精品解析：四川广安二中2026年春高2025级第2次月考 数学（高一下学期）

广安二中2026年春高2025级第二次月考 数学试题 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 设向量，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 如图，在平行四边形中，分别是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（ ） A. 12 B. C. 24 D. 5. 如图是某个正方体的侧面展开图，是侧面的两条对角线，则在正方体中，与（ ） A. 互相平行 B. 相交且夹角为 C. 异面且夹角为 D. 异面且互相垂直 6. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且，三角形面积为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为一个棱长为1的正八面体，则其内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分． 9. 已知在中，角所对的边分别为,则根据下列条件能确定为钝角的是（ ） A. B. C. 均为锐角，且 D. 10. 如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中正确的是（   ） A. B. C. D. 的最小值是 11. 如图，在三棱锥中，二面角的大小为，且，分别为的中点，则（ ） A. 异面直线与所成角为. B. . C. D. 三棱锥的体积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数，则实数的取值为__________. 13. 已知，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是________． 14. 已知三棱锥中三组相对的棱长分别相等，长度分别为，，，其中，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，且， （1）求在方向的投影向量的坐标； （2）若，且，求向量的坐标； （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16. 已知复数. （1）若复数在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围； （2）为的共轭复数，，且是关于x的方程的一个根，求a，b的值，并求出该一元二次方程的另一复数根. 17. 如图，已知正三棱柱中，，点P为的中点. （1）证明：平面； （2）求点B到平面的距离. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且与共线． （1）求C； （2）若，求周长的取值范围； （3）若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 19. 如图，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆周上的点且，在线段上且，是的中点． （1）求证：直线平面； （2）已知，求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，则求的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安二中2026年春高2025级第二次月考 数学试题 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， ， . 2. 设向量，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】向量，且， 所以，，得，则. 3. 如图，在平行四边形中，分别是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】连接， 因为是线段的中点，所以， 则． 因为是线段的中点， 所以． 4. 如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（ ） A. 12 B. C. 24 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直观图面积，根据直观图面积和原图面积之间的关系即可得答案. 【详解】由题意得，所以矩形的面积为， 由原图形面积与直观图面积的比例关系，可知原图形的面积是，故D正确. 5. 如图是某个正方体的侧面展开图，是侧面的两条对角线，则在正方体中，与（ ） A. 互相平行 B. 相交且夹角为 C. 异面且夹角为 D. 异面且互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】先将平面展开图还原成正方体，结合正方体的性质再判断求解. 【详解】将平面展开图还原成正方体如图所示， 则B，C两点重合，可知与相交，连接， 则，可知为正三角形，所以与的夹角为. 故选：B. 6. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且，三角形面积为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形面积公式和余弦定理即可求解. 【详解】根据三角形面积公式  ，代入已知，；  ，解得：， 根据余弦定理 ，代入， ​， 对式子变形： ，代入， 得： ，即 ，所以， 三角形周长为. 7. 若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设球的半径为，则球的直径为，由题意，圆锥的高， 所以球的体积为， 设圆锥底面半径为，则， 由，即，所以， 又因为圆锥的母线长， 所以， 又，所以. 8. 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为一个棱长为1的正八面体，则其内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等体积法求出内切球的半径即可进一步求解. 【详解】如图， 正八面体的棱长为1，点为中点（显然根据对称性可知点也是内切球球心），显然平面， 因为直线平面，所以， 在正方形中，， 所以， 正八面体的表面积为， 设内切球半径为， 由等体积法有，， 解得，内切球的表面积为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是求出内切球的半径，由此即可顺利得解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分． 9. 已知在中，角所对的边分别为,则根据下列条件能确定为钝角的是（ ） A. B. C. 均为锐角，且 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量的数量积可判断A，利用切化弦，结合余弦的两角和公式可判断B，利用诱导公式，结合正弦函数的单调性可判断C，利用余弦定理可求角来判断D. 【详解】因为，所以，即，所以确定为钝角，故A正确； 由， 因为，所以有 ， 即可以确定为钝角，故B正确； 因为均为锐角，且，根据正弦函数在上单调递增， 所以有，故C错误； 由， 得，所以，故D正确； 故选：ABD. 10. 如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中正确的是（   ） A. B. C. D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理、向量共线的定义、余弦定理、向量的模的计算、基本不等式的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，由A选项知， 则 ， 在中，利用余弦定理得 ，故B错误； 对于C，因为点三点共线，所以存在实数使得， 因为，由A知， 所以，所以 ，即，故C正确； 对于D，由C可知，结合题意可知， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 此时取最小值为，故D正确. 11. 如图，在三棱锥中，二面角的大小为，且，分别为的中点，则（ ） A. 异面直线与所成角为. B. . C. D. 三棱锥的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】取的中点，记为，则是二面角的平面角，所以.根据异面直线所成角的定义，是异面直线与所成的角.所以判断A正确；由线面垂直的判定定理，证明平面，从而判断B正确；由线面垂直的判定定理，结合勾股定理，求出，判断C；求出三棱锥的体积，即可得三棱锥的体积，判断D. 【详解】取的中点，记为，连接，则∥，∥，所以是异面直线与成的角. 因为，所以. 所以是二面角的平面角，所以.所以A正确. 由平面，得平面. 因为平面，所以，所以B正确. 因为，所以，所以是正三角形. 取的中点，连接，则，且. 平面，所以平面. 取的中点，连接，则三点共线，且. 中，，所以 所以. 所以，所以C错误； 三棱锥的体积. 所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数，则实数的取值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数可比较大小的充要条件为该复数是正实数，则条件转化为实部大于0，且虚部等于0，化简求解即可. 【详解】， ，解得， 故实数的取值为. 13. 已知，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是________． 【答案】 【解析】 【详解】． ， ． 所以，所以． 14. 已知三棱锥中三组相对的棱长分别相等，长度分别为，，，其中，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三棱锥的三组对棱分别相等，可得到三棱锥的顶点必是一个长方体的顶点，再由棱的长度可求得长方体同一个顶点发出的三条棱的长度，继而表示出外接球半径，借助于基本不等式即可求得. 【详解】由题设知，三棱锥的四个顶点是一个长方体的四个顶点，如图． 因三棱锥中三组相对应的棱长分别相等， 长度分别为，，， 故该长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为， 且三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 故外接球的直径长为长方体的体对角线长，设外接球半径为， 则三棱锥的外接球表面积为， 因，则，当且仅当时等号成立． 此时，，即时，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，且， （1）求在方向的投影向量的坐标； （2）若，且，求向量的坐标； （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用在上的投影向量为求解即可； （2）设，然后根据已知条件列方程组求解即可； （3）由题意可得且与不共线，从而可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 ，， 故，所以 所以在上的投影向量为 所以在上的投影向量为. 【小问2详解】 设，， ，又， 或， 或 【小问3详解】 因为， 所以，， 因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线 即 解得且 即k的取值范围是 16. 已知复数. （1）若复数在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围； （2）为的共轭复数，，且是关于x的方程的一个根，求a，b的值，并求出该一元二次方程的另一复数根. 【答案】（1） （2），， 【解析】 【小问1详解】 复数，即复数在复平面上对应点坐标为， 对应点落在第四象限，即，解得. 【小问2详解】 为的共轭复数，所以， ，即，解得，即， 是关于的方程的一个根， 代入可得，化简可得， 即，解得，，所以原方程为， 利用求根公式可得， 所以该一元二次方程的另一复数根为. 17. 如图，已知正三棱柱中，，点P为的中点. （1）证明：平面； （2）求点B到平面的距离. 【答案】（1） 证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，利用三角形中位线定理证明，再结合线面平行的判定定理即可得证. （2）利用等体积法，通过计算三棱锥的体积和底面积求解点到平面的距离. 【小问1详解】 连接交于点，连接. 因为三棱柱为正三棱柱，所以侧面为矩形， 所以为的中点. 又因为点为的中点，所以在中，为中位线，故. 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 设点到平面的距离为. 因为为正三角形，为的中点，所以，且. 因为三棱柱为正三棱柱，所以平面. 又平面，所以.因为，平面，所以平面. 又平面，所以. 在中，. 所以的面积. 又的面积. 由可得，即， 解得.所以点到平面的距离为. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且与共线． （1）求C； （2）若，求周长的取值范围； （3）若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量共线的坐标运算可得，再根据正弦定理化简即可得出答案； （2）应用余弦定理、基本不等式得，进而有，结合三角形三边关系求范围； （3）设，，应用正弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换得，再应用正弦函数的性质求范围. 【小问1详解】 在中，， ∵与共线，∴， 由正弦定理可得 ∴， ∴， ∵，∴，又，所以； 【小问2详解】 由（1）知，又，由余弦定理， 得， 即，因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，则， 由三角形三边关系知，所以，即， 所以周长的取值范围为； 【小问3详解】 因为角A与角B的角平分线交于点D，，， 所以，设，， 在中，由正弦定理， 所以，即，， 所以 ， 因为，为锐角三角形， 所以，即， 所以，即， 则， 所以面积的取值范围为. 19. 如图，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆周上的点且，在线段上且，是的中点． （1）求证：直线平面； （2）已知，求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，则求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质和判定证明即可； （2）根据线面角的概念可知即为直线与平面所成角的平面角，利用勾股定理求出的边长即可得解； （3）构造平行四边形，由线面平行的判定定理得平面，确定. 【小问1详解】 因为垂直于所在的平面，所在的平面，所以， 又是的直径，点是圆周上的点，所以， 因为，平面， 所以平面． 【小问2详解】 由（1）可知平面， 所以即为直线与平面所成角的平面角， 因为垂直于所在的平面，所在的平面，所以， 又因为，，所以， 因为，所以， 所以在中， 因为平面，所以， 在中， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 在线段上存在点，使得平面，且， 理由如下： 取的三等分点为（靠近），在中过点作，， 则，且， 因为是中点，是中点，所以，且， 又，所以， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面, 故线段上存在点，使得平面，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $