精品解析：江西省新余市2025-2026学年高一上学期数学试题

2025-2026学年上学期高一数学试题 说明： 1.本卷共有四个大题，19个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟. 2.本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知甲、乙两名同学在高一的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（ ） A. 甲的中位数高于乙的中位数 B. 若甲、乙两组数据的平均数分别为，则 C. 甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D. 甲成绩比乙成绩稳定 3. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在区间为（ ） A B. C. D. 5. 已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，且，则最小值为（ ） A B. 8 C. 9 D. 18 7. 使得，为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为的函数满足，且对任意的，时，恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列各式正确的有（ ） A. 已知，，则 B. 已知，则 C. 若，，则 D. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 数据27，12，14，30，15，17，19，24的第70百分位数是24 B. 若A，B是互斥事件，则 C. 若，，则事件A，B相互独立与A，B互斥一定不能同时成立 D. 若样本的平均数和标准差分别为2和3，则的平均数和标准差分别为8和9. 11. 已知函数满足：对任意实数、都有，且，，则下列说法正确的有（ ） A B. 是偶函数 C. 函数图像关于直线对称 D. 函数的图像关于点对称 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 2025年9月3日，以“铭记历史，开创未来”为核心的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵在天安门广场隆重举行，已知从11000名甲校大学生，10000名乙校大学生和4000名丙校大学生中采用分层抽样方法抽取名大学生组成志愿者，若乙校大学生比丙校大学生多抽取60人，则_____. 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____. 14. 已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知不等式的解集为，关于的不等式解集为. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 基孔肯雅热（chikungunya fever）是由基孔肯雅病毒引起，主要通过伊蚊叮咬而传播，以发热、皮疹及关节疼痛为主要特征的急性传染病.为更好地预防基孔肯雅热，某校举办了相关知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分.现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人来自不同的组的概率. 17. 新余市作为“中国新能源之都”，新能源产业在我国市场版图中占据重要一席；我市某光伏企业计划在2025年利用新技术生产一款光伏储能新设备，通过市场分析，生产此款设备全年需投入固定成本200万元，且年产量（单位：千台）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每台设备售价为0.5万元，且全年内生产的设备当年能全部销售完. （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千台）的函数关系式（利润=销售额成本）： （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大?最大利润是多少? 18. 已知，. （1）求不等式的解集； （2）若，，使得，求实数的取值范围； （3）设函数，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围. 19. 新余马拉松赛事蓬勃开展，已成为展示城市活力与全民健身精神的重要平台.马拉松运动不仅是体能竞赛，也蕴含着丰富的数学函数模型；为科学分析运动员体力分配，教体局技术人员通过大数据分析，引入如下数学模型： 若运动员的实时状态函数在其定义域存在时间，使成立，那么称时间是函数的“-阶梯点”（即以小时为观察窗口）. （1）在研究初期，假设某运动员的体能存储量函数模型为，试判断该模型在赛程中是否存在“2-阶梯点”（即以2小时为观察窗口），并说明理由； （2）现假设另一个运动员的体能消耗遵循函数模型，证明：该运动员的消耗函数存在唯一的“1-阶梯点”： （3）已知，设函数在上不存在“1-阶梯点”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期高一数学试题 说明： 1.本卷共有四个大题，19个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟. 2.本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式，求得集合，利用列举法求得集合，进而结合交集的意定义求得即可. 【详解】由，得到，解得， 则集合， 又集合， 可得集合，故C正确. 故选：C. 2. 已知甲、乙两名同学在高一的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（ ） A. 甲的中位数高于乙的中位数 B. 若甲、乙两组数据的平均数分别为，则 C. 甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D. 甲成绩比乙成绩稳定 【答案】C 【解析】 【分析】根据甲、乙两名同学在高一年级的6次数学周测的成绩统计的折线图，根据中位数，平均数，极差和数据的波动性，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由甲、乙两名同学在高一年级的6次数学周测的成绩统计的折线图， 对于A中，由统计的折线图知，甲同学的中位数大于，乙同学的中位数小于， 所以甲的中位数高于乙的中位数，所以A正确； 对于B中，由统计的折线图知，甲同学只有第2次的周测成绩低于乙同学， 其他次的周测成绩都高于乙同学，可得，所以B正确； 对于C中，因为极差为样本数据的最大值与最小值的差， 由统计的折线图知，甲同学的周测成绩的极差小于乙同学周测成绩的极差，所以C不正确； 对于D中，由统计的折线图知，甲同学周测成绩的波动性小于乙同学成绩的波动性， 所以甲同学的周测成绩比乙同学的周测成绩更稳定，所以D正确. 故选：C. 3. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数单调性，结合临界值比较可得结论. 【详解】由题意得，，， 所以，，，所以. 故选：D. 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理确定正确答案. 【详解】因为，在上都单调递增， 所以在上单调递增， 又， 因为，所以， 所以， 故的零点所在区间为. 故选：B. 5. 已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】利用集合交并集元素计算公式，结合古典概型概率公式计算即可. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：D 6. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. 8 C. 9 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】把变成，再根据均值不等式即可求出. 【详解】因为，所以， 又，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：A. 7. 使得，为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先研究真命题的充要条件，再分析必要条件就是满足真包含的集合即可. 【详解】若，为真命题，则时，， 而，故当时，取到最大值6，故， 因此是所求必要不充分条件的范围的真子集， 故选项中只有满足条件， 故选：C 8. 已知定义域为的函数满足，且对任意的，时，恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件可证明函数在上单调递减且关于直线对称，从而可利用这两个性质来求解不等式. 【详解】因为对任意的，时，恒成立， 设，则 ， 故函数在上单调递减， 因为， 所以关于直线对称. 又 ， 因为， 则不等式等价于， 所以，解得. 故选:B . 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列各式正确有（ ） A. 已知，，则 B. 已知，则 C. 若，，则 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用换底公式和对数的运算即可判断AD，利用指数的运算即可判断B，利用指数与对数互化结合指数运算即可判断C. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由，， 所以，故C错误； 对于D，由 ，故D错误. 故选：AB 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 数据27，12，14，30，15，17，19，24的第70百分位数是24 B. 若A，B是互斥事件，则 C. 若，，则事件A，B相互独立与A，B互斥一定不能同时成立 D. 若样本的平均数和标准差分别为2和3，则的平均数和标准差分别为8和9. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，将数据从小到大排列，又，即第70百分位数为第6个数为24，故A正确；B选项，互斥事件与独立事件没有必然联系，故B错误；C选项，根据独立得到，事件A，B互斥，则，矛盾，C正确；D选项，根据公式求出标准差为9，故D正确. 【详解】对于A选项：该组数据从小到大排列为12，14，15，17，19，24，27，30， 又，即第70百分位数为第6个数24，故A正确； 对于B选项：由互斥事件的定义知，而仅在A，B独立时成立，互斥与独立没有必然联系，故B错误； 对于C选项，若事件A，B相互独立，则， 若事件A，B互斥，则，矛盾， 故事件A，B相互独立与A，B互斥不能同时成立，故C正确； 对于D选项，因样本的平均数和标准差分别为2和3， 则的平均数为，方差为，标准差为9，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数满足：对任意实数、都有，且，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 是偶函数 C. 函数的图像关于直线对称 D. 函数的图像关于点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，结合，令，可求出的值判断选项A；令，进而可得，可判断B选项；令可判断CD选项. 【详解】对于A:令，得，又，则， 令，得，故，故A正确； 对于B:令，得，即，即， 且函数的定义域为，所以为偶函数，故B正确； 对于C:令，得， 令，则该式可写为，即，故C错误，D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 2025年9月3日，以“铭记历史，开创未来”为核心的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵在天安门广场隆重举行，已知从11000名甲校大学生，10000名乙校大学生和4000名丙校大学生中采用分层抽样方法抽取名大学生组成志愿者，若乙校大学生比丙校大学生多抽取60人，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用分层抽样比相等来求解即可. 【详解】设甲校大学生抽取的人数为，丙校大学生抽取的人数为，则乙校大学生抽取的人数为， 所以，解得，， 从而. 故答案为： 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数单调性和对数函数单调性，结合分段点的取值大小，即可求出参数范围. 【详解】由图象的开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而函数在为增函数， 则由在上单调递增，可得， 解得：. 故答案为： 14. 已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_____. 【答案】或 【解析】 【分析】先作出函数的图象，再令，则，易得，且关于的方程必有两个不等实根，设为，再分，和三种情况讨论即可. 【详解】作出函数的图象如图所示， 令，则， 若原方程有6个不相等的实数根， 则，且关于的方程必有两个不等实根，设为， 当时， 代入，则，解得， 此时关于的方程为，解得，满足题意； 当，且时，令， 则函数有两个大于的不等零点， 因为函数的图象过点， 则，解得， 即； 当时，因为函数的图象过点， 则，无解， 综上所述，实数a的取值范围为或. 故答案为：或. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知不等式的解集为，关于的不等式解集为. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解分式不等式和一元二次不等式，再求交集即可； （2）把并集关系转化为子集关系，再分析端点取值范围,即可求解. 【小问1详解】 解分式不等式，即，解得， 即. 当时，解不等式，解得，即. 因此，； 【小问2详解】 ， ，， ，，则，解得， 实数的取值范围是. 16. 基孔肯雅热（chikungunya fever）是由基孔肯雅病毒引起，主要通过伊蚊叮咬而传播，以发热、皮疹及关节疼痛为主要特征的急性传染病.为更好地预防基孔肯雅热，某校举办了相关知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分.现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人来自不同的组的概率. 【答案】（1），平均数（分），中位数（分） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1求，根据平均数和中位数的估算方法求解可得； （2）求出各层人数，使用列举法，结合古典概型概率公式求解即可. 【小问1详解】 由图可得：，解得， 估计所抽取50名学生成绩平均数为： （分）， 由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 所以中位数，由题意可得，解得（分）， 所以估计所抽取的50名学生成绩的中位数为（分）； 【小问2详解】 由题意可知，后三组中的人数分别为15，10，5， 故这三组中所抽取的人数分别为3，2，1， 记成绩在这组的3名学生分别为，，，成绩在这组的2名学生分别为，，成绩在这组的1名学生为， 则从中任抽取2人的所有可能结果为 、、、、、、、、、、、 、、、，共15种 其中来自相同组的有、、、共4种，于是来自不同组的有11种. 故这2人来自不同组的概率为. 17. 新余市作为“中国新能源之都”，新能源产业在我国市场版图中占据重要一席；我市某光伏企业计划在2025年利用新技术生产一款光伏储能新设备，通过市场分析，生产此款设备全年需投入固定成本200万元，且年产量（单位：千台）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每台设备售价为0.5万元，且全年内生产的设备当年能全部销售完. （1）求2025年利润（单位：万元）关于年产量（单位：千台）的函数关系式（利润=销售额成本）： （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1） （2）30千台，最大利润是6560万元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合利润=销售额-固定成本-可变成本的公式，分两种情况讨论，即可求解； （2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及利用函数的单调性可求得分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解． 【小问1详解】 销售额为万元， 当时， ， 当时，， 所以； 【小问2详解】 当时，， 当时，万元， 当时，单调递减， 所以时，万元. 综上，当2025年年产量为30千台时，企业所获利润最大，最大利润是6560万元. 18. 已知，. （1）求不等式的解集； （2）若，，使得，求实数的取值范围； （3）设函数，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，解不等式求解即可； （2）由题意可得，进而利用复合函数的性质求得，进而可得，分离变量可求实数的取值范围； （3）令，，由题意可得，变形再换元可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 由， 则不等式即， 所以， 所以，所以， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 若，，使得，等价于， 由于，令， 令，，则，，对称轴， 所以， 即， 故； 又，， 所以，使成立， 即，使成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，实数的取值范围为. 【小问3详解】 由，令，， 若存在实数，使得成立，即存在，使得， ，即， 令，则存在，使得成立， 令，只需即可，即，解得， 所以实数的取值范围为. 19. 新余马拉松赛事蓬勃开展，已成为展示城市活力与全民健身精神的重要平台.马拉松运动不仅是体能竞赛，也蕴含着丰富的数学函数模型；为科学分析运动员体力分配，教体局技术人员通过大数据分析，引入如下数学模型： 若运动员的实时状态函数在其定义域存在时间，使成立，那么称时间是函数的“-阶梯点”（即以小时为观察窗口）. （1）在研究初期，假设某运动员的体能存储量函数模型为，试判断该模型在赛程中是否存在“2-阶梯点”（即以2小时为观察窗口），并说明理由； （2）现假设另一个运动员的体能消耗遵循函数模型，证明：该运动员的消耗函数存在唯一的“1-阶梯点”： （3）已知，设函数在上不存在“1-阶梯点”，求实数的取值范围. 【答案】（1）否，理由见解析； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）把问题转化为方程是否有解问题，从而可得到判断； （2）把问题转化为方程是否有解问题，再构造函数，利用零点存在性定理和函数的单调性可得到证明； （3）把问题转化为方程无解问题，然后利用对数运算，转化为一元二次方程在区间上无解，从而去求参数范围. 【小问1详解】 假设有“2-阶梯点”，则由可得， 化简得，由于，则该方程无实数解， 所以函数无“阶梯点”. 【小问2详解】 假设是的“1-阶梯点”， 则是方程的解， 将该方程化简整理得. 令函数，由指数函数和一次函数的单调性，可知是上的增函数，又，，故存在唯一的使得成立， 即函数有唯一的“1-阶梯点”. 【小问3详解】 由题可知的定义域为. 若函数在上不存在“1-阶梯点”， 则方程①在上无解， ①式即. 由对数运算，得， 化为整式方程，得. 令，， 则， 整理得. 等价于方程在时无解. 令函数， 其图象的对称轴为直线. 当，即时， 因为恒成立， 所以在上有零点，不满足题意； 当且，即时，在上单调递增， ， 所以在上无零点，满足题意； 当且，即时，在上单调递减， ， 所以在上有零点，不满足题意； 当，即时，，在时没有零点， 满足题意. 综上，实数的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $