专题09平行四边形寒假预习讲义（5）(知识点梳理+常考题型精讲精练+强化巩固)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题09平行四边形寒假预习讲义（5） · 理清平行四边形判定与性质的互逆关系，熟记 3 条判定定理，掌握文字、图形、符号三语言表达，能规范完成基础证明。 · 精准区分三角形中位线和中线，吃透中位线定理 “平行 + 倍半” 核心结论，会用定理解决长度、平行关系基础问题。 · 在复杂图形里快速锁定判定条件与中位线，挖掘隐含条件，搭建推理链条，提升几何识图能力。 · 打通两节课知识关联，学会用平行四边形判定推导三角形中位线定理，实现判定 + 中位线联动解题。 预习必备 知识点梳理 1.平行四边形的判定定理 2.三角形中位线 3.核心易错点 常考题型 精讲精炼 1.平行四边形判定证明 2.判断能否构成平行四边形 3.添条件使四边形为平行四边形 4.求平行四边形第四点个数 5.全等三角形拼平行四边形 6.平行四边形判断与性质求解 7.用性质判定平行四边形 8.平行四边形性质判定应用 9.三角形中位线求解问题 10.三角形中位线证明问题 11.三角形中位线实际应用 强化巩固 (解答题6题) 【知识点01.平行四边形的判定定理】 一.平行四边形判定核心定理（5 个常用判定） 1.定义法 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 几何语言：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形。 2.判定定理 1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言：∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形。 3.判定定理 2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 几何语言：∵AB∥CD且AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形。 4.判定定理 3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形。 4.判定定理 4 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 几何语言：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形。 二.判定易错提醒. 1.仅一组对边平行，另一组对边相等的四边形，可能是等腰梯形，不一定是平行四边形。 2.判定时优先选条件直接、证明简洁的定理，优先用一组对边平行且相等、对角线互相平分。 三、判定与性质的关系 平行四边形的性质和判定互为逆命题： 性质：平行四边形→对边平行 / 相等、对角相等、对角线平分 判定：满足对边 / 对角 / 对角线对应条件→推出平行四边形 【知识点02.三角形的中位线】 一、核心概念 三角形中位线：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 一个三角形有3 条中位线。 区分：中位线是中点连线；中线是顶点与对边中点的连线。 二、三角形中位线定理 定理内容：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC中，∵M、N分别是AB、AC中点，∴MN∥BC，MN=BC。 【知识点03.核心易错点】 一、平行四边形判定易错点 1.伪判定条件（高频错）:一组对边平行＋另一组对边相等，不能判定平行四边形，该图形可能是等腰梯形。 2.对角 / 邻角混淆:仅一组对角相等、或邻角互补，无法判定平行四边形，必须是两组对角分别相等。 3.对角线条件误用:只有一条对角线被平分，不成立；必须是对角线互相平分。 4.对边条件漏项:只一组对边相等 / 只一组对边平行，均不能单独判定，需满足定理完整条件。 5.判定与性质混用:证明时把平行四边形性质当已知条件，未先完成判定就直接使用对边平行 / 相等。 二、三角形中位线易错点 1.中位线与中线混淆:中位线：两边中点连线；中线：顶点与对边中点连线，概念与图形特征完全不同。 2.定理结论漏写:只写 “等于第三边一半”，漏写平行于第三边，或只写平行漏写长度关系。 3.中点前提缺失:非中点连线直接套用中位线定理，必须两点均为对应边中点才可使用。 4.中点四边形结论错用:顺次连四边形各边中点必为平行四边形；原四边形对角线相等→中点四边形菱形；对角线垂直→中点四边形矩形；不可直接由普通四边形推出菱形 / 矩形。 5.倍分关系搞反:误将第三边当作中位线的一半，正确为：中位线＝第三边。 【题型1.平行四边形判定证明】 【典例】如图，在四边形中，、相交于点O．若，则四边形是 ，理由是 ． 【跟踪专练1】下列命题中，假命题是（   ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．两组对角相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【跟踪专练2】如图，分别以的直角边，斜边为边向外作等边和，F为的中点，连接，，，． （1）判断四边形的形状为 ； （2） ． 【题型2.判断能否构成平行四边形】 【典例】嘉淇不慎将一块平行四边形的教学模具打碎成如图的四块，为配到一块与原来相同的平行四边形模具，则她需要带的两块碎片的编号是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【跟踪专练1】顺次连接平面上，，，四点得到一个四边形，从①，②，③，④，⑤，⑥六个条件中选取其中两个，在①②、③④、①③、⑤⑥、③⑥组合中不能得出“四边形是平行四边形”这一结论的是 （填序号）． 【跟踪专练2】如图，在中，点H、F分别是边上的点，连接，点P是右侧一点，连接与交于点D，且，，如果，那么的面积与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【题型3.添条件使四边形为平行四边形】 【典例】如图，木棒平行于木棒，当木棒 木棒时，木棒围城的四边形是平行四边形．    【跟踪专练1】在四边形中，与相交于点，且，再添加下面一个条件，不能判断该四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．如果点同时出发，设运动时间为，则当 时，以为顶点的四边形是平行四边形． 【题型4.求平行四边形第四点个数】 【典例】以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作 个不同的平行四边形． 【跟踪专练1】已知以A，B，C，D四个点为顶点的平行四边形中，顶点A，B，C的坐标分别为，则顶点D的坐标为 ． 【跟踪专练2】以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【题型5.全等三角形拼平行四边形】 【典例】用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练1】如图，把一个等腰直角△ABC纸片沿斜边上的高CD（裁剪线）剪一刀，再把剪得的三角形纸片与剩下的部分重新拼接，能拼成的特殊四边形是 ． 【跟踪专练2】如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 【题型6.平行四边形判定与性质求解】 【典例】在中，，则 ． 【跟踪专练1】下列命题的逆命题成立的是（ ） A．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 B．对顶角相等 C．平行四边形对角线互相平分 D．若，则 【跟踪专练2】如图，将直角沿边的方向平移到的位置，点、、的对应点分别为点、、，连接，若，，则的长为 ． 【题型7.用性质判定平行四边形】 【典例】如图，四边形的对角线，相交于点O，，且，则添加下列一个条件能判定四边形是菱形的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列命题①如果两个实数相等，那么它们的平方相等；②如果三角形的三条边长分别为a，b，最长边为c，若有，那么这个三角形是直角三角形；③平行四边形的对角线互相平分．其中逆命题是真命题的是 （填写所有正确结论的序号）． 【跟踪专练2】如图，在中，，点D在上，过点D、A分别作、的平行线交于点E，连接，设，，当为定值时，无论m、n的值如何变化，下列代数式的值不变的是（     ） A．mn B． C． D． 【题型8.平行四边形性质判定应用】 【典例】如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连结AB、AD、CD．则四边形ABCD是平行四边形，其依据是 ． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，互不重合的四个点，直线与x轴交于E点，直线与x轴交于F点，折线段E→D→F的长度记为，E→A→B→F的长度记为，E→A→C→B→F的长度记为，对于的大小关系，下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知，，，若，，则的度数可表示为 ．    【题型9.三角形中位线求解问题】 【典例】如图，在中，，分别是边，的中点，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点，连接，若，则的长为 ． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，点D为上的动点，点E，F分别为，的中点，则最小值为（　　） A． B． C． D． 【题型10.三角形中位线证明问题】 【典例】顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是 ． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，E，F分别是的中点，G，H分别是的中点，，则的大小是(　　) A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，对“三角形中位线定理” 进行拓展思考，可以提出以下三个命题： ①若，则． ②若，则是的中位线． ③若，则． 以上命题是假命题有 (填序号) 【题型11.三角形中位线实际应用】 【典例】如图，在一次数学实践活动中，同学们为估测被花坛隔开的，两处之间的距离，先在外取一点，然后步测出，的中点，，并步测出的长约为，由此估测，之间的距离约为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】杨伯伯家小院子的四棵小树、、、刚好在其梯形院子各边的中点上，若在四边形地上种小草，则这块草地的形状是 ．    【跟踪专练2】2024年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 1．如图，在中，O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH．求证：四边形EGFH是平行四边形． 2．如下图，四边形的对角线，交于点，延长到点，连接．已知，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，的面积为8，求的面积． 3．如图，中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作点D，使得四边形为平行四边形；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，求对角线的长． 4．如图，在中，，，，N是BC边上一点，M为AB边上的动点，D，E分别为CN，MN的中点．求DE的最小值． 5．如图，以的边，分别向外作等腰三角形和等腰三角形，使其顶角．取，，的中点，，，连接，．求证：． 6．如图，在中，，，点D为的中点，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，过点F作，交直线与点H，请问与的数量关系是怎样的？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09平行四边形寒假预习讲义（5） · 理清平行四边形判定与性质的互逆关系，熟记 3 条判定定理，掌握文字、图形、符号三语言表达，能规范完成基础证明。 · 精准区分三角形中位线和中线，吃透中位线定理 “平行 + 倍半” 核心结论，会用定理解决长度、平行关系基础问题。 · 在复杂图形里快速锁定判定条件与中位线，挖掘隐含条件，搭建推理链条，提升几何识图能力。 · 打通两节课知识关联，学会用平行四边形判定推导三角形中位线定理，实现判定 + 中位线联动解题。 预习必备 知识点梳理 1.平行四边形的判定定理 2.三角形中位线 3.核心易错点 常考题型 精讲精炼 1.平行四边形判定证明 2.判断能否构成平行四边形 3.添条件使四边形为平行四边形 4.求平行四边形第四点个数 5.全等三角形拼平行四边形 6.平行四边形判断与性质求解 7.用性质判定平行四边形 8.平行四边形性质判定应用 9.三角形中位线求解问题 10.三角形中位线证明问题 11.三角形中位线实际应用 强化巩固 (解答题6题) 【知识点01.平行四边形的判定定理】 一.平行四边形判定核心定理（5 个常用判定） 1.定义法 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 几何语言：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形。 2.判定定理 1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言：∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形。 3.判定定理 2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 几何语言：∵AB∥CD且AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形。 4.判定定理 3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形。 4.判定定理 4 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 几何语言：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形。 二.判定易错提醒. 1.仅一组对边平行，另一组对边相等的四边形，可能是等腰梯形，不一定是平行四边形。 2.判定时优先选条件直接、证明简洁的定理，优先用一组对边平行且相等、对角线互相平分。 三、判定与性质的关系 平行四边形的性质和判定互为逆命题： 性质：平行四边形→对边平行 / 相等、对角相等、对角线平分 判定：满足对边 / 对角 / 对角线对应条件→推出平行四边形 【知识点02.三角形的中位线】 一、核心概念 三角形中位线：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 一个三角形有3 条中位线。 区分：中位线是中点连线；中线是顶点与对边中点的连线。 二、三角形中位线定理 定理内容：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC中，∵M、N分别是AB、AC中点，∴MN∥BC，MN=BC。 【知识点03.核心易错点】 一、平行四边形判定易错点 1.伪判定条件（高频错）:一组对边平行＋另一组对边相等，不能判定平行四边形，该图形可能是等腰梯形。 2.对角 / 邻角混淆:仅一组对角相等、或邻角互补，无法判定平行四边形，必须是两组对角分别相等。 3.对角线条件误用:只有一条对角线被平分，不成立；必须是对角线互相平分。 4.对边条件漏项:只一组对边相等 / 只一组对边平行，均不能单独判定，需满足定理完整条件。 5.判定与性质混用:证明时把平行四边形性质当已知条件，未先完成判定就直接使用对边平行 / 相等。 二、三角形中位线易错点 1.中位线与中线混淆:中位线：两边中点连线；中线：顶点与对边中点连线，概念与图形特征完全不同。 2.定理结论漏写:只写 “等于第三边一半”，漏写平行于第三边，或只写平行漏写长度关系。 3.中点前提缺失:非中点连线直接套用中位线定理，必须两点均为对应边中点才可使用。 4.中点四边形结论错用:顺次连四边形各边中点必为平行四边形；原四边形对角线相等→中点四边形菱形；对角线垂直→中点四边形矩形；不可直接由普通四边形推出菱形 / 矩形。 5.倍分关系搞反:误将第三边当作中位线的一半，正确为：中位线＝第三边。 【题型1.平行四边形判定证明】 【典例】如图，在四边形中，、相交于点O．若，则四边形是 ，理由是 ． 【答案】 平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，特别是对角线互相平分的四边形是平行四边形这一性质．通过给定的条件，判断四边形是平行四边形． 【详解】解：， 四边形是平行四边形，理由是：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 故答案为∶平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【跟踪专练1】下列命题中，假命题是（   ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．两组对角相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查了命题的真假，平行四边形的判定，根据错误的命题是假命题，正确的命题是真命题，以及平行四边形的判定方法进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，是真命题，故该选项不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形或者是等腰梯形，原说法是假命题，故该选项符合题意； C、两组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，故该选项不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，故该选项不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】如图，分别以的直角边，斜边为边向外作等边和，F为的中点，连接，，，． （1）判断四边形的形状为 ； （2） ． 【答案】 平行四边形 【分析】此题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定及性质，含直角三角形的性质等知识． （1）由已知条件可得出，含直角三角形的性质得出，由等边三角形的性质得出，即可得出， ，再得出，，即可得出四边形的形状为平行四边形， （2）设，则，分别求出对应三角形的面积以及四边形的面积即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， （2）设，则， ∴， ∴， 故答案为：平行四边形，． 【题型2.判断能否构成平行四边形】 【典例】嘉淇不慎将一块平行四边形的教学模具打碎成如图的四块，为配到一块与原来相同的平行四边形模具，则她需要带的两块碎片的编号是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定， 根据平行四边形的定义确定四个顶点即可． 【详解】解：因为只有②④两块角的两边互相平行，角的两边得延长线的交点就是平行四边形的顶点， 所以带②④两块玻璃就可以确定平行四边形的大小． 故选：D． 【跟踪专练1】顺次连接平面上，，，四点得到一个四边形，从①，②，③，④，⑤，⑥六个条件中选取其中两个，在①②、③④、①③、⑤⑥、③⑥组合中不能得出“四边形是平行四边形”这一结论的是 （填序号）． 【答案】③⑥/⑥③ 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟悉平行四边形的判定是解题的关键；根据平行四边形的判定逐一进行判断即可． 【详解】解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形知，①②组合可判定四边形是平行四边形； 由两组对边分别相等的四边形是平行四边形知，③④组合可判定四边形是平行四边形； 由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形知，①③组合可判定四边形是平行四边形； 由两组对角相等的四边形是平行四边形知，⑤⑥组合可判定四边形是平行四边形； 一组对边相等，一组对角相等的四边形不能判定为平行四边形，即③⑥组合不能得出四边形是平行四边形； 故答案为：③⑥． 【跟踪专练2】如图，在中，点H、F分别是边上的点，连接，点P是右侧一点，连接与交于点D，且，，如果，那么的面积与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行线间的距离处处相等，高相等底边之比等于面积之比. 由于，；可得四边形是平行四边形，可推出，可得，最后可求解得出结果. 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴（同底等高） ∵ ∴ ∴；即 ∴ 故选：A. 【题型3.添条件使四边形为平行四边形】 【典例】如图，木棒平行于木棒，当木棒 木棒时，木棒围城的四边形是平行四边形．    【答案】平行 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求解，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形， ∴当木棒平行木棒时，木棒围城的四边形是平行四边形， 故答案为：平行． 【跟踪专练1】在四边形中，与相交于点，且，再添加下面一个条件，不能判断该四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，对于B和C选项，先分别证明和，得出，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形， 故A选项不符合题意； B、∵，，， ∴， 则， ∴四边形是平行四边形，故B选项不符合题意； C、∵，，， ∴， 则， ∴四边形是平行四边形，故C选项不符合题意； D、∵，， ∴不能证明四边形是平行四边形， 故D选项不符合题意； 故选：D 【跟踪专练2】如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．如果点同时出发，设运动时间为，则当 时，以为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的判定、一元一次方程的应用，分两种情况：当点在的右侧时；当点在的左侧时；由当时，四边形是平行四边形，建立一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：当点在的右侧时， 由题意得：，，则， ， 当时，四边形是平行四边形，即， 解得：； 当点在的左侧时， 由题意得：，，则， ， 当时，四边形是平行四边形，即， 解得：； 综上所述，当或时，以为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：或． 【题型4.求平行四边形第四点个数】 【典例】以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作 个不同的平行四边形． 【答案】3 【分析】连接三点，分别以三边作为平行四边形的对角线，作图即可得3个平行四边形． 【详解】解：如图， 以点，，能做三个平行四边形：，，． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 【跟踪专练1】已知以A，B，C，D四个点为顶点的平行四边形中，顶点A，B，C的坐标分别为，则顶点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】分别在平面直角坐标系中确定出A、B、C的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定D的位置． 【详解】解：由图可知，满足条件的点D坐标为 故答案为： 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 【跟踪专练2】以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据题意画出图形，然后分为边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的判定和平移的性质即可解答． 【详解】解：如图：当为对角线时，点的坐标为，即； 当为边时，点的坐标为，即；点的坐标为，即． 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、平移的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 【题型5.全等三角形拼平行四边形】 【典例】用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．以三角尺的三边为对角线，分别拼成不同的平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有3个． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，把一个等腰直角△ABC纸片沿斜边上的高CD（裁剪线）剪一刀，再把剪得的三角形纸片与剩下的部分重新拼接，能拼成的特殊四边形是 ． 【答案】平行四边形或正方形/正方形或平行四边形 【分析】先根据等腰三角形的性质可得,,进而可得，再根据题意拼接成四边形，进而证明四边形是正方形或者平行四边形即可 【详解】根据题意，是等腰三角形 , ， 又 ①如图，若拼成如下图形，则 四边形是菱形， 又 四边形是正方形 ②如图， 四边形是平行四边 故答案为：平行四边形或正方形 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形和平行四边形的判定，掌握特殊四边形的判定是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法逐个分析即可． 【详解】A．加上，可证得时间△ABC和△CDA全等，可得AB=CD，可得四边形是平行四边形； B．加上，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形； C．加上，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形； D．加上，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形． 故选：C 【点睛】考核知识点：平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法是关键． 【题型6.平行四边形判定与性质求解】 【典例】在中，，则 ． 【答案】/50度 【分析】根据平行四边形的基本性质可知，平行四边形的邻角互补，由已知可得，进而可求的度数． 【详解】解：在平行四边形中， ， ， ， ， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质．掌握平行四边形的相邻内角互为补角，相对内角相等是解答本题的关键． 【跟踪专练1】下列命题的逆命题成立的是（ ） A．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 B．对顶角相等 C．平行四边形对角线互相平分 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：A、如果两个数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题为：绝对值相等的两个数相等，不成立，不符合题意； B、对顶角相等的逆命题为相等的角是对顶角，不成立，不符合题意； C、平行四边形对角线互相平分的逆命题为对角线互相平分的四边形是平行四边形，成立，符合题意； D、若，则的逆命题为若，则，不成立，不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，将直角沿边的方向平移到的位置，点、、的对应点分别为点、、，连接，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查平移的性质，线段的和与差，平行四边形的判定和性质． 由平移的性质，结合线段的和与差，可得，由平移的性质可得四边形为平行四边形，即可得的长． 【详解】解：由平移可得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由平移可得，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：． 【题型7.用性质判定平行四边形】 【典例】如图，四边形的对角线，相交于点O，，且，则添加下列一个条件能判定四边形是菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形是矩形；故选项A不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故选项B符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形；故选项C不符合题意； 当时，不能判定四边形为菱形；故选项D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 【跟踪专练1】下列命题①如果两个实数相等，那么它们的平方相等；②如果三角形的三条边长分别为a，b，最长边为c，若有，那么这个三角形是直角三角形；③平行四边形的对角线互相平分．其中逆命题是真命题的是 （填写所有正确结论的序号）． 【答案】②③ 【分析】本题主要考查了判断一个命题的逆命题真假，熟练掌握勾股定理的逆定理，平行四边形的判定，实数的性质是解题的关键． 先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可． 【详解】解：①原命题的逆命题为：如果两个实数的平方相等，那么这两个数相等，是假命题，不符合题意； ②原命题的逆命题为：如果三角形的三边满足，那么这个三角形是直角三角形，是真命题，符合题意； ③原命题的逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意； 故答案为：②③ 【跟踪专练2】如图，在中，，点D在上，过点D、A分别作、的平行线交于点E，连接，设，，当为定值时，无论m、n的值如何变化，下列代数式的值不变的是（     ） A．mn B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行四边形判定和性质，勾股定理，关键是判定四边形是平行四边形，推出，由勾股定理得到． 过A作于H，由等腰三角形的性质推出，判定四边形AEDC是平行四边形，推出，由勾股定理得到定值． 【详解】解：过A作于H， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 设，， ，， 定值， 故选：B 【题型8.平行四边形性质判定应用】 【典例】如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连结AB、AD、CD．则四边形ABCD是平行四边形，其依据是 ． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【分析】(1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． (3)定理2∶两组对边分别相等的四边形是平行四边形． (4）定理3∶对角线互相平分的四边形是平行四边形． (5)定理4∶一组对边平行且相等的四边形是． 【详解】两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查的是平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，互不重合的四个点，直线与x轴交于E点，直线与x轴交于F点，折线段E→D→F的长度记为，E→A→B→F的长度记为，E→A→C→B→F的长度记为，对于的大小关系，下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及平行四边形的判定与性质，根据题意得出、四边形是平行四边形是解题关键． 【详解】解：由题意得： ∵ ∴ ∵； ∴且 ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ 故选：C 【跟踪专练2】如图，已知，，，若，，则的度数可表示为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的性质是解题的关键，根据题意易得四边形为平行四边形，进而易得，利用等量代换即可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【题型9.三角形中位线求解问题】 【典例】如图，在中，，分别是边，的中点，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”是解题的关键． 根据三角形中位线的判定，确定是的中位线，再利用中位线定理求的长度． 【详解】解：∵，分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线定理，掌握“连接三角形两边中点的线段是中位线”的判定方法是解题关键． 先根据平行四边形的性质求出，再由中位线的判定与性质得出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴． 故答案为：3． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，点D为上的动点，点E，F分别为，的中点，则最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理及三角形中位线，熟练掌握勾股定理及三角形中位线是解题的关键；连接，由题意易得，是的中位线，则有，然后可知当时，最小，进而根据等积法可进行求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，， ∴， ∵点E，F分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，的值最小， ∴当时，最小， 此时，， 即， ∴， ∴， 故选：C． 【题型10.三角形中位线证明问题】 【典例】顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是 ． 【答案】平行四边形 【分析】根据中点四边形的性质判断即可； 【详解】解：如图所示， 四边形ABCD，E，F，G，H是四边形的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形EFGH是平行四边形； 故答案为：平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与三角形中位线定理，准确判断是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，E，F分别是的中点，G，H分别是的中点，，则的大小是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点，由题意得分别是的中位线，推出，，，；进而得四边形是平行四边形，；根据推出，即可求解； 【详解】解：由题意得：分别是的中位线， ∴，，，； ∴，，； ∴四边形是平行四边形，； ∵ ∴， ∴， 故选：C 【跟踪专练2】如图，对“三角形中位线定理” 进行拓展思考，可以提出以下三个命题： ①若，则． ②若，则是的中位线． ③若，则． 以上命题是假命题有 (填序号) 【答案】③ 【分析】本题考查了命题与定理以及三角形中位线定理，掌握平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． ①是真命题，过点作交边于点，连接，证明四边形是平行四边形得，，再证明四边形是平行四边形得，，然后证明四边形是平行四边形可证结论成立； ②是真命题，作交的延长线于点，证明四边形是平行四边形得，．再证明得，，进而可证结论成立； ③是假命题，画出图形说明即可． 【详解】解：命题①是真命题，理由： 证明：过点作交边于点，连接， 又， 四边形是平行四边形， ，， ∵， ， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ，， ， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， 命题②是真命题，理由： 证明：如图，作交的延长线于点， ∵， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ，． ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ，， ∴ 是的中位线． ③是假命题，如图，满足，但．故③是假命题． 故答案为：③． 【题型11.三角形中位线实际应用】 【典例】如图，在一次数学实践活动中，同学们为估测被花坛隔开的，两处之间的距离，先在外取一点，然后步测出，的中点，，并步测出的长约为，由此估测，之间的距离约为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟记三角形的中位线定理是解题的关键． 根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵点，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：C ． 【跟踪专练1】杨伯伯家小院子的四棵小树、、、刚好在其梯形院子各边的中点上，若在四边形地上种小草，则这块草地的形状是 ．    【答案】平行四边形 【分析】根据中位线定理可知，四边形EFGH的对边平行且相等，所以四边形EFGH是平行四边形． 【详解】解：连接AC，BD． 利用三角形的中位线定理可得EH∥FG，EH=FG． ∴这块草地的形状是平行四边形． 故答案为：平行四边形．    【点睛】本题考查的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，注意结合实际． 【跟踪专练2】2024年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：在和中， ， ， 米， 点分别为，的中点， 是的中位线， 米， 故选：D． 1．如图，在中，O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH．求证：四边形EGFH是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． 根据平行四边形的性质证明，根据全等三角形的对应边相等得到，同理可证得，得到，最后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可解决问题． 【详解】证明：四边形是平行四边形，是对角线的中点， ，， ． 在和中， ， ． 同理可证得， ， 四边形是平行四边形． 2．如下图，四边形的对角线，交于点，延长到点，连接．已知，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，的面积为8，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）先根据两直线平行，内错角相等得到，然后通过证明，根据全等三角形的性质得到，最后根据对角线互相平分的四边形为平行四边形； （2）过点作于点，根据三角形的面积，平行四边形的面积可得到，最后根据平行四边形的性质求出的面积． 【详解】（1）证明：， ． 在和中， ， ． 又， 四边形是平行四边形． （2）解：如图，过点作于点， ，． ， ． 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及三角形和平行四边形面积公式，掌握以上知识点是解题的关键． 3．如图，中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作点D，使得四边形为平行四边形；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，求对角线的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定和性质，以及勾股定理，熟练掌握常规的尺规作图方法是解题的关键． （1）根据两组边分别相等的四边形为平行四边形，以A为圆心，为半径画弧，以C为圆心，为半径画弧，即可求解； （2）根据平行四边形的性质及勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图，以A为圆心，为半径画弧，以C为圆心，为半径画弧，两弧交于点D．连接， 则， ∴四边形为平行四边形， ∴点D即为所作图形． （2）如图，连接BD，与对角线AC交于点O， 四边形是平行四边形， ，， 又， 则在中，， ， ． 4．如图，在中，，，，N是BC边上一点，M为AB边上的动点，D，E分别为CN，MN的中点．求DE的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，三角形的中位线和勾股定理等知识点，熟练掌握垂线段最短和三角形的中位线性质是解此题的关键． 连接，当时，的值最小（垂线段最短），此时有最小值，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据三角形的中位线得出即可． 【详解】解：如图，连接． ，分别为，的中点， ． 当时，的值最小（垂线段最短），此时有最小值． ，，， ． ， ， ． 故的最小值是． 5．如图，以的边，分别向外作等腰三角形和等腰三角形，使其顶角．取，，的中点，，，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形的中位线和三角形全等的判定，熟练掌握相关内容是解题的关键； 连接得到等腰三角形可推导出角相等，根据SAS判定得到线段相等，再根据中位线得到线段长度关系推导出． 【详解】证明：连接和，如图． 和都为等腰三角形，且其顶角， ，，， ， ． ，分别是，的中点， 是的中位线， ． 同理可得， ． 6．如图，在中，，，点D为的中点，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，过点F作，交直线与点H，请问与的数量关系是怎样的？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．延长交于点G，易得，再说明为的中位线可得，进而得到与都是等腰直角三角形，然后再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】解：与的数量关系是：．理由如下： 如图：延长交于点G， 由题意，知，， ∴， 又∵点D为的中点， ∴点G为的中点，且， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵，， ∴， ， ∴． ∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $