精品解析：陕西西安市经开第一中学等校2025-2026学年八年级上学期期末数学试题

2025—2026学年度第一学期期末试题 八年级数学学科 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 有一组数据，其箱线图如图所示：下列说法不正确的是（ ） A. 这组数据的下四分位数是4 B. 这组数据没有超过18的 C. 这组数据的中位数是10 D. 这组数据的上四分位数是15 4. 若正比例函数的图象经过点和，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5. 如图，在中，，，点在的延长线上，且，过点作于点，若，则为（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 6 6. 《孙子算经》记载：今有人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每三人共乘一辆车，最终剩余辆车；若每人共乘一辆车，最终剩余人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有人，辆车，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在长方形纸片中，，，点为线段延长线上的一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点恰好落在直线上时，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 14 D. 12 8. 如图，点在轴负半轴上，直线与轴、轴分别交于点，，且，点在直线上，且点位于第一象限，连接，若时，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 比较大小：________．（填“”“”或“”） 10. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 11. 如图，在中，，是边上的中线，且，若，则的度数为________． 12. 一次函数(a为常数)的图象过，点，则________．(填“”、“”或“”) 13. 如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则关于x的方程kx+b＝4的解是（　　） A. x＝1 B. x＝2 C. x＝3 D. x＝4 14. 如图，在中，，是角平分线，点，分别在，上，且．若，，则的周长的最小值是________． 三、解答题（共12道题，计78分） 15. 计算： （1） （2） 16. 计算： （1） （2） 17. 解下列方程组： （1） （2） 18. 如图，已知，．求证：． 19. 如图，已知中，，．请用尺规作图法，在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 某学校为了提升八年级学生的数学思维，组织了数学思维挑战赛，老师随机抽取了25位同学的竞赛成绩，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将这些同学的成绩整理并绘制成统计图，如图所示： （1）请将统计图补充完整；所抽取的25位同学竞赛成绩的中位数为________分，平均数为________分． （2）该校八年级共有300位同学参与数学思维挑战赛，请你估计竞赛成绩不低于80分的学生人数． 21. 图1中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是一种传统的木制凳子，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．小明和小知通过测量收集了这类板凳的数据，如图2，设凳面宽度为，凳面一端两个榫眼的内侧距离为，且与成一次函数关系，下表给出了其中的部分数据： （1）求与之间的关系式； （2）当板凳凳面一端两个榫眼的内侧距离刚好等于凳面宽度的时，求该板凳的凳面宽度． 22. 如图，在中，，于点，为上一点，与交于点，且．求证：． 23. 如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且平分． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 24. 某商场购进商品后，均加价后作为销售价．元旦当天商场开展优惠促销活动，甲商品打折出售，乙商品降价元出售．某顾客购买甲、乙两种商品各一件，共付款元．这两种商品的进价之和为元． （1）甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）元旦当天甲商品销售件，乙商品销售件，该天销售甲、乙两种商品的总利润为多少元？ 25. 如图，和分别为等边三角形，与交于点，若，连接，． （1）求证：； （2）若于点，，求的面积． 26. （1）如图1，和均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，若，，则． （2）如图2，在中，，，点在上方，且，连接，若，，求的长． （3）如图3，在中，，，点在上方，，在上截取，连接，点在上，且，．若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末试题 八年级数学学科 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倒数的概念计算即可得到结果． 【详解】解：乘积为的两个数互为倒数， 故的倒数为． 2. 如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，由平行线的性质求出的度数，由对顶角定义得，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3. 有一组数据，其箱线图如图所示：下列说法不正确的是（ ） A. 这组数据的下四分位数是4 B. 这组数据没有超过18的 C. 这组数据的中位数是10 D. 这组数据的上四分位数是15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了箱线图，中位数的定义，根据箱线图逐项分析判断，即可求解．． 【详解】解：A. 这组数据的下四分位数是4，故该选项正确，不符合题意； B. 这组数据没有超过18的，故该选项正确，不符合题意； C. 箱线图中部的竖线在10与11之间，则这组数据的中位数大于，故该选项不正确，符合题意； D. 这组数据的上四分位数是15，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 4. 若正比例函数的图象经过点和，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质．将点坐标代入函数解析式，建立方程组求解的值． 【详解】解：∵点和在函数上， ∴， 两式相减得：， 即， ∴． 故选：D． 5. 如图，在中，，，点在的延长线上，且，过点作于点，若，则为（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，根据含30度角的直角三角形的性质得出，结合已知可得，根据三线合一的性质即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，则 ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6. 《孙子算经》记载：今有人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每三人共乘一辆车，最终剩余辆车；若每人共乘一辆车，最终剩余人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有人，辆车，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二元一次方程组，明确题意，找到等量关系是解题的关键． 根据等量关系——“若每三人共乘一辆车，最终剩余辆车；若每人共乘一辆车，最终剩余人无车可乘”列出方程组即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：． 7. 如图，在长方形纸片中，，，点为线段延长线上的一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点恰好落在直线上时，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 14 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质可得，根据勾股定理求得，进而在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵在长方形纸片中，，， ∴， ∵把沿直线折叠，当点的对应点恰好落在直线上 ∴， 在中， ∴ ， 设，则， 在中， ∴ 解得：， 即的长为， 故选：D． 8. 如图，点在轴负半轴上，直线与轴、轴分别交于点，，且，点在直线上，且点位于第一象限，连接，若时，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．先求出点和点的坐标，再求出的长，进而得到的长，则可求出点的坐标，最后利用待定系数法求得的解析式，过点B作交直线于，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为点E和点F，然后利用一线三垂直模型构成全等三角形，证明，设，进而求得点的坐标，代入直线的解析式，求得的值，即可求解． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； 如图所示，过点B作交直线于，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为点E和点F， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， ∴ ，即， ∵点D在直线上， ∴， 解得； ∴ 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 比较大小：________．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较； 对于带根号的无理数的大小比较，可以利用平方法先转化为有理数的大小比较，先比较两个数平方的大小即可得到它们的大小关系． 【详解】解：∵ ，， 又∵ ，且 ，， ∴ ， 故答案为：． 10. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和定理，掌握多边形内角和公式与外角和的性质是解题的关键，设多边形的边数为，根据内角和是外角和的2倍建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∴， 解得， 故答案为：． 11. 如图，在中，，是边上的中线，且，若，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据等腰三角形的性质可得，进而求得，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 12. 一次函数(a为常数)的图象过，点，则________．(填“”、“”或“”) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质．通过一次函数的一次项系数恒为正，判断随的增大而增大，再根据点的横坐标大小关系得出函数值的大小关系． 【详解】解：由函数解析式得，由于，故，因此随的增大而增大． 点的横坐标为，点的横坐标为，由于，且函数递增，故． 故答案为：． 13. 如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则关于x的方程kx+b＝4的解是（　　） A. x＝1 B. x＝2 C. x＝3 D. x＝4 【答案】B 【解析】 【分析】先利用y＝x+2求出交点P的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断． 【详解】解：把P（m，4）代入y＝x+2得m+2＝4，解得m＝2， ∴一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象的交点P为（2，4）， ∴关于x的方程kx+b＝4的解是x＝2． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，数形结合是解题的关键． 14. 如图，在中，，是角平分线，点，分别在，上，且．若，，则的周长的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质；过点分别作的垂线，垂足分别为，证明得出，进而可得的周长为，根据角平分线的性质以及三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵是角平分线， ∴， ∵，是角平分线， ∴ ∵ ∴， 同理可得 又∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴的周长为 ∴当取得最小值时，的周长取得最小值，即当重合时，取得最小值， ∵，，， ∴，即 设 ∴ 解得： ∴ ∴的周长为 故答案为：． 三、解答题（共12道题，计78分） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，乘除运算． （1）根据二次根式的加减运算进行计算即可求解； （2）根据二次根式的乘除运算进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）通过计算二次根式的乘法和除法，合并同类二次根式进行计算． （2）利用平方差公式和完全平方公式进行展开，然后合并同类二次根式，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法， （1）通过简化方程后相减消元， （2）先消去分母再使用加减消元法． 【小问1详解】 解：， 将方程②除以2，得： 方程③减去方程①，得：， 即 ， 将  代入方程①，得：， 解得 ， ∴原方程组的解为 ； 【小问2详解】 解：， 由①得， 将方程②乘以5，得：， 得：，即， 解得 将代入方程②，得：，即， 解得 ∴原方程组的解为． 18. 如图，已知，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，根据两直线平行同位角相等得出，结合已知可得，即可证明，再根据两直线平行同位角相等，即可得证． 【详解】略 19. 如图，已知中，，．请用尺规作图法，在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图点D为所求． 【解析】 【分析】利用等边对等角及三角形内角和得到，故作即可得． 【详解】略 【点睛】本题考查等边对等角，尺规作垂直平分线，需要在一定构图特殊性下的尺规作图，需要分析题中条件，得到长度角度关系，再考虑基础尺规作图的方法进行构造即可． 20. 某学校为了提升八年级学生的数学思维，组织了数学思维挑战赛，老师随机抽取了25位同学的竞赛成绩，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将这些同学的成绩整理并绘制成统计图，如图所示： （1）请将统计图补充完整；所抽取的25位同学竞赛成绩的中位数为________分，平均数为________分． （2）该校八年级共有300位同学参与数学思维挑战赛，请你估计竞赛成绩不低于80分的学生人数． 【答案】（1） 则补全条形统计图如下： ， （2） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、平均数，中位数，样本估计总体； （1）先利用调查的总人数减去A，B，D等级的人数可得C等级的人数，再补全条形统计图即可，根据中位数，平均数的定义，即可求解； （2）根据样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：C等级的人数为（人）， 所抽取的25位同学竞赛成绩的中位数为分， 平均数为分， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：人， 答：估计竞赛成绩不低于80分的学生有人． 21. 图1中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是一种传统的木制凳子，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．小明和小知通过测量收集了这类板凳的数据，如图2，设凳面宽度为，凳面一端两个榫眼的内侧距离为，且与成一次函数关系，下表给出了其中的部分数据： （1）求与之间的关系式； （2）当板凳凳面一端两个榫眼的内侧距离刚好等于凳面宽度的时，求该板凳的凳面宽度． 【答案】（1）； （2）该板凳的凳面宽度为． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）先判断x与y之间的函数类型，再利用待定系数法求其函数关系式； （2）将代入，求出的值即可． 【小问1详解】 解：设x与y之间的函数关系式为， 将，和，分别代入， 得， 解得， 与y之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：将代入， 解得， 答：该板凳的凳面宽度为． 22. 如图，在中，，于点，为上一点，与交于点，且．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由等角对等边证出，根据全等三角形的判定定理，证明，根据全等三角形的性质及三角形内角和定理求出，进而推出． 【详解】略 23. 如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且平分． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵垂直平分， ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等． （1）根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质可得，结合已知可得，即可得证 （2）根据等腰三角形的性质可得，，勾股定理求得，进而根据，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，平分 ∴， 在中，， ∵ ∴ ∴ ∴的周长． 24. 某商场购进商品后，均加价后作为销售价．元旦当天商场开展优惠促销活动，甲商品打折出售，乙商品降价元出售．某顾客购买甲、乙两种商品各一件，共付款元．这两种商品的进价之和为元． （1）甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）元旦当天甲商品销售件，乙商品销售件，该天销售甲、乙两种商品的总利润为多少元？ 【答案】（1）甲商品的进价为元，乙商品的进价为元 （2）该天销售甲、乙两种商品的总利润为元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用； （1）设甲商品的进价为元，乙商品的进价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据（1）的结论，分别计算甲、乙的利润，即可求解． 【小问1详解】 解：设甲商品的进价为元，乙商品的进价为元，根据题意得， 解得： 答：甲商品的进价为元，乙商品的进价为元 【小问2详解】 ∵甲商品每件利润为销售价减进价：元 乙商品每件利润为销售价减进价：元 销售甲件，利润为元 销售乙件，利润为元 总利润为元 答：该天销售甲、乙两种商品的总利润为元 25. 如图，和分别为等边三角形，与交于点，若，连接，． （1）求证：； （2）若于点，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∵和分别为等边三角形， ∴ ∴ 即， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理． （1）根据得出，根据等边三角形的性质可得，即可得出，根据等角对等边，即可得证； （2）根据（1）的结论，结合已知可得垂直平分，根据等腰三角形的性质可得平分，进而证明是等腰直角三角形，则，根据含30度角的直角三角形的性质得出，设，则，，进而求得的值，得出，即可得，最后根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为等边三角形，则 又∵ ∴ ∴ ∵，， ∴垂直平分 ∴平分 ∴ 如图，过点作于点， ∴ ∴是等腰直角三角形，则， ∵，为等边三角形， ∴， ∵，则， 在中， ， 设，则， ∴ 解得： ∴ ∴ ∴ 26. （1）如图1，和均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，若，，则． （2）如图2，在中，，，点在上方，且，连接，若，，求的长． （3）如图3，在中，，，点在上方，，在上截取，连接，点在上，且，．若，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，； （1）证明，得出，根据为等边三角形，得出，即可得出结论； （2）过点作交于点，证明是等腰直角三角形，进而证明，得出，勾股定理，即可求解； （3）连接，设交于点，根据解析（2）的证明得出，，，证明为等腰直角三角形，得出，，，根据含度角的直角三角形的性质得出，勾股定理可得，进而求得，再根据三角形的面积公式，即可求解； 【详解】解：（1）∵和均为等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵为等边三角形， ∴ ∴， 故答案为：． （2）如图，过点作交于点， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ 在中，，， ∴； （3）如图，连接，设交于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴的面积为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $