定理3：ASA一一两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等。 等腰三角形 判定定理4：AAS一两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 判定定理5：L一斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等。 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。 线段垂直平分线的性质 垂直平分线垂直且平分其所在线段。 性质： 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。 概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 等腰三角形的性质 等腰三角形的两腰相等。 性质： 等腰三角形的两个底角相等。【简称：等边对等角】 考点三等腰三角形 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。【三线合一】 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。【简 称：等角对等边】 等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 等边三角形的性质 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60° 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴：它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是 对称轴。 由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形。 等边三角形的判定 判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 第四章 三角形 第08讲 全等三角形与等腰三角形 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 27 命题点一 三角形基本概念 题型01 与三角形有关的线段 题型02 与三角形有关的角 命题点二 全等三角形 题型01 全等三角形的判定 题型02 求反比例函数解析式 命题点三 等腰三角形 题型01 等腰三角形的性质和判定 题型02 等腰三角形的定义及性质 题型03 三线合一 题型04 等边三角形 05·重难突破·思维进阶 42 突破一 重心的有关性质 突破二 全等三角形综合问题 突破三 等腰三角形等角对等边 06·优题精选·练能提分 74 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点类别 具体考点 考频 课标要求 三角形基本概念 1. 三角形内角和定理； 2. 三角形外角性质； 3. 三角形中位线定理 2023年T17、2024年T12、2023年T25(1)、 2025年T22(1) 1. 掌握内角和定理，能计算未知角； 2. 理解外角性质，简化角推导； 3. 掌握中位线定义与定理，能证明平行或求线段长 全等三角形 1. 判定定理； 2. 性质应用； 3. 复杂图形全等构造 2023年T23(2)、2024年T23(1)、2024年T23(2)、2025年T23(1) 1. 掌握判定定理，能选合适方法； 2. 理解全等性质，推导线段/角关系； 3. 能识别或构造全等三角形 等腰三角形 1. 性质（等边对等角、三线合一）； 2. 判定（等角对等边）； 3. 与折叠/旋转综合应用 2023年T25(3)、2024年T17、2024年T23(1)、2025年T22(1)、2025年T23(1) 1. 掌握性质与判定，能推理角度/线段； 2. 理解三线合一，能证明垂直或相等； 3. 能分析折叠/旋转后等腰三角形 命题预测 核心考点年年必考，题型覆盖选择、填空、解答，侧重与四边形、动态图形（折叠/旋转）综合，注重逻辑推理，分类讨论为高频易错点 备考建议 夯实定理定义与基础应用，精练近三年真题，熟练掌握辅助线构造（作高、截长补短），强化分类讨论意识，避免动态图形和等腰三角形漏解 考点一 三角形基本概念 1．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． 【特别提醒】锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 2．三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 3．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 4．三角形内角和定理 （1）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 5．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． 6．等腰直角三角形 （1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形． （2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）； （3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1． 7．三角形中位线定理 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 1．（2025•上海模拟预测）如图，在周长为20cm的△ABC中，AD是边BC上的中线，已知CD＝4cm，AC＝7cm，则AB的长为（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 【答案】B 【分析】由AD是边BC上的中线，得到BC＝2CD＝8（cm），根据AB+AC+BC＝20（cm），求得AB＝20﹣7﹣8＝5（cm）． 【解答】解：∵AD是边BC上的中线， ∴BC＝2CD＝8（cm）， ∵△ABC的周长＝20cm， ∴AB+AC+BC＝20（cm）， ∴AB＝20﹣7﹣8＝5（cm）， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，周期的识别图形是解题的关键． 2．（长宁区模拟）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB＝10，则它的周长等于 　 　 ． 【答案】10+10或610． 【分析】分两种情况讨论：①Rt△ABC中，CD⊥AB，CDAB＝5；②Rt△ABC中，ACBC，分别依据勾股定理和三角形的面积公式，即可得到该三角形的周长． 【解答】解：分两种情况： ①如图所示，Rt△ABC中，CD⊥AB，CDAB10＝5， 设BC＝a，AC＝b， 则， 解得a+b＝10或a+b＝﹣10（舍去）， ∴△ABC的周长为1010； ②如图所示，Rt△ABC中，ACBC， 设BC＝a，AC＝b， 则， 解得：， ∴△ABC的周长为610； 综上所述，该三角形的周长为10+10或610． 故答案为：10+10或610． 【点评】本题主要考查了新定义的运用，三角形的高线以及勾股定理的运用，解决问题给的关键是利用勾股定理进行推算． 3．（2025•徐汇区二模）如图，在△ABC中，点D是边AC的中点，点E在边BC上，CE＝2BE，AE和BD交于点O，那么△BOE和四边形OECD的面积比是 　 　 ． 【答案】1：5． 【分析】连接OC，设S△BOE＝S，S△COD＝S1，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将各三角形的面积用含S的代数式表示出来，从而求出△BOE和四边形OECD的面积比即可． 【解答】解：如图，连接OC． 设S△BOE＝S，S△COD＝S1， ∵CE＝2BE，点D是边AC的中点， ∴S△COE＝2S，S△AOD＝S1， ∵S△ABD＝S△BCD， ∴S△AOB+S1＝3S+S1， ∴S△AOB＝3S， ∵S△ABE：S△ACE＝1：2，即（3S+S）：（2S1+2S）＝1：2， ∴S1＝3S， ∴S四边形OECD＝2S+S1＝2S+3S＝5S， ∴S△BOE：S四边形OECD＝S：5S＝1：5． 故答案为：1：5． 【点评】本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键． 4．（2025•闵行区模拟）我们定义：有两边之比是1：2的三角形叫“倍半三角形”．已知直角三角形ABC是倍半三角形，如果AB＝1，∠B＝90°，那么△ABC的面积＝　 　 ． 【答案】1或或或． 【分析】分四种情况讨论，利用三角形面积公式求得即可． 【解答】解：当BC＝2AB＝2时，△ABC的面积1； 当BCAB时，△ABC的面积； 当AC＝2BC时，则BCAB时，△ABC的面积； 当AC＝2AB＝2时，则BC，△ABC的面积； 故答案为：1或或或． 【点评】本题考查了三角形的面积，勾股定理的应用，分类讨论思想的运用是解题的关键． 5．（2025•崇明区模拟）已知点G是△ABC的重心，如果联结AG，并延长AG交边BC于点D，那么下列说法中错误的是（　　） A．BD＝CD B．AG＝GD C．AG＝2GD D．BC＝2BD 【答案】B 【分析】根据三角形重心的定义可判断AD为BC边上的中线，则可对A、D选项进行判断；根据三角形重心的性质可对B、C选项进行判断． 【解答】解：如图， ∵点G是△ABC的重心， ∴AD为BC边上的中线， ∴BD＝CD，BC＝2BD，所以A、D选项的说法正确； ∵点G是△ABC的重心， ∴AG＝2GD，所以B选项的说法错误，C选项的说法正确． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 6．（2025•浦东新区校级模拟）已知三角形三边长分别为a，b，c，其中a，b满足|a﹣3|+（b﹣7）2＝0，那么这个三角形的最大边长c的值可以是（　　） A．10 B．8 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据两个非负数的和是0，可以求得a，b的值．因而根据三角形的三边关系就可以求得第三边的范围． 【解答】解：根据题意得：a﹣3＝0，b﹣7＝0， 解得a＝3，b＝7， 因为c是最大边，所以7≤c＜7+3， 即7≤c＜10． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形三边关系和非负数的性质，根据三角形三边关系定理结合题目的已知条件列出不等式，然后解不等式即可． 7．一张三角形纸片如图所示，已知∠B+∠C＝α，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记∠1+∠2＝β，则下列选项正确的是（　　） A．α＝β B．α＞β C．α＜β D．无法比较α和β的大小 【答案】A 【分析】根据三角形的内角和定理可得，即可求解． 【解答】解：∵∠B+∠C＝180°﹣∠A，∠1+∠2＝180°﹣∠A， ∴∠B+∠C＝∠1+∠2， 即α＝β， 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 8．（2024•宝山区二模）如图，街心花园有A、B、C三座小亭子，A、C两亭被池塘隔开，A、B、C三亭所在的点不共线．设AB、BC的中点分别为M、N．如果MN＝3米，那么AC＝　 　 米． 【答案】6． 【分析】根据三角形中位线定理计算即可． 【解答】解：∵点M、N分别为AB、BC的中点， ∴MN是△ABC的中位线， ∴AC＝2MN＝2×3＝6（米）， 故答案为：6． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 考点二 全等三角形 1．全等图形 （1）全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （2）对应顶点、对应边、对应角：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 2．全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 3．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 4．直角三角形全等的判定 （1）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． （2）一般三角形全等的判定方法也适合． 5．全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 1．（黄浦区二模）我们把两个能够完全重合的图形称为全等图形，则下列命题中真命题是（　　） A．有一条边长对应相等的两个矩形是全等图形 B．有一个内角对应相等的两个菱形是全等图形 C．有两条对角线对应相等的两个矩形是全等图形 D．有两条对角线对应相等的两个菱形是全等图形 【答案】D 【分析】根据全等图形的定义及特点，结合各选项进行判断即可． 【解答】解：A、有一条边长对应相等的两个矩形是全等图形，命题不正确，故本选项错误； B、有一个内角对应相等的两个菱形是全等图形，命题不正确，故本选项错误； C、有两条对角线对应相等的两个矩形是全等图形，命题不正确，故本选项错误； D、两条对角线对应相等的两个菱形是全等图形，是真命题，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查了全等图形的知识，注意掌握全等图形的定义，属于基础题． 2．（2025•金东区二模）把正方形ABCD按如图方式切割成由四个全等的直角三角形（△ABF，△BCG，△CDH，△DAE）和小正方形EFGH，连结AC，交BG于点P，若AE＝2，DE＝3，则PG的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据全等三角形的性质得到CG＝AE＝2，AF＝DE＝3，再根据正方形得性质得到GF＝EF＝1，HG∥EF，接着证明△CGP∽△AFP，则利用相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质可计算出PG． 【解答】解：∵△ABF，△BCG，△CDH，△DAE为四个全等的直角三角形， ∴CG＝AE＝2，AF＝DE＝3， ∵四边形HEFG为正方形， ∴GF＝EF＝AF﹣AE＝3﹣2＝1，HG∥EF， ∵GC∥AF， ∴△CGP∽△AFP， ∴， ∴， ∴PGGF． 故选：A． 【点评】本题考查了全等图形，灵活运用全等三角形的性质是解决问题的关键．也考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质． 3．在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是 　 　 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理求得AB＝5，由△ACD≌△C1A1D1，所以可以将A1点放在如图的C点上，C1点放在如图的A点上，D1点对应如图的D点，从而得出BC∥B1C1，根据其性质得出2，解得求出AD的长． 【解答】解：∵△ACD≌△C1A1D1，可以将△C1A1D1与△ACD重合，如图， ∵∠ACB＝∠A1C1B1＝90°， ∴BC∥B1C1， ∴， ∵AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∴， 解得AD， ∴AD的长为， 故答案为． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的应用，平行线的性质，证得是解题的关键． 4．（黄浦区二模）我们规定：在四边形ABCD中，O是边BC上的一点，如果△OAB与△OCD全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”．在四边形EFGH中，∠EFG＝90°，EF∥GH，EF＝1，FG＝3，如果该四边形的“等形点”在边FG上，那么四边形EFGH的周长是 　 　 ． 【答案】8或6． 【分析】根据全等三角形的性质分两种情况求解即可． 【解答】解：∵四边形EFGH的“等形点”在边FG上， ∴△OEF与△OHG全等， ∵∠EFG＝90°，EF∥GH， ∴∠OGH＝90°， 如图，当△OEF≌△OHG时， ∴EF＝HG＝1， ∵EF∥GH， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∴EH＝FG＝3， ∴四边形EFGH的周长为：1+3+1+3＝8； 如图，当△OEF≌△OGH时， ∴EF＝OG＝1，OF＝GH，OE＝OH，∠OEF＝∠HOG， ∴∠EFO＝90°， ∴∠OEF+∠EOF＝90°， ∴∠HOG+∠EOF＝90°， ∴∠EOH＝180°﹣90°＝90°， ∵FG＝3， ∴OF＝FG﹣OG＝2， ∴GH＝2， ∴OE， ∴EH， ∴四边形EFGH的周长为：1+3+26， 故答案为：8或6． 【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟练掌握“全等三角形的对应边相等、对应角相等”是解题的关键． 5．（2024•静安区校级二模）我们把一条对角线是另一条对角线2倍的四边形叫“奇异四边形”．现有两个全等的直角三角形，一条直角边长是1，如果它们可以拼成对角线互相垂直的“奇异四边形”，那么直角三角形另一条直角边长是　 　 ． 【答案】2或2 【分析】因直角边的长度为1，有可能是长直边的长度或短直角边的长度，所以需进行分两种情况计算；由全等三角形的性质，等积变换建立等量关系表示出另一直角边的长，再由勾股定量表示同一直角的长建立方程，解出方程的解，求出另一直角的长为2或2． 【解答】解：（1）当CD＝1时，设DO＝m，且0＜m＜1， BD＞1，如图1所示： ∵Rt△ABC≌Rt△DBC， ∴∠BAC＝∠BDC＝90°，BA＝BD，CA＝CD， ∴△ABD是等腰三角形， ∴AO＝DO＝m， 又∵BC＝2AD， ∴BC＝4m， 又∵AD⊥BC， ∴2m2， 又∵CD⊥BD， ∴BD， ∴2m2BD， 解得：BD＝4m2， 在Rt△DBC中，由勾股定理得： BD， ∴4m2， 解得：m2或m2 ∴4m2＝2或4m2＝2（舍去）， ∵BD＞1， ∴BD＝2； （2）当BD＝1时，设DO＝x，且0＜x＜1， CD＜1，如图1所示： 同理可求得： 或， ∴4x2＝2（舍去），或4x2＝2， ∵CD＜1， ∴CD＝2； 综合所述，另一条直角边的长为2或2， 故答案为2或2． 【点评】本题综合考查了全等三角形的面积，等腰三角形的判定与性质，等积变换求三角的面积，解方程和分类讨论思想等相关知识，重点掌握全等三角形的性质，难点是等积变换构建方程和分类思想． 6．（宝山区三模）如图，在直线l上有三个正方形A，B，C，若正方形A，C的面积分别是8，6，则正方形B的面积为（　　） A．10 B．12 C．14 D．18 【答案】C 【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠EDF＝∠HFG，然后证明△EDF≌△HFG，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可． 【解答】解：如图， 由于A、B、C都是正方形，所以DF＝FH，∠DFH＝90°； ∵∠DFE+∠HFG＝∠EDF+∠DFE＝90°，即∠EDF＝∠HFG， 在△DEF和△HGF中， ， ∴△DEF≌△FGH（AAS）， ∴DE＝FG，EF＝HG； 在Rt△DEF中，由勾股定理得：DF2＝DE2+EF2＝DE2+HG2， 即SB＝SA+SC＝8+6＝14， 故选：C． 【点评】此题主要考查全等三角形的判定和性质，和勾股定理，关键是证明△DEF≌△HGF． 7．（2025•徐汇区一模）如图，l1∥l2∥l3，且l1和l2之间的距离是1，l2和l3之间的距离是2，△ABC的三个顶点分别在l1、l2、l3上，AC与l2交于点D，如果BC⊥AC，tan∠BAC，那么BD的长是 　 　 ． 【答案】5． 【分析】如图，过点A作AH⊥直线l2于点H，交直线l3于点J，过点B作BT⊥直线l3于点T．证明△BTC≌△DHA（AAS），推出TC＝AH＝1，再利用勾股定理求解． 【解答】解：如图，过点A作AH⊥直线l2于点H，交直线l3于点J，过点B作BT⊥直线l3于点T． ∵l1∥l2∥l3，且l1和l2之间的距离是1，l2和l3之间的距离是2， ∴AD：DC＝AH：HJ＝1：2， ∵tanA， ∴AD＝BC， ∵∠BTC＝∠AHD＝∠ACB＝∠AJC＝90°， ∴∠BCT+∠ACJ＝90°，∠ACJ+∠CAJ＝90°， ∴∠BCT＝∠DAH， 在△BTC和△DHA中， ， ∴△BTC≌△DHA（AAS）， ∴TC＝AH＝1， ∴BC， ∵CD＝2AD＝2BC＝2， ∴BD5． 故答案为：5． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 8．（2025•浦东新区校级三模）如图，点O是菱形ABCD的对称中心，连接OA、OB，OA＝4，OB＝6，EF为过点O的一条直线，点E、F分别在AD、BC上，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 【答案】12． 【分析】先算出菱形的面积，再算出四边形ABFE的面积，因为阴影部分的面积＝四边形ABFE的面积﹣S△ABO，求得三角形ABO的面积，可得阴影部分的面积． 【解答】解：连接OC、OD， ∵点O是菱形ABCD的对称中心， ∴AC⊥BD，O是AC与BD的交点， ∴CO＝AO＝4，DO＝BO＝6， ∴AC＝8，BD＝12， ∵EF为过点O的一条直线， ∴四边形ABFE的面积＝四边形CDEF的面积菱形ABCD的面积， ∵菱形ABCD的面积AC×BD＝48， ∴四边形ABFE的面积24， ∵阴影部分的面积＝四边形ABFE的面积﹣S△ABO，S△ABOAO×BO＝12， ∴阴影部分的面积＝24﹣12＝12， 故答案为：12． 【点评】本题考查了中心对称、菱形，关键是掌握菱形的性质． 9．如图，某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带（　　） A．带③去 B．带②去 C．带①去 D．带①②去 【答案】A 【分析】根据图形，第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则根据全等三角形的判定，利用“ASA”来配一块一样的玻璃． 【解答】解：图③中含原三角形的两角及夹边，由三角形的判定方法可确定唯一三角形．其它两个不行． 故选：A． 【点评】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 考点三 等腰三角形 1．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线 2．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质： ①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 3．等腰三角形的性质 （1）概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）性质： ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 4．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 5．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 6．等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 1．（普陀区二模）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，AO＝2，下面结论中不一定正确的是（　　） A．∠BOC＝120° B．∠BAO＝30° C．OB＝3 D．点O到直线BC的距离是1 【答案】C 【分析】由角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝60°，由三角形内角和定理求出∠BOC的度数，由三角形内心的性质求出∠BAO的度数是30°， OB的长在变化不一定等于3，由直角三角形的性质得到ON＝1，由角平分线的性质得到OM＝ON＝1，得到O到BC的距离是1． 【解答】解：作OM⊥BC于M，ON⊥AB于N， ∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠BAC）＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°， 故A正确； ∵BO、CO分别平分∠ABC， ∴O是△ABC的内心， ∴AO平分∠BAC， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BAO∠BAC＝30°， 故B正确； OB的长在变化不一定等于3， 故C不一定正确； ∵∠ANO＝90°，∠NAO＝30°， ∴ONAO2＝1， ∴OM＝ON＝1， ∴O到BC的距离是1， 故D正确． 故选：C． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质． 2．（徐汇区一模）如图，点D在△ABC边AB上，∠ACD＝∠B，点F是△ABC的角平分线AE与CD的交点，且AF＝2EF，则下列选项中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过C作CG∥AB交AE延长线于G，由条件可以证明△ACF≌△GCE（ASA），得到AF＝EG，CF＝CE，由△ADF∽△GCF，再由平行线分线段成比例，即可解决问题． 【解答】解：过C作CG∥AB交AE延长线于G， ∴∠G＝∠BAE， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE， ∴∠G＝∠CAE， ∴CG＝CA， ∵∠ACD＝∠B，∠ECG＝∠B， ∴∠ACF＝∠ECG， ∴△ACF≌△GCE（ASA）， ∴CF＝CE，AF＝EG， ∵AF＝2FE， ∴EG＝2FE， 令EF＝k，则AF＝EG＝2k，AE＝GF＝3k， ∵△ADF∽△GCF， ∴AD：CG＝AF：FG＝2k：（3k）＝2：3， ∴， 故A正确． ∵AB∥CG， ∴CE：BE＝GE：AE＝2k：（3k）＝2：3， ∴， 故B正确． ∵∠ACD＝∠B，∠DAC＝∠BAC， ∴△ACD∽△ABC， ∴， 故C正确． ∵，AC和BD不一定相等， ∴不一定等于． 故选：D． 【点评】本题考查角的平分线，相似三角形的判定和性质，关键是通过辅助线构造相似三角形． 3．（徐汇区二模）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE的大小是（　　） A．24° B．30° C．32° D．36° 【答案】C 【分析】由EF是BC的垂直平分线，得到BE＝CE，根据等腰三角形的性质得到∠EBC＝∠ECB，由BD是∠ABC的平分线，得到∠ABD＝∠CBD，根据三角形的内角和即可得到结论． 【解答】解：∵EF是BC的垂直平分线， ∴BE＝CE， ∴∠EBC＝∠ECB， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠DBC＝∠ECB， ∵∠BAC＝60°，∠ACE＝24°， ∴∠ABD＝∠DBC＝∠ECB（180°﹣60°﹣24°）＝32°． 故选：C． 【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 4．（杨浦区二模）如图，△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，BC的垂直平分线交AB于点D，连接DC．如果AD＝2，BD＝6，那么△ADC的周长为　 　 ． 【答案】14 【分析】由BC的垂直平分线交AB于点D，可得CD＝BD＝6，又由等边对等角，可求得∠BCD的度数，继而求得∠ADC的度数，则可判定△ACD是等腰三角形，继而求得答案． 【解答】解：∵BC的垂直平分线交AB于点D， ∴CD＝BD＝6， ∴∠DCB＝∠B＝40°， ∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝80°， ∴∠ADC＝∠A＝80°， ∴AC＝CD＝6， ∴△ADC的周长为：AD+DC+AC＝2+6+6＝14． 故答案为：14． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用． 5．（2025•浦东新区校级模拟）如图，直线EF分别交直线AB、CD于点P和点Q，点R在直线CD上，且RQ＝PQ，如果AB∥CD，∠APQ＝40°，那么∠BPR＝　 　 度． 【答案】70． 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠QRP＝∠QPR，由平行线的性质得到∠BPR＝∠QRP，进而得到∠BPR＝∠QPR，再根据∠APQ＝40°，由邻补角的定义即可求解． 【解答】解：∵RQ＝PQ， ∴∠QRP＝∠QPR（等边对等角）， ∵AB∥CD， ∴∠BPR＝∠QRP（两直线平行，内错角相等）， ∴∠BPR＝∠QPR（等量代换）， ∵∠APQ＝40°， ∴∠BPQ＝180°﹣∠APQ＝180°﹣40°＝140°， ∴， 故答案为：70． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 6．（2025•普陀区三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，AD＝BD，如果∠DAC＝102°，那么∠BAD＝　 　 度． 【答案】26． 【分析】根据三角形的内角和定理得到∠ADC+∠C＝180°﹣∠DAC＝78°，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵∠DAC＝102°， ∴∠ADC+∠C＝180°﹣∠DAC＝78°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵AD＝BD， ∴∠B＝∠BAD， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝2∠B， ∴∠ADC+∠C＝2∠B+∠B＝3∠B＝78°， ∴∠BAD＝26°， 故答案为：26． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7．【分类讨论】（2025•浦东新区校级模拟）已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在腰AC上，如果BD将△ABC分割成两个等腰三角形，那么∠BAC的度数为　 　 ． 【答案】36°或（）°． 【分析】分为两种情况： 当AD＝BD，BD＝BC时，根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，推出∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，求出∠C＝∠ABC＝2∠A，根据三角形内角和定理求出即可； 当AD＝BD，BC＝DC时，设∠A＝x°，则∠ABD＝∠A＝x°，∠DBC＝∠BDC＝x°+x°＝2x°，∠C＝∠ABC＝3x°，根据三角形内角和定理求出即可． 【解答】解：当AD＝BD，BD＝BC时， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵△ABD和△BCD是等腰三角形， ∴AD＝BD，BD＝BC， ∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A， 即∠C＝∠ABC＝∠BDC＝2∠A， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴∠A+2∠A+2∠A＝180°， ∴∠BAC＝36°； 当AD＝BD，BC＝DC时， 设∠A＝x°，则∠ABD＝∠A＝x°，∠DBC＝∠BDC＝x°+x°＝2x°，∠C＝∠ABC＝3x°， 在△BDC中，2x+2x+3x＝180， x， 则∠BAC＝（）°， 故答案为：36°或（）°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质的应用，关键是能根据等腰三角形的性质进行推理． 8．（2025•青浦区二模）在同圆中，圆内接正三角形的边长与圆内接正六边形的边长的比值是 　 　 ． 【答案】． 【分析】设六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，则△ACE是⊙O的内接正三角形，连接OC，OD，OE，设OD交CE于点H，证明△OCD和△ODE均为正三角形，则∠OCD＝∠COD＝60°，CD＝OC＝OD，根据垂径定理得OD⊥CE，CH＝HE，则∠OCH∠OCD＝30°，设OH＝a，则OC＝CD＝2a，CH，进而得CE，据此求出的值即可得出答案． 【解答】解：设六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，则△ACE是⊙O的内接正三角形， 连接OC，OD，OE，设OD交CE于点H，如图所示： ∴∠COD＝∠DOE＝360°÷6＝60°，CD＝DE， ∵OD＝OD＝OE， ∴△OCD和△ODE均为正三角形， ∴∠OCD＝∠COD＝60°，CD＝OC＝OD， ∵CD＝DE， ∴， 根据垂径定理得：OD⊥CE，CH＝HE， ∴∠OCH∠OCD＝30°， 在Rt△OCH中，设OH＝a， ∴OC＝CD＝2a， 由勾股定理得：CH， ∴CE＝2CH， ∴， 即在同圆中，圆内接正三角形的边长与圆内接正六边形的边长的比值是． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，圆内接正多边形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，圆内接正多边形的性质是解决问题的关键． 命题点一 三角形基本概念 ►题型01 与三角形有关的线段 1．重心分中线：（为重心，为中线） 2．重心＋平行线（面积／线段比） , 相似比：， 面积比：。 【典例】（2026·上海金山·一模）在等边中，点分别在边上，将沿折叠，使得点与的重心重合，与交于点，延长交于点，那么的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】一次函数与几何综合、重心的有关性质、等边三角形的性质、折叠问题 【分析】本题考查折叠，重心的性质，平面直角坐标系的建立，解题关键在于熟练掌握其相关知识点；通过建立坐标系，设等边的边长为，建立平面直角坐标系，计算重心G、中点O、点E和F的坐标，进而求出和的长度，即可求解. 【详解】解：如图；设等边的边长为，建立平面直角坐标系： 则，， ∵中点，重心(，根据重心性质，重心将分为)   ∴中点（与的中点，   ∵折叠后为的垂直平分线， ∴为水平线（垂直于轴且过） 设直线解析式：过，两点， ∴，解得 ∴直线解析式，联立得 ， 设直线解析式：过，两点， ∴，解得， ∴直线解析式，联立得  ， ∴， ∵， ∴， 故选：C. 【变式1】（2025·上海闵行·一模）形状与大小都确定的一个锐角三角形，点是边上一点，下列条件不能唯一确定与面积的比值的是（    ） A．点是边的黄金分割点 B．点是边的中点 C．是边上的高 D．是的平分线 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积、角平分线的性质定理、黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，三角形的面积，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据黄金分割，三角形的中线，三角形的面积，角平分线的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、点D是边的黄金分割点，而的黄金分割点有两个，所以与面积的比值不唯一，故A符合题意； B、∵点D是边的中点， ∴， ∴与面积的比值为1， 故B不符合题意； C、∵是边上的高， ∴与面积的比值为， 故C不符合题意； D、∵是的平分线， ∴与面积的比值为， 故D不符合题意； 故选：A． 【变式2】（2026·上海松江·一模）如图，点是的重心，经过点，且，那么与面积的比值是 ． 【答案】 【知识点】重心的有关性质、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，重心的性质，连接并延长交于点，根据平行线分线段成比例，结合重心的性质，得到，进而得到，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果． 【详解】解：连接并延长交于点， ∵点是的重心， ∴， ∵经过点，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与面积的比值为； 故答案为：． ►题型02 与三角形有关的角 1. 三角形内角和定理： 2. 三角形外角性质：外角不相邻的两个内角之和 3. 直角三角形两个锐角互余： 4. 等腰三角形两底角相等：若，则 【避坑指南】 1. 不要忽略三角形的外角是“不相邻”的两个内角之和，不要错加相邻的内角。 2. 遇到复杂图形时，先标记已知角，再用“整体代换”思想简化计算。 【典例】（2025·上海黄浦·一模）如果两个三角形是相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别为和，那么另一个三角形中最小内角的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记以上知识点是解答本题的关键． 先根据三角形的内角和等于求出另一个角的度数，从而确定出最小的角的度数，再根据相似三角形对应角相等解答． 【详解】解：三角形的两个内角分别为和， 第三个内角为， 这个三角形的最小的内角的度数为， 两个三角形是相似三角形， 另一个三角形的最小内角的度数为， 故答案为：． 【变式1】（2026·上海松江·一模）已知与相似，，那么的度数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质． 利用相似三角形的性质，对应角相等，但对应顶点不确定，需讨论对应或的情况，从而求出的可能值． 【详解】解：∵与相似， ∴对应角相等． ∵， ∴，故不对应． 情况1∶若对应，则， ∴； 情况2∶若对应，则； ∴可能为或． 只有C符合． 故选：C． 【变式2】（2026·上海长宁·一模）如图，在中，，，分别是边上的点，满足，若为的中点，且，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据三角形的内角和定理得到，进而得到，根据，得到，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴，即， ∵， ∴； 故答案为： 命题点二 全等三角形 ►题型01 全等三角形的判定 1. 直接判定类 - 读题时，先标记已知的边、角相等关系。 - 对照判定定理，凑齐对应条件即可证明全等。 2. 添加条件类 - 分析已有条件，看还缺什么条件能满足判定定理。 - 例如：已有两边，缺夹角 → 选SAS；已有两角，缺夹边或其中一角的对边 → 选ASA或AAS。 3. 二次全等类 - 先通过第一次全等得到新的边/角相等，再用新条件证明第二次全等。 4. 动点/折叠类 - 利用动点运动过程中的不变量（如速度相等→路程相等）或折叠的性质，得到边/角相等。 - 再结合判定定理证明全等。 【典例】（2025·上海闵行·二模）如图，在中，，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转，点落在边延长线上的点处，连接，与边交于点，，，那么的长为 ． 【答案】/ 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过作交延长线于，证明，得出，设，则，则，证明，得出，根据，得出，即，求出k的值，即可得出答案即可． 【详解】解析：如图：过作交延长线于， 根据旋转可知：， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， 设，则，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 解得：或（舍去）， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 【变式1】（2025·上海松江·二模）已知：如图，四边形是菱形，是对角线上一点，连结、并延长，分别与边、交于点、． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)证明详见解析 (2)证明详见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上基本性质是解答本题的关键． （1）由菱形的性质可知，垂直平分，继而可知，，求得，进而判定，得出结论； （2）由菱形的性质和已知条件，根据角的和差计算易得，进而可判定，再根据相似三角形的对应线段成比例即可得出结论． 【详解】（1）证明：（1）四边形是菱形， ，垂直平分， ， 点在上， ， ， 在和中， ， ， ． （2）设交于点，则， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2】（2025·上海嘉定·一模）如图1，在中，，过点作，垂足为点，点在边上（不与点重合），点是边上的点，且满足，设． (1)求证：； (2)如图2，过点作，垂足为点，求证：； (3)设点是的中点，连接并延长交边于点，当与相似时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】（1）设，则，在结合等腰三角形的性质即可推出结论； （2）过点作于点，过作于点，证明，得出，可推出结论； （3）分两种情况①当时，②当时，分别求解即可． 【详解】（1）证明：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，过点作于点，过作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵与相似， ①当时，如图所示 则， ∴， ∵点是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴的值为或． 【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了等边对等角，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质等知识点．正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 命题点三 等腰三角形 ►题型01 等腰三角形的性质和判定 等腰三角形与几何变换综合题解题方法 解决这类题时，我们可先梳理等腰三角形、直角三角形、翻折变换的核心性质，用设参或建系的方式把几何条件转化为代数关系。遇到等腰、直角等存在性问题时，要按边或角的不同情况分类讨论，再利用等角、等线段转化，结合勾股定理或三角函数计算。最后，结合题目中点、线的位置约束验证解的合理性，舍去不符合题意的结果。 【典例】（2025·上海松江·二模）我们把一个等腰三角形的腰与底边的比值叫做这个等腰三角形的“特征值”．设等腰△的特征值是，下列命题中假命题是（    ） A．如果，那么△是直角三角形 B．如果，那么△有一内角为 C．如果△是直角三角形，那么 D．如果△有一内角为，那么 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、判断三边能否构成直角三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数，根据“特征值”的定义，再利用等腰三角形的性质，根据等腰三角形的特征值求出三角形的两的角的度数，或根据等腰三角形中角的度数求出它们的特征值，根据计算结果判断各选项的正误即可． 【详解】解：A选项：当时，可设腰长为，则底长为， ， △是直角三角形是直角三角形， 故 A选项正确，不符合题意； B选项：如下图所示，过作于点， ， 设，则， ，且， ， ， ， 故B选项正确，不符合题意； C选项：如下图所示，，， ， ， 故C选项正确，不符合题意； D选项：当这个角底角为时，由选项可知，此时， 当顶角为时， 如下图所示，，， 过作于点， 在△中，设，则，， ， 在△中，， ， 故D选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式1】（2026·上海徐汇·一模）如图，中，，，，为斜边上的中线，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、求角的余弦值 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质及余弦的定义，根据已知条件利用勾股定理求得的值，再由直角三角形斜边中线定理可得，根据等腰三角形的性质得出，进而求得结果． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵为斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2026·上海长宁·一模）在矩形中，，，为射线上一点，将沿翻折，得到（点的对应点为）．联结，当为等腰三角形时，长是 ． 【答案】，，， 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、折叠问题 【分析】以点为原点建立平面直角坐标系，设，利用翻折性质得到，；分三种情况讨论为等腰三角形的条件，分别求解的长度． 【详解】解：以点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，则，，，设（）， ∵沿翻折得到， ∴，， ①如图，当时，则在的垂直平分线上， ∴设， ∵，， ∴， ∴或， ∵， ∴ ∴当时，；当时，； ②如图，当时， 设 ∵且，， ∴， 解得，， ∴ ∵，， ∴， 解得； ③如图，当时，设， ∵且，，， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：，，，． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、翻折的性质、等腰三角形的判定与性质、平面直角坐标系的应用及勾股定理，熟练掌握翻折的性质并分情况讨论等腰三角形的存在性是解题的关键． ►题型02 等腰三角形的定义及性质 等腰三角形与相似三角形综合题解题方法 解决这类题时，我们可先梳理等腰三角形“等边对等角”“等角对等边”的性质，以及相似三角形“两角对应相等”“两边成比例且夹角相等”的判定条件。对命题判断类问题，需分情况验证（如高的位置、角是顶角或底角），排除特殊情况干扰；对证明类问题，从已知条件（如等线段、等角）出发，转化为等角或成比例线段，进而证明三角形相似，再利用相似性质推导结论。 【典例】（2026·上海松江·一模）已知命题： ①腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似 ②底边和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似 下列对这两个命题的判断，正确的是（     ） A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】D 【知识点】等边对等角、判断命题真假、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了判断命题真假，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，如图1所示，等腰三角形一腰上的高都为，且两个三角形的腰长相等，而此时两个三角形不相似，据此可判断①；如图2所示，可证明，得到，进而可证明；同理可证明当两个三角形为钝角三角形，也相似，据此可判断②． 【详解】解：如图1所示，在中，点D和点E都是上的点，且， ∴都是等腰三角形， 此时满足，但是和不相似， ∴命题①是假命题； 当两个三角形都为锐角三角形时， 如图2所示，中，，中， ， ∵，且， ∴， ∴， 又∵， ∴； 同理可证明当两个三角形为钝角三角形，也相似， 综上所述，命题②是真命题； 故选：D． 【变式1】（2025·上海金山·一模）下列说法中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．含角的两个等腰三角形一定相似 D．含角的两个等腰三角形一定相似 【答案】D 【知识点】等边对等角、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键．利用相似三角形的判定依次判断可求解． 【详解】解：A、两个等腰三角形不一定相似，故选项A不符合题意； B、两个直角三角形不一定相似，故选项B不符合题意； C、含角的两个等腰三角形不一定相似，故选项C不符合题意； D、含角的两个等腰三角形一定相似，故选项D符合题意； 故选：D． 【变式2】（2025·上海长宁·一模）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，，． (1)求证：； (2)如果点是边的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】等边对等角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明可得即可证明结论； （2）先证明可得，结合可得，即，则，最后结合点是中点即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵   ∴， ∴，   ∴． （2）解：∵， ∴， ∴，   ∴， ∵，， ∴ ∴   ∴ ∴ ∵点是中点， ∴， ∴． ►题型03 三线合一 等腰三角形“三线合一”题型解题方法 解决这类题时，我们可先利用等腰三角形“三线合一”性质，确定底边的中点、高线与中线的重合关系，快速得到线段相等或中点信息。遇到中线、高线交点时，结合重心“分中线为2:1”的性质转化线段比例；计算类问题可通过设参简化边长，结合勾股定理、相似三角形或中位线定理建立方程求解；证明类问题则从等角、平行条件出发，推导三角形相似，再利用相似性质转化线段比例。 【典例】（2025·上海奉贤·一模）等腰三角形中， 分别是边上的中线，且 ，那么 ． 【答案】3 【知识点】重心的有关性质、三线合一、斜边的中线等于斜边的一半、求角的正切值 【分析】设与交于Q，连接并延长交于点，由题意得，点为的重心，则为中点，，则为等腰直角三角形，设，则，即可求解． 【详解】解：设与交于Q，连接并延长交于点， 由题意得，点为的重心， ∴为中点， ∵， ∴， ∵，为中点 ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴设，则， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了求一个角的正切值，等腰三角形的性质，重心的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式1】（2025·上海杨浦·一模）如图，在中，，，中线与高交于点，如果，那么 ． 【答案】/ 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线及三角形中位线定义，熟知等腰三角形的性质及三角形中位线定理是解题的关键．先根据等腰三角形的性质及为的中线，得出为的中位线，进而可求出的长，进一步可求出的长，再过点作的垂线，构造出直角三角形，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：由题知， ，且为高线，， ． 又是的中线， 是的中位线． ， ． 在中， ． 过点作的垂线，垂足为， ， ， ． 又为中点， ． 在中， ． 故答案为：． 【变式2】（2025·上海松江·一模）如图，在中，，，，垂足分别为点，点．，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】三线合一、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意证明，即可求解； （2）设与交于点，可证，得到，再证，得到，则有，由，代入计算即可求解． 【详解】（1）证明： 如图所示， ，， ， ， ， ， ， ； （2）证明：设与交于点， ， ，， ， ，， ∴，， ， 又， ， ， ，， ， ， 即， ， ． ►题型04 等边三角形 特殊角（30°/60°）与等边三角形综合题解题方法 解决这类题时，我们可先抓住等边三角形、菱形、含30°/60°角的直角三角形的核心性质：菱形对角线平分120°内角得到60°/30°角，等边三角形三边相等且内角为60°，30°角对直角边是斜边的一半。计算时，优先通过作高构造直角三角形，设参表示边长，结合三角函数、勾股定理或相似三角形转化线段比例；网格类问题可利用菱形边长与角度建立坐标，求出线段长度后计算三角函数值；与圆结合的题型，可利用切线性质、半径相等的条件，将角或线段关系转化到特殊直角三角形中求解。 【典例】（2026·上海松江·一模）如图，由6个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为1，，点、、都在格点上，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、求角的正切值 【分析】本题考查菱形的性质，网格中求三角函数值，连接，交于点，易得，均为等边三角形，求出的长，再利用正切的定义，进行计算即可． 【详解】解：连接，交于点， ∵菱形， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理：为等边三角形，，， ∴，， ∴； 故答案为：． 【变式1】如图，在中，，，． (1)求的长； (2)在边上取一点，使，连接，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）过点作，垂足为，由面积法求得，进而解直角三角形即可得解； （2）过点作，垂足为，由（）得，解直角三角形得，证是等边三角形，得，，，从而求得，，，利用正切定义即可得解． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ，． （2）解：过点作，垂足为 由（）得， ∴，， ， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ，， ∴， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，度直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【变式2】（2025·上海松江·二模）如图，在△中，，，点在边上，以为圆心，为半径的圆与边交于点，与边相切于点． (1)当时，求的半径长； (2)求的值． 【答案】(1)的半径长为4 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、切线的性质定理 【分析】此题考查了切线的性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用切线的性质和含角的直角三角形的性质得到，即可求出答案； （2）连接、，则，证明△和△是等边三角形，再利用含角的直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：与边相切于点， 于点， ， ，， ， ， ， ， 的半径长为4． （2）连接、，则， ，， ， △是等边三角形， ， ， △是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 的值为． 突破一 重心的有关性质 【典例】（2025·上海嘉定·一模）如图，点是的重心，连接并延长交边于点．如果，那么 （用含向量的式子表示）    【答案】 【知识点】重心的有关性质、向量的线性运算 【分析】本题主要考查了重心的性质，向量的线性运算，根据重心的定义和性质得到，求出，则可求出，进而求出，据此可得答案． 【详解】解：∵点是的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2025·上海静安·二模）如图，点是的重心，已知，，那么向量 ．（用向量、表示） 【答案】/ 【知识点】重心的有关性质、向量的线性运算 【分析】本题主要考查了平面向量的线性运算、三角形法则、三角形重心的性质等知识点，掌握向量的运算法则成为解题的关键． 如图：延长交于点D，则，即，再利用三角形法则求出，然后利用三角形重心的性质求解即可． 【详解】解：如图：延长交于点D， ∵点是的重心， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（2026·上海长宁·一模）如图，已知点是的重心，连接并延长交边于点，连接，过点作交边于点． (1)如果设，试用表示． (2)当，，时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】重心的有关性质、向量的线性运算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查平面向量，三角形的重心，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用三角形法则求出，再根据，即可解决问题． （2）首先证明，推出，由勾股定理得出，求出，再证明，利用相似三角形的性质求出的面积． 【详解】（1）解：∵G是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， 由勾股定理得， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 突破二 全等三角形综合问题 【典例】（2026·上海黄浦·一模）如图，过菱形顶点A分别作边、的垂线，垂足为E、F，交对角线于点M、N． (1)求证：； (2)连接，如果，求的值； (3)如果与五边形的面积均为1，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【知识点】利用菱形的性质求面积、全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及余弦的定义． （1）根据已知条件及菱形的性质得出，，，证得，得出，，再证得，得出； （2）根据已知条件结合菱形的性质得出，，继而利用相似三角形的性质得出，，由得到，设，，列出关于a和b的表达式，从而得出的值； （3）连接交于点O，过点M作，根据题意设，利用相似三角形的性质得出相关图形的面积表达式，最终可列方程求得菱形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，连接交于点O， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2025·上海宝山·二模）如图，已知梯形，，，以点为圆心、为半径画弧，与分别交于点，且．                          (1)如果设，，求的长； (2)求的值； (3)如果是弧的中点，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、解直角三角形的相关计算、全等三角形综合问题、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）过点分别作，垂足为点，过点作，交的延长线于点，可证四边形是矩形，，在中，，，同理， ，在中，，由此即可求解； （2）由（1）设，则，则，， 所以，则，由此即可求解； （3）连接，延长交于点，则，由（2）可设，在中，，，，同理，，，，所以，由此即可求解． 【详解】（1）解：过点分别作，垂足为点，过点作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 同理， ， 在中，． （2）解：由（1）设，则， 在中，， ∴， ∴， ∵点为圆心，， ∴， ∴， ∴． （3）解：连接，延长交于点， ∵， ∴， ∵是弧的中点， ∴， 由（2）可设， 在中，， ∴，， 同理，， ∴， ∴，     ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的计算，圆的基础知识，掌握以上知识的综合，数形结合分析是关键． 【变式2】（2025·上海浦东新·二模）已知：如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，且．对角线分别交、于点M、N，联结、． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点C作交的延长线于点P，如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】证明四边形是菱形、相似三角形的判定与性质综合、全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明 【分析】（1）联结，根据正方形的性质先证，再证四边形是平行四边形，进而可证明，得，四边形是平行四边形，结合可证得结论； （2）根据正方形及菱形的性质先证，得，由，可证得，得，再证，得，，再证，得，即可证得结论． 【详解】（1）证明：联结， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 又∵，即， ∴平行四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是正方形，是对角线 ∴，， 由（1）得四边形是菱形， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 突破三 等腰三角形等角对等边 【典例】如图，在中，，，点在边上，且，将绕着点逆时针旋转，点落在的一条边上的点处，那么旋转角的度数是 ．    【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形、等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】分类讨论：当点在上，根据等边对等角和三角形内角和即可求得；当点在上，根据30度所对的直角边是斜边的一半和三角形的外角性质即可求得． 【详解】当点在上，如图：    ∵，∴， ∴， 当点在上，如图：    ∵， ∴， ∴， 故答案为：或 【点睛】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形内角和，30度角的直角三角形性质，三角形的外角性质，解题的关键是分类讨论思想的运用． 【变式1】（2025·上海长宁·一模）已知在中，，点、、分别在边、、上，且，连接． (1)如图1，如果，，求的余切值： (2)如图2，连接交于点，如果，求的值； (3)如果，，，与相似，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的值为或． 【知识点】等边对等角、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先证明，由相似三角形的性质得出，设，，由勾股定理得出，再根据余切的定义求解即可． （2）过点分别作于点，于点，过点作于点，过点作于点，由相似三角形的性质可得出，再证明，再利用相似三角形的性质得出，再结合三角形的面积得出，进一步即可得出答案． （3）分两种情况讨论，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 在中， ∴ ∴， 在中，， ∴ （2）解：过点分别作于点，于点， 过点作于点，过点作于点， 由， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解∶∵，与相似， 当，此时， ∴ 且为等边三角形， 设，则，，， 又∵， ∴， 即，， （舍）， ∴， 当，此时， 则，， ∴， 设，， 则， 解得． ∴， 综上：的值为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，余切的定义，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【变式2】（2026·上海徐汇·一模）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点分别与点对应，边分别与原三角形底边交于点．当是等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【知识点】等边对等角、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】过点作于点，先解求出，由旋转得，，①当时，过点作于点，可得，由，求出，则；②当时，设，可证明，再由，可得，，继而得到，最后由列式计算求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴，， ∵旋转， ∴， ①当时，过点作于点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时； ∵，， ∴，， ∵ ∴， 设，则 ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ 解得：或（舍） ③当时， ∵， ∴，此时不成立， 综上：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，旋转的性质，难度大，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质求解． 1．（2025·上海普陀·一模）如图，在四边形中，为对角线，，如果要证得与全等，那么可以添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐一判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：在和中，，， 、当添加条件，得到，对应相等的条件为，不能证得与全等，该选项不合题意； 、当添加条件，对应相等的条件为，不能证得与全等，该选项不合题意； 、当添加条件，对应相等的条件为，不能证得与全等，该选项不合题意； 、当添加条件，对应相等的条件为，能证得与全等，该选项符合题意； 故选：． 2．（2025·上海金山·一模）在中，如果，这个三角形的重心为点，设，，那么向量用向量、表示为 ． 【答案】 【知识点】重心的有关性质、向量的线性运算 【分析】本题主要考查了三角形重心的性质， 向量的线性运算等知识点，熟练掌握三角形法则和平行四边形法则是解题的关键． 根据“三角形重心的性质重心到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍”可得，然后根据向量的三角形法则可得，由可得，于是得解． 【详解】解：如图， ∵G是的重心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由三角形法则可得：， ∵D为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·上海黄浦·一模）如图，在四边形中，E是上的点，，，，那么 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识．先证明都是等腰直角三角形，得到，，则，即可得到． 【详解】解：∵，，， ∴都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 4．（2026·上海松江·一模）如图，在梯形中，，，是边上一点，与交于点，如果平分，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等角对等边，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键． （1）根据同角的余角相等，求出，进而推出，证明，即可得证； （2）证明，得到，等角的余角相等结合对顶角相等，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知：，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·上海徐汇·一模）如图，在四边形中，，，，点在边上，且． (1)求证：； (2)过点作射线交边于点，交的延长线于点．若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等角对等边，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明，则可证明，得到，，可证明，则可证明； （2）证明，则可证明，推出，证明，得到，则，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示， 由（1）知 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 1．（2026·上海虹口·一模）如图，在中，，，，是的中点．是线段延长线上一点，连接，如果四边形的一组对角相等且另一组对角不相等，那么的长是 ． 【答案】或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形的相关计算 【分析】如图所示，过点C作于点F，解直角三角形求出，利用勾股定理求出，解直角三角形求出，进而求出，，，，的长度，然后根据题意分两种情况讨论：当时，连接，，在上取点G，使，证明出，得到，然后代入求解即可；当时，过点D作于点H，过点E作于点M，利用勾股定理求出，，证明出是等腰直角三角形，然后解直角三角形求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作于点F， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的一组对角相等且另一组对角不相等， 如图所示，当时，连接，，在上取点G，使， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当时，过点D作于点H，过点E作交的延长线于点M， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长是或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了解直角三角形，勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 2．（2026·上海虹口·一模）【模型探究】 如图，已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，满足．求证：． 【模型应用】 （1）已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，如果，，那么的度数为_____________； （2）如图，已知，是边上一点，请在边上选择一个合适的点，并在内部求作一个点，满足且． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】证明见解析；（1）；（2）见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合、作线段(尺规作图)、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，尺规作图－作角平分线，作线段，灵活运用所学知识是解题的关键． 【模型探究】由平分，可得，又由，可得，从而，即可得结论； （1）由，可得，从而可证，则，再由，，可得，即可求解； （2）先作的平分线，则有，在截取，再在截取，则，从而，则，即，同时，则，则点、即为所求． 【详解】【模型探究】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴故答案为：． （2）如图，点、即为所求． 3．（2026·上海黄浦·一模）如图，在中，，是的中位线，是线段上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)如果，求证：； (2)过点作交于点，连接并延长交的延长线于点，再连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SAS综合（SAS）、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理、相似三角形判定和性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是相关性质的灵活应用． （1）根据题意，得到，进而可得为的中点，再结合即可得证； （2）连接，由平行线段截线段成比例得到，再证，得到，进而得到，再利用“”证明即可求解． 【详解】（1）证明：是的中位线， 且， ， ， ， ，即， ， ，即， ，即为的中点， ， ， ， ， ； （2）证明：连接， ，， ， ， ， ， ， ，为的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ． 4．（2026·上海长宁·一模）如图1，在中，为边上一点，始终满足． (1)求证：． (2)在中，当时． ①如图2，已知，过点作交于点，若的面积为5，求长． ②如图3，为中点，如，设长为，记与的差为，求关于的函数关系式及函数定义域． 【答案】(1)见解析 (2)①；②（） 【知识点】用勾股定理解三角形、角平分线的判定定理、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）过点作，根据三角形的面积公式结合同高三角形的面积比等于底边比，得到，根据，得到，得到平分即可； （2）①根据，设，进而得到，根据，求出，勾股定理求出，由（1）可知，得到，求出的长，再根据的面积为5，进行求解即可； ②作与点，证明，得到，进而得到，证明，求出，连接，斜边上的中线推出，证明，求出的长，勾股定理求出的长，再根据，求出函数关系式即可． 【详解】（1）解：过点作， 则：， 又∵， ∴， ∴平分， ∴； （2）解：①∵， ∴， 设，则， ∵，即， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； ∴； ②作于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴（直角三角形全等的判定定理）， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵为中点，， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∵， ∴，即：， ∴（）． 【点睛】本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，合理添加辅助线，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 1．（2025·湖南·中考真题）如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点， ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、正多边形的内角问题、等边对等角 【分析】本题主要考查了正多边形内角问题，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据正多边形内角计算公式求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：． 2．（2025·江西·中考真题）如图，在矩形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是 【答案】或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、矩形与折叠问题 【分析】本题主要考查矩形的性质和折叠的性质，解题的关键是要分情况讨论与，的夹角情况，再利用矩形的性质和折叠的性质以及直角三角形两锐角互余的性质求出的度数． 【详解】解：①当与的夹角为时， 即,如图： ，, , , ; ②当与的夹角为时， 即,如图： ，, , , ; 或，如图： ，, , , ; 综上，的度数可以是或或． 故答案为：或或． 3．（2025·湖南·中考真题）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则 ； （2）下列结论正确的是 （写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 【答案】 2 ①②/②① 【知识点】求不等式组的解集、三角形三边关系的应用、等边三角形的性质、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解一元一次不等式组，三角形三边的关系，等边三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，据此求解即可； （2）当，时，可证明，由勾股定理的逆定理可判断①；当，，时，可得；当时，可得，当时，可得，则可求出，据此求出t的取值范围即可判断②；当时，则，则可得到；根据题意不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数），则可得，解不等式组求出整数n即可判断③． 【详解】解：（1）∵，，是的三条边长，且是等边三角形， ∴， ∴ ， 故答案为；2； （2）①当，时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形，故①正确； ②当，，时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴t随b的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴，故②正确； ③当时，则， ∵， ∴， ∴； ∵a、b、c是三个相邻的正整数，， ∴不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数）， ∵， ∴， 解得， ∴符合题意的n的值有2、3、4、5、6、7，共6个， ∴符合题意的a、b、c的取值一共有6组， ∴满足条件的的个数为6，故③错误； 故答案为：①②． 4．（2025·四川德阳·中考真题）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点处是它的两个门，且，要修建两条直路，与相交于点（两个门的大小忽略不计）． (1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由； (2)同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点B处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由． 【答案】(1)这两条路与等长，且它们相互垂直； (2)如果另一端点在花园边界上时，能修建成这样的一条直路，理由见解析． 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、解一元二次方程——直接开平方法、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查主要了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等面积法等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是正方形，则，，证明，故有，，又，则，从而求解； （）由（）得，，由勾股定理得出，由，即，得到，则有，然后分另一端点在路段上和另一端点在花园边界上时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴这两条路与等长，且它们相互垂直； （2）解：能修建一条这样的直路，理由如下： 由（）得，， ∵米，米， ∴米，米，米， ∴， ∴， ∴， 又∵在中有， ∴， ∴， ∴， 如果另一端点在路段上， 则在中，， ∴此种情况不成立； 如果另一端点在花园边界上时， 设，则在中，有， ∴， ∴， ∵， ∴能修建成这样的一条直路． 1 / 81 学科网（北京）股份有限公司 $