精品解析：山东济南市槐荫区2025～2026学年第一学期期末质量检测八年级数学试卷

2025～2026学年度第一学期期末质量检测八年级数学（2026.01） 本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答题前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列数学符号中，属于中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的就是中心对称图形的定义，属于简单题型．解题的关键就是熟记中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义“把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合”进行解答即可得． 【详解】解：中心对称图形是指把一个图形绕着某个点旋转，旋转后的图形与原图形重合的图形，只有B选项符合题意， 故选B． 2. 下列计算中，正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则． 根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：与不是同类二次根式，不能合并，故A错误，不符合题意； ，故B错误，不符合题意； ，故C正确，符合题意； ，故D错误，不符合题意； 故选：C． 3. 如图，已知，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质和平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质和平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的内错角相等，得到，再利用三角形外角性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：点到轴的距离是， 故选：． 5. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 若，那么 C. 等腰三角形两底角的平分线相等 D. 有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了真命题和假命题，判断一个命题是真命题需要有推理证明，判断一个命题是假命题只要举出反例． 【详解】解：A、同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这是基本几何性质，是真命题，故A选项不符合题意； B、若，根据不等式的基本性质三可知，，若，那么是假命题，故B选项符合题意； C、等腰三角形两底角相等，其平分线也相等，可通过全等三角形证明，是真命题，故C选项不符合题意； D、等腰三角形有一个角为，则其他两角也均为，为等边三角形，是真命题，故D选项不符合题意． 故选：B． 6. 如图，一次函数的图象经过点，关于的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据函数的图象判断，写出函数值大于所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可得：当时，， 所以关于x的不等式的解集是， 故选：B． 7. 如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点A，B的对应点分别是点C，D，已知点，，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据点B、D的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可． 【详解】解：点的对应点D的坐标为， 平移规律为向右平移7个单位，再向下平移2个单位， 的对应点C的坐标为． 故选：D． 8. 如图，在中，，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M、N，作直线，分别交于点E，交于点F，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质、三角形外角的定义及性质，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由作图可得垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，从而得出，再由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图可得：垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 小数比小文先出发15秒 B. 小文提速后的速度为 C. D. 从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息．根据图像信息求出运动速度进而判断选项A，B，C；分别求得以及各段的函数解析式，结合函数图像即可判断D选项． 【详解】解：结合图像可知，小数比小文早出发15秒，故选项A正确，不符合题意； ∵当秒时，，当秒时，厘米， 故小文提速前的速度是厘米/秒， ∵小文发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小文提速后速度为30厘米/秒，故选项B正确，不符合题意； 故提速后小文行走所用时间为：秒， ∴秒， ∴， ∴小数的速度为厘米/秒 ∴秒，故选项C错误，符合题意； 设段对应的函数表达式为， 将点代入，可得， 可得， ∴可有， 当时，小数和小文之间距离最大值为厘米； 当时，设， 将，代入， 可得，解得， ∴此阶段有， ∴小数和小文之间距离， 当时，取最大值，最大值为厘米； 设段对应的函数表达式为， 将，代入， 可得，解得， ∴此阶段有， 当时，小数和小文之间距离， 当时，取最大值，最大值为厘米； 当时，小数和小文之间距离最大值为厘米． 综上所述，从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为150厘米，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 10. 如图，在长方形中，，，点为射线上一动点（不与点重合），将沿所在直线折叠，点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质、长方形的性质、勾股定理等知识；由长方形的性质得出，，，由折叠的性质得，，证、、三点共线，设，①点在线段上时，由勾股定理得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②点在线段的延长线上时，由勾股定理得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：四边形是长方形， ，，， 由折叠的性质得：，，， 设， 当为直角三角形时，则， ， 、、三点共线， 分两种情况： ①点在线段上时，如图1所示： 则， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 解得：， ； ②点在线段的延长线上时，如图2所示： 则， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 解得：， ； 综上所述，当为直角三角形时，的长为或； 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 注意事项：所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等．不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 化简：______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念求解即可． 【详解】解：因为32=9， 所以=3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方． 12. 如图，数轴上表示的是关于x的不等式组的解集，则该不等式组的整数解有______个． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了在数轴上表示不等式组的解集，不等式组的整数解，理解题意是解决本题的关键． 根据数轴得到不等式组的解集为，据此即可得到该不等式组的整数解的个数． 【详解】解：由数轴可知关于的不等式组的解集为， 该不等式组的整数解有，，，共3个， 故答案为：3． 13. 如图是某班学生体重（单位：）的箱线图，该班学生体重的下四分位数是______． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查箱线图，熟记箱线图中相关统计量是解决问题的关键． 箱线图中箱体左边界的值是下四分位数，从而得到答案． 【详解】解：箱线图的边缘对应最小值， 箱子的左边界对应下四分位数， 箱子内部的线对应中位数， 箱子的右边对应上四分位数， 箱线图上面的短横线是最大值， 该班学生体重的下四分位数是 故答案为：36． 14. 如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点A顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点A旋转的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、平角的定义，根据旋转的性质和平角的定义计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：箕面与水平地面的夹角为， ，即箕面绕点旋转的度数为， 故答案为：． 15. 已知，，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式和平方差公式，熟练掌握分母有理化的方法以及代数式的变形技巧是解题的关键． 先对、进行分母有理化，再计算和的值，最后将代数式变形为后求值． 【详解】解：，， ∴，， ∴． 故答案为 ． 16. 如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】设的交点为，的中点分别是，连接，先证，由此得当最小时，最小，再根据“两点之间线段最短”得，再证四边形是矩形，且，根据勾股定理的，进而求得的最小值． 【详解】解：设的交点为，的中点分别是，连接， 互相垂直， 和为直角三角形，且分别为斜边， ， ， 当最小时，最小，再根据“两点之间线段最短”得， 当点在线段上时，最小，最小值为线段的长， 分别为的中点， 是的中位线， ， 同理， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， 在中，， ， 的最小值为， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题只要考查了矩形的判定和性质，三角形的性质，三角形的中位线定理，线段的性质，勾股定理等，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点之间线段最短是解答此题的关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先进行乘除和乘方运算，再进行加减运算即可，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组的解法是解题关键． 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解)即可． 【详解】解: 解不等式①：， 解不等式②：， ∴不等式组的解集：． 19. 如图，，E是上的一点，且，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】利用等角对等边，推出，再根据即可证明． 【详解】略 20. 在边长为1个单位长度的正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出向左平移4个单位长度后得到的； （2）作出关于原点O对称的； （3）可看作是以点 为旋转中心，旋转得到的． 【答案】（1） 解：如图即为所求， （2） 解：如图，即为所求， （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换、旋转变换、中心对称，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）连接，，，相交于点M，则可看作以点M为旋转中心，旋转得到的，通过图形和坐标系确定点的坐标； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，，，相交于点M， 则可看作以点M为旋转中心，旋转得到的， 由图可知，点M的坐标为． 故答案为：． 21. 如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等，熟练掌握以上性质是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，然后由直角三角形的锐角互余得到，结合对顶角相等，即可根据等角对等边证得结论； （2）根据已知条件可知是等边三角形，进而得到，由30度角所对直角边等于斜边的一半得到，然后根据线段的和差运算即可求得的长，从而得到的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 22. 某校为选拔槐荫区第五届“勾股数学”杯初中校际联赛参赛选手，在八年级（1）班和（2）班开展了数学知识竞赛，现从两班参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩分为A、B、C三个等级（单位：满分100分，90分及90分以上为优秀）：A：，B：，C：． 下面给出了部分信息： 八年级（1）班10名学生的成绩为：73，75，81，82，84，88，88，93，97，99； 八年级（2）班10名学生的成绩为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 八（1）班 86 a 88 68.2 八（2）班 86 85 b 56 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ． （2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪个班？ （3）若八年级两个班共有90名学生参赛，请估计两班参加此次竞赛活动成绩优秀的学生总人数． 【答案】（1）86，84 （2）选派八（2）班， （3）总优秀人数为27人 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、方差、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可得出结果； （2）根据方差判断即可得出结果； （3）用乘以两个班学生竞赛成绩优秀的人数所占的比例即可得出结果． 【小问1详解】 解：八年级（1）班学生竞赛成绩从小到大排列为、、、、、、、、、， 故八年级（1）班学生竞赛成绩的中位数为第、名成绩的平均数，即， 八年级（2）班学生竞赛成绩中出现次数最多的为分，故众数； 【小问2详解】 解：∵八年级（2）班学生竞赛成绩的方差小于八年级（1）班学生竞赛成绩的方差， ∴八年级（2）班学生竞赛成绩更稳定， ∴学校会选派八年级（2）班； 【小问3详解】 解：由题意可得：八（1）班优秀有3人，八年级（2）班优秀有3人， 则（人）， 故总优秀人数为27人． 23. 为打造低碳社区，某社区决定购买A、B两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏A种路灯和1盏B种路灯共需100元，购买2盏A种路灯比1盏B种路灯的费用多20元． （1）求A、B两种路灯的单价； （2）该社区计划购买A、B两种路灯共10盏，且购买总费用不超过450元，最多可以购买多少盏B种路灯？ 【答案】（1）A 种路灯的单价 40 元，B 种路灯的单价 60 元 （2）最多购买2盏 B种路灯 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键； （1）设A 种路灯单价x元，B 种路灯单价y元，根据题意列方程组求解即可． （2）设购买 B 种路灯m盏，则 A 种盏，得到，再解不等式结合实际求解即可． 【小问1详解】 设 A 种路灯单价x元，B 种路灯单价y元， 根据题意得 ， 解得， 答：A 种路灯的单价 40 元，B 种路灯的单价 60 元； 【小问2详解】 设购买 B 种路灯m盏，则 A 种盏，则有 , 解得： ∵m为非负整数， ∴m最大为 2， 答：最多购买 2 盏 B 种路灯． 24. 根据信息完成下列各题 一套简单的密码由三部分组成：明文、密文、密钥，它们之间的关系是利用密钥可以将明文转化为密文． 某校信息兴趣小组，编制了一套密码．如下表：表示明文，表示密文，且为非负整数． 已知当时，加密密钥为 ，当时，加密密钥为 （1）表格中“”处的数字是_________； （2）请求出当时这套密码的加密密钥，即与的函数关系式； （3）若小樊同学给某个“明文数字”加密后对应的“密文数字”是“”，请求出对应的“明文数字”． 【答案】（1）； （2）与的函数关系式为； （3）． 【解析】 【分析】（）把代入解得即可； （）把时，；当时，，代入加密密钥为，解得即可； （）把分别代入和求解，再根据为非负整数即可． 【小问1详解】 当时，加密密钥为，令，则， 即表格中“”处的数字是， 故答案为： ； 【小问2详解】 由表格可知， 当时，；当时， ， 当时，加密密钥为， 则 ，解得：， ∴与的函数关系式为； 【小问3详解】 把分别代入和解得即可， ∴或， ∴或， ∵为非负整数； ∴， ∴对应的“明文数字”为． 【点睛】此题考查了一次函数的应用，掌握一次函数的性质是解题的关键． 25. 如图1，等边三角形的边长为18，点M是边上一动点，由点A向点C方向运动（不与点C重合），点N是延长线上一点，由点B向延长线方向运动，点M与点N同时以相同的速度出发，连接交于点D． （1）求证：在运动过程中，点D是线段的中点； 请根据提示，完成证明过程． 证明：如图2，过点M作，交于点P，…… （2）如图3，过点M作于点E，在运动过程中线段的长度是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由； （3）如图4，将线段绕点M顺时针旋转得线段，连接，当取最小值时，请求出此时的长度是多少？ 【答案】（1） 证明：如图2，过点M作，交于点P， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵点N是延长线上一点，由点B向延长线方向运动，点M与点N同时以相同的速度出发， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即是的中点； （2）长度不变， （3） 【解析】 【分析】（1）过点M作，交于点P，则，，由等边三角形的性质可得，从而得出为等边三角形，由等边三角形的性质可得，由题意可得，从而得出，再证明，得出，即可得证； （2）过点M作，交于点P，由（1）可得是等边三角形，，由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，表示出，即可得解； （3）由旋转的性质可得，，证明，得出，当时，的值最小，此时的值最小，求出，结合直角三角形的性质可得，求出，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：长度不变，， 理由：如图3，过点M作，交于点P， 由（1）可得是等边三角形，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题可得：， ∴， 故长度不变，； 【小问3详解】 解：∵将线段绕点M顺时针旋转得线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，的值最小，此时的值最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 26. 【先导问题】 （1）如图1，在中，平分交于点D．若，则点D到的距离为 ； 【提炼模型】 （2）如图2，在中，平分交于点D． 求证：． 请根据提示，补全证明过程． 证明：如图3，过点D作，作，过点B作， ∵平分， ∴ ， ∴ ， 又∵， ∴， ∴． 【识别模型】 （3）如图4，直线与x轴、y轴的交点分别为点A、B，若的平分线与y轴交于点C，求点C的坐标； 【应用模型】 （4）在（3）的条件下，线段上是否存在一点P，使得．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3；（2）；；（3）；（4）存在，点P坐标为 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质定理即可求解； （2）如图3，过点D作，作，过点B作，由角平分线的性质得到，由面积的计算方法等量代换即可求解； （3）根据直线与坐标轴的距离，勾股定理的计算得到，设，如图所示，过点作于点，由面积的计算列式求解即可； （4）根据先导问题的提示，运用角平分线的性质，三角形外角的性质，数形结合分析即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点作于点，则即为点D到的距离， ∵平分，，即，且， ∴， ∴点D到的距离为3， 故答案为：3； （2）证明：如图3，过点D作，作，过点B作， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （3）直线与x轴、y轴的交点分别为点A、B， ∴当时，，即，， 当时，， 解得，，则，， ∵， ∴， 设，如图所示，过点作于点， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴； （4）存在，理由如下， 方法一：如图所示，过点作的角平分线，交x轴于点，过点作于点，过点作，交x轴于点， ∴，则， ∴，即点P即为所求点的位置， ∵平分，， ∴，且， ∴， ∴，则， 设，则， ∵，即， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴； 方法二：如图所示，过点作交x轴于点，作的角平分线交x轴于点P， ∵， ∴，， ∴，则点即为所求点的位置， ∵直线的解析式为，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴，， ∴， 如图所示，过点作于点，同理，，则， ∴设，则， ∵，即， 解得，， ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数图象的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期期末质量检测八年级数学（2026.01） 本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答题前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列数学符号中，属于中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是 （ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 若，那么 C. 等腰三角形两底角的平分线相等 D. 有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 6. 如图，一次函数的图象经过点，关于的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点A，B的对应点分别是点C，D，已知点，，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M、N，作直线，分别交于点E，交于点F，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 小数比小文先出发15秒 B. 小文提速后的速度为 C. D. 从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距 10. 如图，在长方形中，，，点为射线上一动点（不与点重合），将沿所在直线折叠，点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 注意事项：所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等．不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 化简：______． 12. 如图，数轴上表示的是关于x的不等式组的解集，则该不等式组的整数解有______个． 13. 如图是某班学生体重（单位：）的箱线图，该班学生体重的下四分位数是______． 14. 如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点A顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点A旋转的度数为______． 15. 已知，，则代数式的值为______． 16. 如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是___________． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 如图，，E是上的一点，且，，求证：． 20. 在边长为1个单位长度的正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出向左平移4个单位长度后得到的； （2）作出关于原点O对称的； （3）可看作是以点 为旋转中心，旋转得到的． 21. 如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 22. 某校为选拔槐荫区第五届“勾股数学”杯初中校际联赛参赛选手，在八年级（1）班和（2）班开展了数学知识竞赛，现从两班参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩分为A、B、C三个等级（单位：满分100分，90分及90分以上为优秀）：A：，B：，C：． 下面给出了部分信息： 八年级（1）班10名学生的成绩为：73，75，81，82，84，88，88，93，97，99； 八年级（2）班10名学生的成绩为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 八（1）班 86 a 88 68.2 八（2）班 86 85 b 56 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ． （2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪个班？ （3）若八年级两个班共有90名学生参赛，请估计两班参加此次竞赛活动成绩优秀的学生总人数． 23. 为打造低碳社区，某社区决定购买A、B两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏A种路灯和1盏B种路灯共需100元，购买2盏A种路灯比1盏B种路灯的费用多20元． （1）求A、B两种路灯的单价； （2）该社区计划购买A、B两种路灯共10盏，且购买总费用不超过450元，最多可以购买多少盏B种路灯？ 24. 根据信息完成下列各题 一套简单的密码由三部分组成：明文、密文、密钥，它们之间的关系是利用密钥可以将明文转化为密文． 某校信息兴趣小组，编制了一套密码．如下表：表示明文，表示密文，且为非负整数． 已知当时，加密密钥为 ，当时，加密密钥为 （1）表格中“”处的数字是_________； （2）请求出当时这套密码的加密密钥，即与的函数关系式； （3）若小樊同学给某个“明文数字”加密后对应的“密文数字”是“”，请求出对应的“明文数字”． 25. 如图1，等边三角形的边长为18，点M是边上一动点，由点A向点C方向运动（不与点C重合），点N是延长线上一点，由点B向延长线方向运动，点M与点N同时以相同的速度出发，连接交于点D． （1）求证：在运动过程中，点D是线段的中点； 请根据提示，完成证明过程． 证明：如图2，过点M作，交于点P，…… （2）如图3，过点M作于点E，在运动过程中线段的长度是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由； （3）如图4，将线段绕点M顺时针旋转得线段，连接，当取最小值时，请求出此时的长度是多少？ 26. 【先导问题】 （1）如图1，在中，平分交于点D．若，则点D到的距离为 ； 【提炼模型】 （2）如图2，在中，平分交于点D． 求证：． 请根据提示，补全证明过程． 证明：如图3，过点D作，作，过点B作， ∵平分， ∴ ， ∴ ， 又∵， ∴， ∴． 【识别模型】 （3）如图4，直线与x轴、y轴的交点分别为点A、B，若的平分线与y轴交于点C，求点C的坐标； 【应用模型】 （4）在（3）的条件下，线段上是否存在一点P，使得．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $