江西南昌市第二中学2025-2026学年度上学期高二数学期末试卷

南昌二中2025-2026学年度上学期高二数学期末试卷 命题人： 1． 单选题： 1．复数的共轭复数的虚部是（    ） A．2 B． C．3 D． 2．空间四边形中，，，，点，分别为，中点，则等于（    ） A． B． C． D． 3.已知某市高三一次模拟考试数学成绩，且，则从该市任取名高三学生，恰有名学生成绩不低于分的概率是（    ） A． B． C． D． 4．圆A：x2+y2＝1与圆B：x2﹣4x+y2﹣5＝0的公共点个数为（　　） A．0 B．3 C．2 D．1 5．阅读不仅可以开阔视野，还可以提升语言表达和写作能力.某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有的学生写作能力被评为优秀等级.经调查知，该校大约有的学生每天阅读时间超过小时，这些学生中写作能力被评为优秀等级的占.现从每天阅读时间不超过小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为（    ） A． B． C． D． 6．为了迎接学校即将到来的某项活动，某班组织学生进行卫生大扫除，班主任将班级中的9名同学平均分配到三个包干区（编号1、2、3）进行卫生打扫，其中甲同学必须打扫1号包干区，则不同的分配方法有（    ） A．560种 B．280种 C．840种 D．1120种 7双曲线的左、右顶点分别为,点在双曲线上（异于），设直线的斜率为，直线的斜率为，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如：与相关的代数问题可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二．多选题： 9．下列关于的二项展开式，说法正确的是（   ） A．展开式共有10项 B．展开式的二项式系数之和为1024 C．展开式的常数项为8064 D．展开式的第6项的二项式系数最大 10.下列选项正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，则 C．若随机变量服从两点分布，且，则 D．若随机变量满足，，，，则 11如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论不正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 三．填空题： 12.利用变量的5组实验数据，求得关于的经验回归方程为，若这5组数据对应的点都在该回归直线上，则相关系数为 . 13．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为 . 14如图，正方体 棱长为2， 为 的中点， 为空间中的点，且满足 ，则多面体 体积的最大值为 . 四．解答题： 15．随着手机的日益普及，学生使用手机对学校管理和学生发展带来诸多不利影响.为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对我校80名学生调查得到部分统计数据如下表，记为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件的频率是事件的频率的2倍. 不使用手机 使用手机 合计 学习成绩优秀人数 12 学习成绩不优秀人数 26 合计 （1）求表中，的值，并补全表中所缺数据； （2）运用独立性检验思想，判断是否有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响？ 参考数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 17．已知椭圆的右顶点，且离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设为原点，过点的直线与椭圆交于两点、，直线和分别与直线交于点、，求与面积之和的最小值. 18．21世纪某次机器人展览会上，已知某公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 外观 内饰 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 10 10 米色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件A和事件B是否独立. (2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色，以及仅外观同色或仅内饰同色. 假设2：按抽奖的可能性大小，概率越小奖项越高 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖800元，二等奖500元，三等奖300元 请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望. 19．造型可以看作图中曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为 (1)求a的值; (2)当点在C上时，求证： (3)如图，过点F作两条互相垂直的弦，分别交曲线C于，，，，其中，求四边形面积的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．复数的共轭复数的虚部是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】因为复数的共轭复数是， 所以复数的虚部为. 故选：C 2．空间四边形中，，，，点，分别为，中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，. 故选：C 3.．已知某市高三一次模拟考试数学成绩，且，则从该市任取名高三学生，恰有名学生成绩不低于分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，且，可知成绩不低于分的概率是， 则名高三学生，恰有名学生成绩不低于分的概率是. 故选：C 4．圆A：x2+y2＝1与圆B：x2﹣4x+y2﹣5＝0的公共点个数为（　　） A．0 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】解：因为圆 配成标准式可得圆，故其圆心为，半径为1， 圆的圆心，半径为1， 所以圆心距为，两圆的半径之和为， 所以两圆相外切，只有一个公共点． 故选：． 5．阅读不仅可以开阔视野，还可以提升语言表达和写作能力.某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有的学生写作能力被评为优秀等级.经调查知，该校大约有的学生每天阅读时间超过小时，这些学生中写作能力被评为优秀等级的占.现从每天阅读时间不超过小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设写作能力被评为优秀等级为事件，每天阅读时间超过小时为事件， 则，，； ， ， 即从每天阅读时间不超过小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为. 故选：B. 6．为了迎接学校即将到来的某项活动，某班组织学生进行卫生大扫除，班主任将班级中的9名同学平均分配到三个包干区（编号1、2、3）进行卫生打扫，其中甲同学必须打扫1号包干区，则不同的分配方法有（    ） A．560种 B．280种 C．840种 D．1120种 【答案】A 【详解】第一步，将9名同学平均分成3组，共有种分法； 第二步，含有甲的分组打扫1号包干区，其他两组分别负责2、3号包干区，共有种分法； 由分步乘法计数原理可知，所有分配方法共种. 故选：A. 7双曲线的左、右顶点分别为,点在双曲线上（异于），设直线的斜率为，直线的斜率为，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，, 故， 故，则. 故选：B 8.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如：与相关的代数问题可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，可转化为点到点和点的距离之和为， 故点在椭圆上.表示点与椭圆上一点所连直线的斜率， 设该直线的方程为，由图可知，当直线与椭圆相切时，取得最值. 联立方程组整理得， ，解得或，故的取值范围是 故选：C. 多选题 9．下列关于的二项展开式，说法正确的是（   ） A．展开式共有10项 B．展开式的二项式系数之和为1024 C．展开式的常数项为8064 D．展开式的第6项的二项式系数最大 【答案】BD 【详解】由题意可知，展开式共有11项，故A错误； 展开式的二项式系数之和为，故B正确； 展开式的通项为， 令，得，所以展开式的常数项为，故C错误； 当时，二项式系数最大，所以展开式的第6项的二项式系数最大，故D正确. 故选：BD. 10.下列选项正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，则 C．若随机变量服从两点分布，且，则 D．若随机变量满足，，，，则 【答案】BC 【详解】A.若随机变量，则，故不正确； B.若随机变量，则，故正确； C.若随机变量服从两点分布，且，则，故正确； D.由随机变量满足随机变量满足，，，， 则， 所以，故不正确； 故选：BC. 11如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论不正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 【答案】ACD 【详解】依题意，，解得，A不正确； 令，由余弦定理得： ， 当时，，即，因此，B正确； 当时，，即，有， 而，则有，解得，C不正确； ， ，于是得， 解得，而，因此，D不正确. 故选：ACD 12.利用变量的5组实验数据，求得关于的经验回归方程为，若这5组数据对应的点都在该回归直线上，则相关系数为 . 【答案】 【详解】由经验回归方程知与负相关， 因为这5组数据对应的点都在回归直线上，所以相关系数为. 故答案为： 13．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】设动点，又，，则，， 因为点满足， 所以，化简整理得， 所以动点的轨迹方程为， 故答案为：. 14如图，正方体 棱长为2， 为 的中点， 为空间中的点，且满足 ，则多面体 体积的最大值为 . 【答案】 【详解】由已知，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 因为 ， 则 ，则 ， 不妨取平面的法向量为， 则点到平面的距离为 ， 当且仅当时取“=”， 又， 所以，即三棱锥的体积的最大值为， 又因为 为 的中点，则， 所以多面体 的体积的最大值为. 故答案为：. 15．随着手机的日益普及，学生使用手机对学校管理和学生发展带来诸多不利影响.为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对我校80名学生调查得到部分统计数据如下表，记为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件的频率是事件的频率的2倍. 不使用手机 使用手机 合计 学习成绩优秀人数 12 学习成绩不优秀人数 26 合计 （1）求表中，的值，并补全表中所缺数据； （2）运用独立性检验思想，判断是否有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响？ 参考数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），表格答案见解析；（2）有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响. 【详解】解：（1）由已知得解得 补全表中所缺数据如下： 不使用手机 使用手机 合计 学习成绩优秀人数 28 12 40 学习成绩不优秀人数 14 26 40 合计 42 38 80 （2）根据题意计算观测值为， 所以有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响. 16．如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【详解】（1）平面平面，平面平面，且平面，平面， 平面，， 四边形为菱形且为中点，，又，， 又，， 平面，，平面. （2）以为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则，， ，，，， 则，，， 设平面的法向量， 则，令，则，，， 设平面的法向量， 则，令，则，，， ， 二面角为钝二面角，二面角的余弦值为. 17．已知椭圆的右顶点，且离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设为原点，过点的直线与椭圆交于两点、，直线和分别与直线交于点、，求与面积之和的最小值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最小值为. 【详解】（Ⅰ）设椭圆的焦距为，依题意，得，解得. 所以椭圆的方程为； （Ⅱ）设点，依题意，点坐标为， 满足（且）， 直线的方程为，令，得，即. 直线的方程为，同理可得. 设为与轴的交点. . 又因为，，所以. 当且仅当取等号，所以的最小值为. 18．21世纪某次机器人展览会上，已知某公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 外观 内饰 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 10 10 米色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件A和事件B是否独立. (2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色，以及仅外观同色或仅内饰同色. 假设2：按抽奖的可能性大小，概率越小奖项越高 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖800元，二等奖500元，三等奖300元 请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望. 【答案】(1)，，不独立(2)分布列见解析，446 【详解】（1）， ，， ，所以A，B不独立； （2）记外观与内饰均同色为事件，外观与内饰都异色为事件，仅外观或仅内饰同色为事件， 则， ， ， ， ∴一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都异色， 二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均同色， 三等奖为两个汽车模型仅外观或仅内饰同色． X的分布列： X 800 500 300 P ． 19．造型可以看作图中曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为    (1)求a的值; (2)当点在C上时，求证： (3)如图，过点F作两条互相垂直的弦，分别交曲线C于，，，，其中，求四边形面积的最小值. 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）因为O在曲线上，所以O到的距离为，而， 所以有，即 （2）方法一：因为，所以曲线C的方程为， 可化为，即， 因此， 所以，当且仅当且时取等号. 方法二：同上曲线C的方程为， 因此， 所以，当且仅当且时取等号. 方法三：如图设点P在x轴，直线上的射影分别为Q，R， 则根据定义， 因此，即， 所以，当且仅当且时取等号.    （3）由，得 当其中一条直线的斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，此时 当两条直线斜率均存在且不为0时，设直线AB的斜率为k，倾斜角为，由对称性不妨设， ，则直线AB的方程为，其中，直线的方程为， 联立 化简得到， 所以 则， 故， ， 同理，所以， 令， 令， 因为， 所以，即， 所以在上单调递增，当，即时，， 此时， 综上所述四边形面积的最小值为 学科网（北京）股份有限公司 $