精品解析：吉林省东北师范大学附属学校2025-2026学年高一第一学期数学月考试题

2025—2026学年2025级（数学） 高一数学 答题时间：120分钟 组题人：汪家玲 审题人：尹会淇 第一部分（选择题共50分） 一､选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B 与 C. 与 D 与 3. 已知，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. 8 B. 16 C. D. 8或 5. 下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则其图象大致是（ ） A B. C. D. 7. 若幂函数没有零点，则满足（ ） A. 在定义域上单调递减 B. 在单调递增 C. 关于y轴对称 D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意两个实数，不等式恒成立，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 在上是增函数 C. 的解集为 D. 的解集为 10. 设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则实数的取值可以是（ ） A. 4 B. C. D. 6 11. 已知函数满足对任意，都有，且，则（ ） A. B. C. D. 偶函数 第二部分（非选择题共70分） 三､填空题（本题共3小题，每小题4分，共12分） 12. 已知为偶函数，当时，，则时，则=___________ 13. 函数的最小值为________． 14. 定义一种运算，设（t为常数），且，则使函数最大值为4的t值是__________． 四､解答题（本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. （1）已知，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求函数解析式； （3）已知，求的解析式. 16. 已知函数，且为奇函数． （1）求b，然后判断函数的单调性并用定义加以证明； （2）若恒成立，求实数k的取值范围． 17. 若函数的定义域是，且对任意的，，都有成立. （1）试判断的奇偶性； （2）若当时，，求的解析式； （3）在条件（2）前提下，解不等式. 18. 工厂生产某型号手机全年需投入固定成本350万元，每生产（千部）该型号手机，需另投入万元，其中，且通过调研得知，当每部手机定价为0.8万元时，全年生产的手机当年能够全部销售完. （1）求年利润（万元）与年产量（千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）， （2）年产量为多少时（千部），利润最大，最大利润是多少？ 19. 函数（） （1）若时，求的单调区间. （2）设在区间上的最小值为，求的表达式. （3）设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年2025级（数学） 高一数学 答题时间：120分钟 组题人：汪家玲 审题人：尹会淇 第一部分（选择题共50分） 一､选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据具体函数的定义域求解即可. 【详解】由， 则，即，则函数的定义域是. 故选：B 2. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】分别判断和的定义域和对应关系是否相同即可求解. 【详解】A选项，函数与的定义域均为， ，，对应关系不同， 所以和不是同一个函数； B选项，的定义域为，的定义域为， 定义域不同，所以和不是同一个函数； C选项，与， 定义域和对应关系均相同，所以是同一个函数； D选项，函数中，需满足， 解得，所以函数的定义域为， 而中，需满足， 解得或，所以函数的定义域为， 函数和的定义域不同，所以和不是同一个函数. 故选：C. 3. 已知，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据换元法，设，得，代入即可求解． 【详解】设，则， 所以， 所以， 故选：D． 4. 已知函数，则（ ） A. 8 B. 16 C. D. 8或 【答案】A 【解析】 【分析】先计算，再计算的值. 【详解】,. 故选：A 5. 下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数奇偶性和单调性逐一判断即可 【详解】对于A 是偶函数 故A错误 对于B 在上单调递增 故B错误 对于C 是奇函数且在上单调递减 故C正确 对于D 在上单调递减，在上单调递增 故D错误 故选：C 6. 已知函数，则其图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数解析式结合奇函数定义证明为奇函数，再说明当时，，由此确定结论. 【详解】因为函数的定义域为，定义域关于原点对称， 所以是奇函数，所以函数的图象关于原点对称， 当时，， 选项ACD都不能同时满足以上要求，选项B满足以上要求， 故函数的图象大致是选项B中的图象， 故选：B. 7. 若幂函数没有零点，则满足（ ） A. 在定义域上单调递减 B. 在单调递增 C. 关于y轴对称 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的定义列方程求出m的值，再验证满足题意的m值和对应的函数性质. 【详解】解：函数为幂函数， ∴， 解得或， 当时，，函数没有零点，是奇函数，且满足； 当时，，函数有零点，不满足题意. 故选：D. 【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意两个实数，不等式恒成立，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件得出函数在上单调递增，再结合奇偶性转化解不等式即可. 【详解】由任意两个实数，不等式恒成立， 函数在上单调递增． 又函数是定义在上的奇函数，得， 所以不等式 化为，解得， 所以不等式的解集为． 故选：A． 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 在上是增函数 C. 的解集为 D. 的解集为 【答案】CD 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得时，，再依次判断每个选项的正误即可. 【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，，则时，，， 当时，，即当时，取的最大值为，故A错误； 则可得在单调递增，在单调递减，由是偶函数可得在单调递增，在单调递减，故B错误； 当，由解得；当时，由解得，故的解集为，故C正确； 当，由解得；当，不等式无解，故的解集为，故D正确. 故选：CD. 【点睛】关键点睛：本题考查偶函数的应用，解题的关键是先得出时，，再分段讨论判断每个选项. 10. 设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则实数的取值可以是（ ） A 4 B. C. D. 6 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意利用图象变换画出函数的图象，结合图象可求出的取值范围，从而可得答案. 【详解】因为函数的定义域为，满足，且当时，， 所以当时，， 当时，， 函数部分图象如图所示， 由，得，解得或， 因为对任意，都有， 所以由图可知，对比选项可知满足题意的实数的取值可以是4或. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是由已知条件画出函数的部分图象，从而通过数形结合的方式来解决问题. 11. 已知函数满足对任意，都有，且，则（ ） A. B. C. D. 是偶函数 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，根据条件，令，即可求得，即可判断选项A的正误；选项B，令，可求得，即可判断选项B的正误；选项C，利用选项A的结果，从而可得，即可求解；选项D，用代替，得到与相减，可得，即可求解. 【详解】对于选项A，令，得到，所以选项A正确， 对于选项B，令，得到，由（1）知，所以，故选项B错误， 对于选项C，由选项A知，而，所以选项C错误， 对于选项D，用代替，得到， 即①，又②， 由①②得到，，得到， 又的定义域为，关于原点对称， 所以是偶函数，即选项D正确， 故选：AD. 第二部分（非选择题共70分） 三､填空题（本题共3小题，每小题4分，共12分） 12. 已知为偶函数，当时，，则时，则=___________ 【答案】 【解析】 【分析】令，则，结合已知条件和是偶函数，可得答案. 【详解】令，则，由已知条件得， 因为为偶函数，所以. 故答案为： 【点睛】本题考查了函数的解析式的求法，熟练掌握函数奇偶性的性质是解答的关键，属于基础题． 13. 函数的最小值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】(方法1：单调性法)：求得函数的单调性，从而可得最小值； (方法2：换元法)：令，结合二次函数的性质求出最小值． 【详解】(方法1：单调性法)：显然函数的定义域为， 因为函数与在定义域上均是增函数， 故在上是增函数， 所以当时， ，即函数的最小值为2． (方法2：换元法)：令，则， 所以原函数转化为， 易知在时，函数单调递增， 所以当时， ， 故函数的最小值为2． 故答案为：2． 14. 定义一种运算，设（t为常数），且，则使函数最大值为4的t值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义，先计算在上的最大值，然后利用条件函数最大值为4，确定的取值即可． 【详解】若在上的最大值为4， 所以由，解得或， 所以要使函数最大值为4， 则根据新定义，结合与图像可知， 当，时，，此时解得， 当，时，，此时解得， 故或4， 故答案为：或4. 四､解答题（本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. （1）已知，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （3）已知，求的解析式. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法求解即可，注意定义域的变化； （2）利用待定系数法求解即可； （3）利用方程组法求解即可. 【详解】（1）设，则，，即， 所以，所以． （2）因为是二次函数，所以设.由，得． 由，得， 整理得， 所以，所以，所以． （3）用替换中的x，得， 由，解得. 16. 已知函数，且为奇函数． （1）求b，然后判断函数的单调性并用定义加以证明； （2）若恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1），增函数，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质求解，由单调性的定义证明， （2）由函数的单调性与奇偶性转化后求解， 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，所以，； 经检验时是奇函数． 设，，且， 则． 因为，所以，，， 所以，所以，所以在上是增函数； 【小问2详解】 依题意为奇函数，又由（1）知在上是增函数，由，得， 所以，即，解得． 所以实数k的取值范围是． 17. 若函数定义域是，且对任意的，，都有成立. （1）试判断的奇偶性； （2）若当时，，求的解析式； （3）在条件（2）前提下，解不等式. 【答案】（1）为奇函数 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用已知求出，可得，即可证出； （2）先利用奇函数性质求出时，，再结合已知和，即可求解析式； （3）作出函数的图象，利用图象得是定义在上的增函数，将不等式转化为，再利用的单调性可得，解一元二次不等式即可得解. 【小问1详解】 为奇函数， 理由如下： 函数的定义域为，关于原点对称， 令得，解得， 令得，所以对任意恒成立， 所以为奇函数， 【小问2详解】 由题知当时，， 则时，， 又， 所以. 【小问3详解】 作出函数的图象，如下图所示： 由图可知，是定义在上的增函数， 因为，所以， 所以，即， 解得或， 所以不等式的解集为或. 18. 工厂生产某型号手机全年需投入固定成本350万元，每生产（千部）该型号手机，需另投入万元，其中，且通过调研得知，当每部手机定价为0.8万元时，全年生产的手机当年能够全部销售完. （1）求年利润（万元）与年产量（千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）， （2）年产量为多少时（千部），利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当年产量为千部时，利润最大，最大值为9250万元 【解析】 【分析】（1）根据题意求函数解析式；（2）根据二次函数的对称性以及基本不等式分别求每个部分的最大值，进而可得分段函数的最大值. 【小问1详解】 当时，； 当时，； 综上所述：. 【小问2详解】 由（1）可知： 当时，则开口向下，对称轴为， ∵在上为增函数， ∴的最大值为； 当时， ∵，当且仅当，即时等号成立， ∴； 又∵， ∴的最大值为， 故当年产量为千部时，利润最大，最大值为9250万元. 19. 函数（） （1）若时，求的单调区间. （2）设在区间上的最小值为，求的表达式. （3）设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出的解析式，去绝对值写成分段函数的形式，结合二次函数的对称轴和单调性即可求解； （2）求出的对称轴，再讨论、、时函数的的单调性以及最值即可求解； （3），再根据函数单调性的定义可得即，转化为最值问题即可求解. 【小问1详解】 当时， ， 由二次函数性质可得的单调增区间为和 的单调减区间为和. 【小问2详解】 由于，当时，， ①若，即时，函数在单调递增，此时 ②若，即时，， ③若，即时，在上是减函数，此时． 综上可得. 【小问3详解】 任取，则 ， 因为在区间上是增函数，所以恒成立， 因为，所以， 所以可转化为对任意都成立， 即，因为，所以， 因为，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $