精品解析：江苏省连云港市2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试题

2025～2026学年第一学期期末考试 高二数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用并集的定义直接求解. 【详解】集合，，所以. 故选：B 2. 已知，，且与的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算法则计算出答案. 【详解】. 故选：B 3. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均变化率公式，结合已知条件求解． 【详解】函数在区间上的平均变化率为：， 已知，对应区间为， ，故C正确． 故选：C． 4. 过点且与直线平行的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用平行关系设出直线方程，再代入点，即可写出直线方程. 【详解】因为直线与平行，设直线方程为. 因为直线经过，代入解得.所以直线方程为. 故选：A 5. 设为实数，若椭圆与双曲线有相同的焦点，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】椭圆和双曲线有相同焦点，说明半焦距相等，然后分别求出椭圆与双曲线的半焦距，然后根据相等列出方程，从而求解出. 【详解】对于椭圆，因为与双曲线有相同的焦点，且双曲线的焦点在x轴上， 所以椭圆的焦点在轴上.所以，所以，即. 对于双曲线，所以，所以，即. 又，即，化简得，解得或（舍）. 故选：A 6. 若函数的图象在点处的切线方程是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的几何意义可得的值，将点的坐标代入切线方程可得，即可得解. 【详解】由导数的几何意义可得，将点的坐标代入切线方程可得， 因此，. 故选：C. 7. 双曲线的右焦点为，左、右顶点为，，，为虚轴的上、下端点，若点关于点的对称点在直线上，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知有、，进而得到关于双曲线参数的齐次方程，即可得. 【详解】由题设，则， 所以，由题意且在直线上， 所以，整理得. 故选：D 8. 已知数列的前项和为，，.若，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列，则数列的前37项和（ ） A. 1460 B. 1464 C. 1468 D. 1486 【答案】A 【解析】 【分析】根据，利用累乘法先求出前项和，再求出数列的通项公式，再根据写出数列的通项公式；结合新的数列与数列的关系，确定数列的前37项，再进行计算. 【详解】因为，则， 由于，，， 将上述多个式子相乘得：， 由于，则， 当时，， 当时，， 由于适用于上式，则； 由于，则， 由于在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列， 又因为 则数列的前37项和， ， . 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本函数和复合函数的求导法则求解. 【详解】A选项，将化为，其导数为，故A选项正确； B选项，，而不是，故B选项错误； C选项，，又因为，所以，故C选项正确； D选项，，故D选项正确. 故选：ACD. 10. 若动点到轴的距离比到点的距离小1，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题干信息，写出点到轴的距离和两点间的距离，化简求得轨迹方程； 【详解】由于到轴的距离比到点的距离小1，则， 当时，，化简得； 当时，，化简得； 故选：AC. 11. 已知数列满足，，且，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 数列是等差数列 D. 数列中落入区间内的项数的个数为，数列的前项和为，若，则的最小值为3 【答案】BC 【解析】 【分析】由取求判断A，由取，，结合同角关系可得，判断B，由条件可得，结合同角关系可得，由此判断C，区间共有个整数，因此得到表达式，进而得到表达式，解不等式即可得到最小值． 【详解】对于A，因为，， 所以，A错误， 因为，所以，， 故， 所以，B正确， 因为， 所以，又， 即是以为首项，以1为公差的等差数列，C正确， 所以，， 令，则，. 所以， ，. 令，即， 因为，所以随着m的增大而增大， 又，所以的最小值为，D错误， 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数除法法则计算出答案. 【详解】. 故答案为： 13. 已知两条直线和相交于点，则过两点，的直线的方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】结合直线方程的定义及两点确定一条直线可得所求直线方程. 【详解】因为直线，均过点， 所以. 所以，都在直线上. 所以过，两点的直线方程为：. 故答案为： 14. 已知，，且恒成立，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最值，最后根据最值求出的最大值. 【详解】令，因为恒成立， 所以恒成立， 对求导得：， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 当时，，不满足； 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以， 即； 则， 令， 则， 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以， 即的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，已知，为边上一点，，，. （1）求； （2）求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解即得. （2）由（1）的结论，利用正弦定理求解即可. 【小问1详解】 在中，由余弦定理，得， 而，则，所以. 【小问2详解】 在中，由正弦定理，得， 所以. 16. 设为实数，若直线与圆相交于，两点，弦的中点为． （1）求m的取值范围； （2）求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把圆化为标准形式，利用半径大于0及点与圆的位置关系构造不等式求的取值范围； （2）利用弦的中点的几何性质得出垂直关系求出直线斜率，进而求出直线方程． 【小问1详解】 圆的标准方程为， ，解得， 又点在圆内，即，解得， 的取值范围为． 【小问2详解】 圆心为与点为中点， ， 设直线的斜率为，则，解得， 直线的方程为，即． 17. 设是等差数列的前项和，. （1）证明：数列是等差数列； （2）当，时，求和：. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义，求出为定值即可； （2）由，列方程组求解后可得到的通项公式，利用裂项求和法求和即可. 【小问1详解】 是等差数列，设首项为，公差为，则. 又， . （常数）， 是首项为，公差为的等差数列. 【小问2详解】 ，， ，解得， 由（1）可知， ， . 18. 已知椭圆的焦距为，且过点. （1）求的方程； （2）直线交于A，B两点，若直线不过原点，且直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列. （ⅰ）求直线的斜率； （ⅱ）为的左顶点，当D，O位于直线的异侧时，求四边形面积的取值范围. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）由焦距、所过的点，应用待定系数法求椭圆参数，即可得方程； （2）（i）设直线方程为，，，联立椭圆方程，应用韦达定理、等比中项的性质列方程求参数，即可得；（ii）由（i）及判别式，结合题意分析得，再由得到关于的方程，即可求范围. 【小问1详解】 因为焦距为且过点， 所以，得，， 所以的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意知直线的斜率存在， 设直线方程为，，， 联立，得， ， ，， 因为直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列， 所以 ， 所以，得，又，所以直线的斜率为； （ⅱ）由（ⅰ）知，，得， 又D，O位于直线的异侧，结合为直线在轴上的截距， 所以时，；时，， 又直线OA，AB，OB的斜率存在，所以，即， 所以 ， 所以，则， 所以的取值范围为. 19. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若不等式对一切正数恒成立，求的取值范围； （3）若，函数，证明：当时，. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导讨论函数单调性即可.（2）根据函数恒成立，求解即可.（3）构造函数求导证明即可. 【小问1详解】 由题可得， 当时，，则在R上单调递增 当时，，得， 在时，，则单调递减， 在时，，则单调递增， 所以当时，在上单调递增， 当时，的单调递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 因为在上恒成立，所以，即， 令，所以， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以当时取到最小值，所以，所以的取值范围为. 【小问3详解】 由题意知， 则，所以在上单调递增， 所以，， 故存在，使得，即， 所以当时，，当时， 又，所以， ， 结合函数的单调性与端点值，可知，函数在区间内的上界为2，故. 综上：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第一学期期末考试 高二数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，且与的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 过点且与直线平行的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 设为实数，若椭圆与双曲线有相同的焦点，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 6. 若函数的图象在点处的切线方程是，则（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线的右焦点为，左、右顶点为，，，为虚轴的上、下端点，若点关于点的对称点在直线上，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 已知数列的前项和为，，.若，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列，则数列的前37项和（ ） A. 1460 B. 1464 C. 1468 D. 1486 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若动点到轴的距离比到点的距离小1，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列满足，，且，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 数列是等差数列 D. 数列中落入区间内的项数的个数为，数列的前项和为，若，则的最小值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：________. 13. 已知两条直线和相交于点，则过两点，的直线的方程为________. 14. 已知，，且恒成立，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，已知，为边上一点，，，. （1）求； （2）求. 16. 设为实数，若直线与圆相交于，两点，弦的中点为． （1）求m的取值范围； （2）求直线的方程． 17. 设是等差数列的前项和，. （1）证明：数列是等差数列； （2）当，时，求和：. 18. 已知椭圆的焦距为，且过点. （1）求的方程； （2）直线交于A，B两点，若直线不过原点，且直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列. （ⅰ）求直线的斜率； （ⅱ）为的左顶点，当D，O位于直线的异侧时，求四边形面积的取值范围. 19. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若不等式对一切正数恒成立，求的取值范围； （3）若，函数，证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $