吉林省吉林市实验中学2025-2026学年高二下学期5月期中测试数学试题

吉林市实验中学高二年级期中测试 数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 2．已知直线l过点且与线段（）有交点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若直线y＝kx与圆的两个交点关于直线对称，则k，b的值分别为（    ） A．k＝2，b＝－1 B．k＝－2，b＝1 C．， D．， 4．过点作圆的最短弦，延长该弦与轴、轴分别交于两点，则的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．通信工程中常用元数组表示信息，其中或1，且．设，，表示和中相对应的元素不同的个数．如，，则．若，则使得的6元数组的个数为（   ） A．15 B．20 C．30 D．40 6．不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 7．已知定义域为的函数在区间上单调递减，且为偶函数，则关于的不等式的解集为 A． B． C． D． 8．函数是奇函数且过点（—1，3），函数是函数的反函数，则的图像必过点 （ ） A．（—5，1） B．（—3，3） C．（—3，1） D．（—5，3） 二、多选题（每题6分，共18分） 9．2017年1月，《中国青年报》社会调查中心联合问卷网，对多人进行了一项关于“二十四节气”的调查，全部都知道、大部分知道、少部分知道和完全不知道“二十四节气”日期的受访者分别占12.6%、49.0%、34.6%和 3.8%，则适合表示上述调查结果的是（    ） A．柱形图 B．折线图 C．扇形图 D．频率分布直方图 10．点在函数的图象上，当，则可能等于（    ） A． B． C． D．0 11．若，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题（每题5分，共15分） 12．我国古代的统计工作有着悠久的历史.据《周礼》记载，周朝设有专门负责调查和记录数据的官员，称为“司书”，主要工作是负责“邦之六典以周知入出百物”.《数书九章》中有“米谷粒分”问题：今有粮仓开仓收粮，有人送来米2024石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得253粒内夹谷29粒.则估计这批米内所夹的谷有_____石. 13．已知函数的定义域是，则实数的取值范围是________. 14．已知，，且，则的最小值为______． 四、解答题（77分） 15．已知．（12分） (1)求； (2)若，且，求． 16．如图，组合体由半个圆锥和一个三棱锥构成，其中是圆锥底面圆心，是圆弧上一点，满足是锐角，.（15分） （1）在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明； （2）在（1）中，若是中点，且，求直线与平面所成角的正弦值. 17．如图，四边形是直角梯形，，∥，，又，直线与直线所成的角为.（15分） （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 18．《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）.（17分） 质量指标 产品 60 100 160 300 200 100 80 (1)估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）； (2)设表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，精确到个位，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有95%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？ (3)为了检测技术人员的业务知识，该企业对两名业务人员进行知识考核竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分．若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛．甲和乙同时参赛，已知在类的5个问题中，甲只能答对4个问题，在类的4个问题中，甲答对的概率都为0.4；乙答对每个问题的概率都为0.6．甲、乙回答任一问题正确与否互不影响． （ⅰ）求甲在第一轮比赛中得0分的概率； （ⅱ）以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？ 19．已知二次函数，且不等式的解集为.（18分） （1）方程有两个相等的实根，求的解析式； （2）的最小值不大于，求实数的取值范围； （3）如何取值时，函数存在零点，并求出零点. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 吉林市实验中学高二年级期中测试答案 1．B 【分析】先利用已知条件求得，再利用均值定理即可求得的最大值. 【详解】由及A，B，C，D四点共面得：， 即，又，， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：B 2．A 【分析】设线段（）的左右端点分别为，计算出，由此求得的取值范围. 【详解】设线段（）的左右端点分别为， 如图，，，∴. 故选：A 【点睛】本小题主要考查直线的斜率，属于基础题. 3．A 【分析】分析可知过圆心，且与y＝kx垂直，然后可得. 【详解】由题意可知，直线过圆心，且直线y＝kx与直线垂直， 所以，，解得. 故选：A 4．B 【分析】先利用圆的性质确定最短弦所在直线的方程，再求得两点坐标，计算面积即得结果. 【详解】依题意，点，由圆的性质可知，过点且垂直PM的直线l截得的弦长最短. 而，所以直线l的斜率为1，即方程为：，即. 所以直线l与轴、轴分别交于， 故底边，高，即面积为. 故选：B. 5．A 【分析】根据所给新定义理解题意，由组合知识即可求解判断. 【详解】由，则相对应的元素恰有2个不同，故数组共有个. 故选：A. 6．C 【分析】由分式不等式小于0得出分子、分母异号，进而把分式不等式转化为整式不等式，解不等式求解集． 【详解】，分式的分子、分母异号，即，解得， 不等式的解集为，故C正确． 故选：C． 7．D 【解析】根据函数的单调性和奇偶性的关系，将不等式进行转化进行求解即可． 【详解】因为y＝f（x+1）为偶函数，∴y＝f（x）关于x=1对称，又因为函数f（x）在（1，+∞）上单调递减， 所以由f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0得f（2x﹣1）＞f（x+1）， 即|2x﹣1-1|＜|x+1-1|， 平方整理得3x2﹣8x+4＜0， 即＜x＜2, 即不等式的解集为（，2）， 故选D． 【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 8．A 【分析】由题设条件可以看出的图象由的图象向左平移2个单位而得到，故可以通过反函数的关系求出函数的点，再由平移的规则得出的图象必过点即可. 【详解】解：∵函数y＝f（x）是奇函数且过点（﹣1，3），函数是函数y＝f（x）的反函数， ∴函数图象过点（0，0）与（3，﹣1），（﹣3，1） ∴函数图象过点（﹣2，0）与（1，﹣1），（﹣5，1）. 故选:A． 9．AC 【分析】根据各种统计图表的功能直接可得. 【详解】柱形图和扇形图可用于表示百分比，折线图和频率分布直方图是用面积表示频率. 故选：AC 10．AD 【分析】由点在线上得，则，，由复合函数性质逐步讨论值域即可 【详解】点在函数的图象上，∴，∴， ∵由得， . 故选：AD 11．BC 【分析】作差比较可判断A；构造函数，利用导数求单调性可判断B；作商比较，结合基本不等式可判断C；构造函数，利用导数判断单调性可判断D. 【详解】对A：因为，则， 所以，所以，A错误； 对B：记，则， 所以在上单调递减， 又，所以，即，即，B正确； 对C：因为，所以，， ，因，故等号不成立， 则，所以，C正确； 对D：记，则， 记，则，故， 所以在上单调递减，， 则，所以在单调递减， 又，所以，即，即，D错误. 故选：BC. 12．232 【分析】利用样本估计总体进行计算. 【详解】这批米内所夹的谷有， 故答案为：232 13． 【分析】由函数的定义域是，表示函数的分母恒不为零，即方程无解，根据一元二次方程根的个数与判断式的关系，我们易得数的取值范围. 【详解】解：由或，可得， 故答案为：. 【点睛】求函数的定义域时要注意：（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）.（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集.若函数定义域为空集，则函数不存在. 14．5 【解析】首先利用条件变形，展开后利用基本不等式求最小值. 【详解】 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为5. 故答案为：5 【点睛】关键点点睛：利用“1”的变形，是本题的关键，. 15．(1) (2) 【分析】（1）先由同角三角函数的平方关系可得，再由余弦的和差角公式代入计算，即可得到结果； （2）由同角三角函数的平方关系可得，再由正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由，得． ， . （2）由得，由得， ， 又. 16．（1）答案见解析；（2）. 【分析】（1）延长交的延长线于点，作，即可. （2）建立空间直角坐标系，计算与平面的一个法向量，然后根据空间向量的夹角公式计算即可. 【详解】（1）①延长交的延长线于点； ②连接；③过点作交于点. （2）若是中点，则是中点，又因为，所以， 所以，从而，依题意，两两垂直， 分别以，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则， 从而， 设平面的一个法向量为， 则,即,取，得. 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】本题主要考查利用向量的方法求解线面角，向量是代数与几何的纽带，利用代数的方法求解几何问题，便于计算，考查计算，属中档题. 17．（1）见解析 ,（2）. 【分析】（1）要证明平面平面，可先证明平面即可，而，从而可证得结论， （2）建立空间直角坐标系，写出对应坐标，求出平面的法向量，平面的法向量，通过向量的夹角公式即可求得答案. 【详解】证明：（1）因为，所以， 因为， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， （2）由（1）知，M在面内的射影N必在CB上，易知. 因为直线AM与直线MN所成的角为，所以. 在中，由余弦定理得. 在中， 建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意知，. 所以，. 设平面的一个法向量为， 则，令，则 又平面的一个法向量为 设与所成的角为，则 显然，二面角为锐角， 故二面角的余弦值为. 18．(1)61，241； (2)可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功. (3)（ⅰ），（ⅱ）乙更容易晋级复赛 【分析】（1）利用表格中的数据，根据平均数和方差的计算公式计算即可； （2）根据题中公式，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，与题中条件比较即可得出结论. （3）（ⅰ）对A类的5个问题进行编号：，其中甲能答对的4个问题的编号为，利用列举法，根据古典概型的概率公式求解即可； （ⅱ）根据题意按第一轮得20分且第二轮至少得20和第一轮得0分且第二轮得40分，结合独立事件和对立事件的概率公式，分别计算甲、乙晋级复赛的概率，从而可判断. 【详解】（1）由题，可知 ． ． （2）由知，， 则，， 该抽样数据落在内的频率约为； 又，， 该抽样数据落在内的频率约为， ∴可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功． （3）（ⅰ）对A类的5个问题进行编号：，其中甲能答对的4个问题的编号为， 第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，则所选的两个题的情况为： ，共10种， 其中得0分的情况有：，4种， 所以甲在第一轮比赛中得0分的概率为； （ⅱ）甲晋级复赛分两种情况： 甲第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：， 甲第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：， 所以甲晋级复赛的概率为； 乙晋级复赛分两种情况： 乙第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：， 乙第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：， 所以乙晋级复赛的概率为， 因为，所以乙更容易晋级复赛. 19．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【详解】试题分析：（1）根据不等式的解集为得到、为方程的实根，结合韦达定理确定、、之间的等量关系以及这一条件，然后利用有两个相等的实根得到，从而求出、、的值，最终得到函数的解析式；（2）在的条件下，利用二次函数的最值公式求二次函数的最小值，然后利用已知条件列有关参数的不等式，进而求解实数；（3）先求出函数的解析式，对首项系数为零与不为零进行两种情况的分类讨论，在首项系数为零的前提下，直接将代入函数解析式，求处对应的零点；在首项系数不为零的前提下，求出， 对的符号进行三中情况讨论，从而确定函数的零点个数，并求出相应的零点. 试题解析：（1）由于不等式的解集为， 即不等式的解集为， 故、为方程的两根，且， 由韦达定理得，， 由于方程有两个相等的实根，即方程有两个相等的实根， 则， 由于，解得，，， 所以； （2）由题意知，，，，由于，则有， 解得，由于，所以，即实数的取值范围是； （3）（※） ①当时，方程为，方程有唯一实根， 即函数有唯一零点； ②当时，， 方程（※）有一解，令， 得或，，即或， （i）当时，（（负根舍去））， 函数有唯一零点； （ii）当时，的两根都是正数， 所以当或时， 函数有唯一零点； （iii）当时，，， ③方程（※）有二解， （i）若，，时， （（负根舍去）），函数有两个零点， ； （ii）当时，，的两根都是正数， 当或时， （i）函数数有两个零点； （ii）当时，，恒成立， 所以大于的任意实数，函数有两个零点 . 考点：1.不等式的解集与方程之间的关系；2.不等式的求解；3.二次函数的零点 答案第2页，共9页 答案第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $