精品解析：江西樟树市2025～2026学年上学期期末质量监测 九年级数学试卷

樟树市2025～2026学年上学期期末质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列成语描述的事件为随机事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 水涨船高 D. 画饼充饥 3. 若一元二次方程有一根为，则另一根为（　　） A. 5 B. C. 4 D. 3 4. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（     ） A. B. 当时，的值随值的增大而减小 C. 点的坐标为 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 点A（1，-5）关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为______． 8. 2025年暑假期间，李明、肖红二人准备在《南京照相馆》《长安的荔枝》《浪浪山小妖怪》《侏罗纪世界：重生》四部影片中各自随机选择一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为 _________． 9. 已知m是方程的一个根，则的值为___________． 10. 小明在与对话中输入如下的文字：“有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3倍后再加上4，结果等于这个数？”经过40秒的深度思考和验证，给出的这个数应该是______． 11. 如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则______． 12. 如图，内接于，，，点P是上异于点A、B、C的一动点，若为等腰三角形，则的度数为____． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为⊙O，有水部分弓形的高，水面宽度．求截面⊙O的半径． 14. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了，，，四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． （1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是______； （2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 15. 请你仅用无刻度的直尺在下面的图中作出△ABC 的边 AB 上的高 CD． (1)如图①，以等边三角形 ABC 的边 AB 为直径的圆，与另两边 BC、AC 分别交于点 E、F． (2)如图②，以钝角三角形 ABC 的一短边 AB 为直径的圆，与最长的边 AC 相交于点 E． 16. 关于x的一元二次方程有两个不等实根、． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实根、满足，求k的值． 17. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和的夹角为，长为，扇面的长为，若要给扇面正反两面贴纸，求所需贴纸的面积（接缝处忽略不计，结果保留）． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 又是一年脐橙丰收季！小石通过网络平台进行直播销售．已知每箱（小箱）脐橙的成本是元如果销售单价定为每箱元，那么日销售量将达到箱．据市场调查，销售单价每提高元，日销售量将减少箱． （1）若销售单价定为每箱元()，请用含的式子表示日销售量； （2）要使每天销售这种脐橙盈利元，同时又要让利给顾客，那么脐橙的售价单价应定为每箱多少元？ 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，． （1）以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； （2）直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； （3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标． 20. 已知中，为的弦，直线与相切于点． （1）如图①，若，直径与相交于点，求和的大小； （2）如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某校开展“阳光体育”活动，如图①是学生在操场玩跳长绳游戏的场景，在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，如图②所示是以点为原点建立的平面直角坐标系（甲位于点处，乙位于轴的处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为点、点，且的水平距离为米，他们到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为米． （1）请求出该抛物线的解析式； （2）跳绳者小明的身高为米，当绳子甩到最高处时，求小明站在距甲同学多远时，绳子刚好过他的头顶上方； （3）经测定，多人跳长绳时，参与者同方向站立时的脚跟之间距离不小于米时才能安全起跳，小明与其他位同学一起跳绳，如果这名同学与小明身高相同，通过计算说明他们是否可以安全起跳？ 22. 定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反且顶点的横、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的伴随函数．如与互为伴随函数． （1）的伴随函数的表达式为 ； （2）若的图像的顶点为，且过它的伴随函数的图像顶点． 求证：这两个函数图像的交点为； 如图，点是在之间的图像的动点，轴交的图像于点，求长度的最大值． 六、（本大题共12分） 23. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片和完全重合放置，固定一个顶点，然后将三角形纸片绕点顺时针旋转，进一步探究图形旋转的性质． 【初步感知】 （1）如图1，将当点恰好落在线段上时，，则的度数_____； 【特例探究】 （2）如图2，三角形纸片是等腰三角形，，在三角形纸片绕点顺时针旋转过程中，当点恰好落在线段上时，连接，求证：四边形是平行四边形； 【拓展延伸】 （3）如图，三角形纸片是直角三角形，，在三角形纸片绕点顺时针旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，连接交延长线于点． ①小舞同学通过连接发现四边形是矩形，小矢同学发现点M是的中点…请你选择一个同学发现的结论进行证明； ②如图4，小怡同学延长交于点，若，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 樟树市2025～2026学年上学期期末质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2. 下列成语描述的事件为随机事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 水涨船高 D. 画饼充饥 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件． 【详解】解：A．水中捞月是不可能事件，故不符合题意； B．守株待兔是随机事件，故符合题意； C．水涨船高是必然事件，故不符合题意； D．画饼充饥是不可能事件，故不符合题意； 故选B． 3. 若一元二次方程有一根为，则另一根为（　　） A. 5 B. C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】将代入方程即可求出a的值． 【详解】解：将代入方程可得：， ∴， ∴方程为， ∴， 解得，， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 4. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【详解】解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D 5. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出的度数，再根据圆内接四边形的性质及平角的定义即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴． 故选：C 6. 如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（     ） A. B. 当时，的值随值的增大而减小 C. 点的坐标为 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，掌握“抛物线的对称性、开口方向与的关系、函数值的变化规律”是解题的关键． 【详解】A．二次函数图像开口向上，故，A错误； B．对称轴为，图像开口向上，当​时，随增大而增大，B错误； C．抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，设，则，解得，故，C正确； D．对应时的函数值，由图像可知在对称轴左侧，此时，故，D错误． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 点A（1，-5）关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为______． 【答案】（-1，5） 【解析】 【分析】根据若两点关于坐标原点对称，横纵坐标均互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵点A（1，-5）关于原点的对称点为点B， ∴点B的坐标为（-1，5）． 故答案为：（-1，5） 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于原点对称的特征，熟练掌握若两点关于坐标原点对称，横纵坐标均互为相反数是解题的关键． 8. 2025年暑假期间，李明、肖红二人准备在《南京照相馆》《长安的荔枝》《浪浪山小妖怪》《侏罗纪世界：重生》四部影片中各自随机选择一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，熟练掌握是解题的关键．总共有4部影片，两人各自独立选择，总共有16种等可能的结果．其中两人选择同一部影片的情况有4种，因此概率为. 【详解】解：设四部影片为A、B、C、D．李明和肖红各自随机选择一部影片，列表： 李明 肖红 A B C D A A，A A，B A，C A，D B B，A B，B B，C B，D C C，A C，B C，C C，D D D，A D，B D，C D，D 所有可能的选择组合共有种，且每种组合发生的可能性相等．二人选择同一部影片的情况有：A,A、B,B、C,C、D,D，共4种． 根据概率公式，所求概率为． 故答案为：. 9. 已知m是方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴ ， 故答案为：． 10. 小明在与对话中输入如下的文字：“有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3倍后再加上4，结果等于这个数？”经过40秒的深度思考和验证，给出的这个数应该是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握根据题意列一元二次方程并求解是解题的关键．设这个数为，根据题目描述的数量关系列出一元二次方程，然后求解方程得到这个数． 【详解】解：设这个数为． ， ， ， ， 故答案为：2． 11. 如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离． 【详解】解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系， ∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． 设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 当时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离为． 故答案为： 12. 如图，内接于，，，点P是上异于点A、B、C的一动点，若为等腰三角形，则的度数为____． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，由等边对等角可得，分两种情况：当点在劣弧上时，连接，则此时，当时，此时；当时，；当时，此时，此时点与点重合，不符合题意；当点在优弧上时，此时，再结合等腰三角形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵内接于，，， ∴， 如图，当点在劣弧上时，连接，则此时， ∵为等腰三角形， ∴当时，此时， ， ∴， ∴； 当时，， ， ∴， ∴； 当时，此时，此时点与点重合，不符合题意； 当点在优弧上时，此时， ， ∵为等腰三角形， ∴此种情况下，只存在一种情况，此时， ∴； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为⊙O，有水部分弓形的高，水面宽度．求截面⊙O的半径． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理和垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． （1）运用因式分解法解一元二次方程即可； （2）连接，设的半径为，则，，然后根据列方程解题即可． 【详解】解：（1） 解得，； （2）连接， 设的半径为，则，， 在中，，即， 解得：． 14. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了，，，四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． （1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是______； （2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算，列表法或画树状图法求概率，掌握概率公式和正确的列出表格或画出树状图是解题关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的结果，再找出抽取两张卡片内容均为化学变化的结果，最后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意可列表格如下， A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 根据表格可知共有12种等可能的结果，其中抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有2种， ∴抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为． 15. 请你仅用无刻度的直尺在下面的图中作出△ABC 的边 AB 上的高 CD． (1)如图①，以等边三角形 ABC 的边 AB 为直径的圆，与另两边 BC、AC 分别交于点 E、F． (2)如图②，以钝角三角形 ABC 的一短边 AB 为直径的圆，与最长的边 AC 相交于点 E． 【答案】 （1）如图所示，CD 即为所求； （2）如图，CD 即为所求． 【解析】 【分析】（1）连接AE、BF，找到△ABC的高线的交点，据此可得CD； （2）延长CB交圆于点F，延长AF、EB交于点G，连接CG，延长AB交CG于点D，据此可得． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查作图-基本作图，解题的关键熟练掌握圆周角定理和三角形的三条高线交于一点的性质． 16. 关于x的一元二次方程有两个不等实根、． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实根、满足，求k的值． 【答案】（1）>； （2）k=2. 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系得出k的值． 【小问1详解】 解：∵原方程有两个不相等的实数根， ∴>0， 解得：> ． 【小问2详解】 由根与系数的关系，得， ． ∵， ∴， 解得：k=0或k=2， 又∵>， ∴k=2． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系的应用，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 17. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和的夹角为，长为，扇面的长为，若要给扇面正反两面贴纸，求所需贴纸的面积（接缝处忽略不计，结果保留）． 【答案】所需贴纸的面积为 【解析】 【分析】由题意得，，，根据扇形的面积公式，即可求得弓形的面积，据此即可解答． 【详解】解：由题意得，，， ∴ ∴． ∴所需贴纸的面积． 答：所需贴纸的面积为． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，掌握“弓形的面积=大扇形的面积-小扇形的面积”是解决本题的关键． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 又是一年脐橙丰收季！小石通过网络平台进行直播销售．已知每箱（小箱）脐橙的成本是元如果销售单价定为每箱元，那么日销售量将达到箱．据市场调查，销售单价每提高元，日销售量将减少箱． （1）若销售单价定为每箱元()，请用含的式子表示日销售量； （2）要使每天销售这种脐橙盈利元，同时又要让利给顾客，那么脐橙的售价单价应定为每箱多少元？ 【答案】（1）[]或) （2）这种脐橙的售价单价应定为每箱元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： （1）根据销售单价每提高元，日销售量将减少箱，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：； 【小问2详解】 解：设这种脐橙的售价单价定为每箱元，则每箱的销售利润为元， 日销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要让利给顾客， ． 答：这种脐橙的售价单价应定为每箱元． 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，． （1）以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； （2）直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； （3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标． 【答案】（1） 解：如下图所示： （2）40 （3）(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题主要考查了画旋转图形，平行四边形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质等知识，结合网格解题是解题的关键． （1）将点A，B，C分别绕点D旋转得到对应点，即可得出． （2）连接，，证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质以及网格求出面积即可． （3）根据网格信息可得出，，即可得出是等腰三角形，根据三线合一的性质即可求出点E的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，， ∵点B与，点C与分别关于点D成中心对称， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【小问3详解】 ∵根据网格信息可得出，， ∴是等腰三角形， ∴也是线段的垂直平分线， ∵B，C的坐标分别为，， ∴点， 即．（答案不唯一） 20. 已知中，为的弦，直线与相切于点． （1）如图①，若，直径与相交于点，求和的大小； （2）如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． （1）根据等边对等角得到，然后利用三角形的内角和得到，然后利用平行线的性质结合圆周角定理解题即可； （2）连接，求出，再在中运用三角函数解题即可． 【小问1详解】 为的弦， ．得． 中，， 又， ． 直线与相切于点为的直径， ．即． 又， ． 在中，． ， ． 【小问2详解】 如图，连接． ∵ 直线 与 相切于点 ， ∴ ∵ ∴． ，得． 在中，由， 得． ． 在中，， ． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某校开展“阳光体育”活动，如图①是学生在操场玩跳长绳游戏的场景，在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，如图②所示是以点为原点建立的平面直角坐标系（甲位于点处，乙位于轴的处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为点、点，且的水平距离为米，他们到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为米． （1）请求出该抛物线的解析式； （2）跳绳者小明的身高为米，当绳子甩到最高处时，求小明站在距甲同学多远时，绳子刚好过他的头顶上方； （3）经测定，多人跳长绳时，参与者同方向站立时的脚跟之间距离不小于米时才能安全起跳，小明与其他位同学一起跳绳，如果这名同学与小明身高相同，通过计算说明他们是否可以安全起跳？ 【答案】（1） （2）小明站在距甲米或米时，绳子刚好过他的头顶上方 （3） 他们可以安全起跳，理由如下： 当时，，， ∴可以站立跳绳的距离为米， 又∵米， ∴， ∴他们可以安全起跳． 【解析】 【分析】（1）根据题意可知抛物线顶点的坐标为，可设抛物线的解析式为，将点代入，求出的值，可得该抛物线的解析式； （2）将代入，解得的值即可； （3）由（2）可知当时，，，可以站立跳绳的距离为米，小明与其他位同学一起跳绳需要站立的最短距离为米，因为，所以他们可以安全起跳． 【小问1详解】 解：由题意设抛物线的解析式为， 将点代入，中，得， ∴该抛物线的解析式是． 【小问2详解】 解：将代入， 解得，， ∴小明站在距甲米或米时，绳子刚好过他的头顶上方． 【小问3详解】 解：略． 【点睛】本题考查了求二次函数的表达式，和二次函数的实际应用，利用待定系数法求出二次函数的表达式是解答本题的关键． 22. 定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反且顶点的横、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的伴随函数．如与互为伴随函数． （1）的伴随函数的表达式为 ； （2）若的图像的顶点为，且过它的伴随函数的图像顶点． 求证：这两个函数图像的交点为； 如图，点是在之间的图像的动点，轴交的图像于点，求长度的最大值． 【答案】（1）； （2）证明：∵， ∴顶点， ∴它的伴随抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点在图象上， 当时，， ∴点在图象上， ∴这两个函数图像的交点为，； 最大值为． 【解析】 【分析】（）根据“伴随函数”的定义和二次函数的定义即可求解； （）由，则顶点，求出它的伴随抛物线解析式为，然后当时，，则点在图象上，当时，，从而求证； 设，则， 故有，然后根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ∴顶点为， ∴伴随抛物线的顶点为， ∴伴随抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 解：由可知：，，，， 设， ∵轴交的图像于点， ∴， ∴， ∵点在，之间， ∴， 当时，值最大，最大值为． 六、（本大题共12分） 23. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片和完全重合放置，固定一个顶点，然后将三角形纸片绕点顺时针旋转，进一步探究图形旋转的性质． 【初步感知】 （1）如图1，将当点恰好落在线段上时，，则的度数_____； 【特例探究】 （2）如图2，三角形纸片是等腰三角形，，在三角形纸片绕点顺时针旋转过程中，当点恰好落在线段上时，连接，求证：四边形是平行四边形； 【拓展延伸】 （3）如图，三角形纸片是直角三角形，，在三角形纸片绕点顺时针旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，连接交延长线于点． ①小舞同学通过连接发现四边形是矩形，小矢同学发现点M是的中点…请你选择一个同学发现的结论进行证明； ②如图4，小怡同学延长交于点，若，，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）证明：由旋转的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （3）解：①若选择小舞同学的结论，证明如下： 连接，如图所示： 由旋转的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 若选择小矢同学，证明如下： 由小舞同学可得四边形是矩形， ∴，即， ∵， ∴， 即点M是的中点； ② 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后根据等腰三角形的性质及旋转的性质可进行求解； （2）由旋转的性质可知：，则有，然后可得，进而根据平行四边形的判定定理可进行求证； （3）①若选择小舞同学的结论，由旋转的性质可知：，则有，然后可得，进而可得四边形是平行四边形，最后根据矩形的判定定理可进行求证； ②由①可知：，，由旋转的性质可知：，，然后可得，设，则有，进而根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：； （2）略 （3）①略 ②由①可知：，， 由旋转的性质可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则有， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查矩形的判定、平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的判定、平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质、旋转的性质及勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $