专题 1.4 平行线的判定（知识梳理 + 题型精析 +中考模拟真题）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.4 平行线的判定（知识梳理 + 题型精析 +中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】平行线的判定方法一 1 ★【题型 1】利用“同位角相等，两直线平行”求值证明 2 【知识点二】平行线的判定方法二 5 ★【题型 2】利用“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”求值证明 6 【知识点三】平行线的判定方法三 9 ★【题型 3】利用“内错角相等，两直线平行”求值证明 9 【知识点四】平行线的判定方法四 11 ★【题型 4】利用“同旁内角互补，两直线平行”求值证明 11 ★★【题型 5】利用平行线的判定综合求值 14 ★★【题型 6】利用平行线的判定综合证明 16 ★★【题型 7】利用平行线的判定综合求值证明 19 二.中考真题 24 （一）单选题（6题） 24 （二）填空题（6题） 27 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】平行线的判定方法一 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简单地说，同位角相等，两直线平行。 如图一：，则 图一 ★【题型 1】利用“同位角相等，两直线平行”求值证明 【例题1】（根据浙教版七下20页作业题第2题改编）（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，，与互为补角．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了补角的性质：同角的补角相等，平行线的判定等知识；熟悉这些知识是关键；由题意得，再由平行线的判定即可证明． 证明：∵，与互为补角， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，已知直线，以及直线外一点．利用尺规作图按下列步骤操作如下： ①在直线上取一点，经过点和点，作直线； ②作，并使得与是一对同位角； ③反向延长射线，得到直线． 根据以上作法，下列结论错误的为（   ） A． B．的理论依据是同位角相等，两直线平行 C．若，则 D． 【答案】C 【分析】本题考查了作平行线，平行线的判定，掌握平行线的判定是解答本题的关键．根据平行线的判定即可判断，，根据可判断，根据等角的补角相等可判断． 解：， ， 故不符合题意； 的理论依据是同位角相等，两直线平行， 故不符合题意； ， ， ， 故符合题意； ， ， ， 故不符合题意， 故选：． 【变式2】（25-26七年级上·全国·单元测试）张老师在黑板上留了一道作业题：“如图，直线被直线所截，其中，请你再添加一个条件，使，并注明判定依据．”三人所做答案如下： 甲：添加，依据：同旁内角相等，两直线平行； 乙：添加，依据：同位角相等，两直线平行； 丙：添加，依据：内错角相等，两直线平行； 对三位同学的答案判断正确的是 ． 【答案】乙、丙 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 根据平行线的判定定理进行判断即可． 解：， 若添加，则，即同旁内角不互补，所以不能判断，则甲的答案错误； 若添加，则，根据同位角相等，两直线平行，可得，则乙的答案正确； 若添加，则，根据内错角相等，两直线平行，可得，则丙的答案正确． 故答案为：乙、丙 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线c所截．若，则．请在下面说理过程中的括号里填写说理依据． 方法一：（   ）， 而（   ）， （   ）． （   ）． 方法二：（   ）， 而（   ）， （   ）． 又（   ）． （   ）． （   ）． 方法三：（   ）， 而，（   ） （   ）． （   ）． 【答案】方法一：已知；平角定义；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行；方法二：已知；平角定义；同角的补角相等；对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；方法三：已知；对顶角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，属于推理填空题，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．根据平行线的判定定理进行推理论证． 解：方法一：（已知）， 而（平角定义）， （同角的补角相等）． （同位角相等，两直线平行）． 方法二：（已知）， 而（平角定义）， （同角的补角相等）． 又（对顶角相等）． （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． 方法三：（已知）， 而，（对顶角相等） （等量代换）． （同旁内角互补，两直线平行）． 【知识点二】平行线的判定方法二 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 如图二：，则 图二 ★【题型 2】利用“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”求值证明 【例题2】（根据浙教版七下21页作业题第3题改编）（24-25七年级下·全国·期中）如图，已知直线被直线所截，于点C．若，则与平行吗？请说明理由． 【答案】平行，见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定定理，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行．根据题意可得，求得，根据同位角相等，两直线平行即可得出 解：与平行； 理由：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2025七年级下·云南·专题练习）在同一平面内，若，且点A在直线l上，则下列结论成立的是（　　） A． B．点B，C在直线l同侧 C．点B，C在直线l两侧 D．点A，B，C在同一条直线上 【答案】D 【分析】本题考查垂直的性质，根据同一平面内过一点，有且只有一条直线与已知直线平行，进行判断即可． 解：∵，则过点A与直线l相垂直的直线有， 又∵“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”， ∴与重合，故选项A错误； ∴三点共线，可能在直线的同侧，也可能在直线的两侧；故选项B，C错误，选项D正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（2021七年级下·全国·专题练习）如图，于点F，于点D，E是AC上一点，，则图中互相平行的直线 ． 【答案】， 【分析】由，，可得再证明可得 解： ，， 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行线的判定，掌握“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行”是解本题的关键. 【变式3】（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）如图，三角形中，．请依次解决下列问题：    (1)作交于点D，作于点E（用三角尺或量角器完成）； (2) 度；与的位置关系是 ； (3)“线段之长等于点C到直线的距离”这一论断是（    ）的．（括号里填写“正确”或“错误”） 【答案】(1)图见解析 (2)30； (3)错误 【分析】本题考查画垂线，点到直线的距离，角的和差关系，平行线的判定： （1）根据垂线的定义，画图即可； （2）根据角的和差关系求出的度数，根据平行线的判定方法，得到与的位置关系即可； （3）根据点到直线的距离，进行判断即可． （1）解：画图如下：    （2）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）∵， ∴线段之长等于点D到直线的距离， 故原说法是错误的； 故答案为：错误． 【知识点三】平行线的判定方法三 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 简单地说，内错角相等，两直线平行。 ★【题型 3】利用“内错角相等，两直线平行”求值证明 【例题3】（根据浙教版七下24页作业题第3题改编）（24-25七年级下·广东江门·月考）完成下面的证明． 如图，，，分别平分和，求证． 证明：， （___________________）． ，分别平分和， __________（___________________）． 又， __________（___________________）． （__________________________）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据垂直定义可得，再利用角平分线的定义可得，，然后利用等量代换可得，从而利用平行线的判定，即可解答． 证明：， （垂直的定义）． 分别平分和， ∴，（角平分线的定义）． 又， （等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 【变式1】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，将两块相同的直角三角板按图示摆放，则与平行，这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点之间线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键． 根据内错角相等，两直线平行直接得到答案． 解：由题意得， 根据内错角相等，两直线平行可得． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，要使，还需再添加一个条件： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握内错角相等，两直线平行及平行的传递性是解题的关键． 本题先根据已知推出一组直线平行，再添加条件使这组直线与平行，利用平行的传递性得到． 解：添加条件（答案不唯一）． ∵， ∴． ， ， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，，若，则吗？为什么？ 【答案】；理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据题意先证明，结合，得出，即可求解． 解：．理由如下： 因为，， 所以，， 所以． 因为， 所以， 所以． 【知识点四】平行线的判定方法四 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 简单地说，同旁内角互补，两直线平行。 ★【题型 4】利用“同旁内角互补，两直线平行”求值证明 【例题4】（根据浙教版七下24页作业题第4题改编）（24-25七年级下·全国·期中）如图，于点，，与互为余角．判断与是否平行，并说明理由． 【答案】，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，由，，则，又，则，所以，然后通过平行线的判定即可求证，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 解：，理由： 因为，， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 【变式1】（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在下列四组条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．根据平行线的判定定理逐项分析判断即可． 解：A、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，不能得到，不符合题意； B、由，不能得到，不符合题意； C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，符合题意； D、由不能得到，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，因为，，所以 ，所以 ，理由是 ． 【答案】 同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，同旁内角互补，两直线平行，据此即可解答． 解：因为，， 所以， 所以，理由是同旁内角互补，两直线平行． 故答案为：；；；同旁内角互补，两直线平行． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）完成下面的证明：已知：如图．平分，平分，且．判断与是否平行，并说明理由． 【答案】；理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据题中思路解答即可． 解：．理由如下： 因为平分（已知）， 所以（角平分线的定义）． 因为平分（已知）， 所以（角的平分线的定义）， 所以（等式的性质）． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同旁内角互补两直线平行）． ★★【题型 5】利用平行线的判定综合求值 【例题5】（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）将一副三角板如图放置，边与边在同一条直线上，，，．三角板保持不动，将三角板绕点顺时针旋转度．当 度时，． 【答案】15 【分析】本题考查平行线的判定，角的和差． 当时，，则，即可解答． 解：如图， 当时，， 则， ∴三角板绕点顺时针旋转15度，即 【变式1】（24-25七年级下·河北石家庄·月考）为响应国家新能源建设，某公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为．如图，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板与水平线夹角为，要使，需将电池板至少转动 度． 【答案】20 【分析】本题考查垂直的定义，以及平行线判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据垂直的定义得到电池板与水平线夹角，再结合平行线判定求解，即可解题． 解：太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直， 电池板与水平线夹角为， 电池板与水平线夹角为， 要使， 电池板至少转动， 故答案为：20． 【变式2】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，点在的延长线上，，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项分析判断，即可求解． 解：∵， ∴，故C选项正确； 而，，均不能判断， 故选：C． 【变式3】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，，现将木棒a、b同时绕着自身与c相交的交点逆时针旋转一周，速度分别为2度/秒和10度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过 秒时木棒a、b平行． 【答案】或或或 【分析】本题考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，准确找出角度之间的数量关系是解题关键．设从开始运动经过秒时木棒a、b平行，分四种情况讨论，利用同位角相等两直线平行，列方程求解即可得到答案． 解：设从开始运动经过秒时木棒a、b平行， ①当时，， 解得：； ②当时，， 解得：； ③当时，此时停止运动， ，解得：； ④当时，此时停止运动， ，解得：， 综上可知，从开始运动经过或或或秒时木棒a、b平行， 故答案为：或或或． ★★【题型 6】利用平行线的判定综合证明 【例题6】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 由，根据同位角相等，两直线平行可得到；由平分，平分，得到，根据同位角相等，两直线平行可得到，由此可得解． 解：∵，， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴． 【变式1】（2025七年级上·重庆·专题练习）（1）如图，已知，求证：． （2）如图，平分，平分，，，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定、垂线的定义、角的和差、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定定理证明平行线是解题的关键． （1）由垂直的定义可得，再结合已知条件运用角的和差可得，然后运用同位角相等、两直线平行即可证明结论； （2）根据角平分线的定义可得，即，然后运用同旁内角互补、两直线平行即可证明结论． （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵平分，平分，，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课前预习）请完成平行线的判定定理2的证明： 已知：如图，和是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且与互补．求证：． 证明：与互补（已知）， ________（互补的定义）， ________（等式的性质）． ________（________）， ________（等式的性质）， （等量代换）， （________）． 【答案】180；180；180；平角的定义；180；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据补角的定义，等量代换，同位角相等，两直线平行，进行作答即可． 证明：与互补（已知）， （互补的定义）， （等式的性质）． （平角的定义）， （等式的性质）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 【变式3】（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，点在直线上，是上一点，连接平分平分． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【分析】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线判定定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）结合角平分线定义得到，即可证明； （2）结合题意得到，再根据等量代换得到，即可证明． （1）证明：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴． ★★【题型 7】利用平行线的判定综合求值证明 【例题7】（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为．设． (1)请用含的式子表示的大小； (2)试说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义和平行线的判定，掌握角平分线的性质和同旁内角互补，两直线平行的判定方法是解题的关键． （1）根据角平分线定义表示出，再用减去，即可得到的表达式； （2）通过角平分线和角度和差推出，结合得到，利用同旁内角互补，两直线平行证明． （1）解：∵平分，， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵平分，， ∴． ∵，， ∴． ∵平分， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴， ． 【变式1】（23-24七年级下·河北沧州·期中）如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平角的定义，几何图形中角度计算，平行线的判定等知识，掌握平行线的判定定理是解题的关键． （1）由平角定义，知，结合已知条件计算求解； （2）由平角为可求得，，由直角三角形性质，得，于是，所以． （1）解：∵，，， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴． 同理：． ∵， ∴． ∴． 【变式2】（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，在四边形中，射线交于点，连接，． (1)若，求的度数； (2)若，判断直线和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了垂直的定义、平行线的判定、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据垂直找角之间的关系，再利用角之间的关系找边之间的关系． （1）根据垂直的定义可得：，根据平角是可得：，从而可求； （2）根据直角三角形的两个锐角互余可知，根据同角的余角相等可得：，根据同位角相等，两直线平行，可证结论成立． （1）解：， ， ，， ． （2）解：， 理由如下， ， ， ， 又， ， ． 【变式3】（24-25七年级下·浙江·期末）一副直角三角板叠放如图①，现将含角的三角板固定不动，把含角的三角板绕顶点A顺时针旋转角（且），使两块三角板至少有一组对应边（所在的直线）垂直． (1)如图②，______时，； (2)请你在下列备用图中各画一种符合要求的图形，计算出旋转角，并用符号表示出垂直的边． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了垂线的定义，平行线的判定，三角板中角度的计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）可证明此时，则A、C、E三点共线，再由角的和差关系求解即可； （2）分，，，，和这六种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可． （1）解：∵， ∴， ∴A、C、E三点共线， ∵， ∴， ∴时，； （2）解：如图所示，当时， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴； 如图所示，当时，， ∴； 如图所示，当时，； 如图所示，当时，则， ∴， ∴； 如图所示，当时，则， ∴； 如图所示，当时， ∵，， ∴， ∴A、C、D三点共线， ∴． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2024·广西桂林·中考真题）如图，直线被直线所截，下列条件能判断的是（   ） A． B． C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 解：A、，根据同位角相等可以判定，故A符合题意； B、，不能判定，故B不符合题意； C、，不能判定，故B不符合题意； D、，，，不能判定，故D不符合题意． 故选：A． 2．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，由，即可得出福大街与平安大街互相平行，即内错角相等，两直线平行． 解：∵， ∴福大街与平安大街互相平行， 判断的依据是：内错角相等，两直线平行， 故选：B． 3．（2023·山东临沂·中考真题）在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过作的垂线，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”即可作出判断． 解：∵在同一平面内，过直线外一点作的垂线，即， 又∵过作的垂线，即， ∴， ∴直线与的位置关系是平行， 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的判定．掌握平行线判定的方法是解题的关键． 4．（2025·江苏常州·中考真题）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则与平行．这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点确定一条直线 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行直接得到答案． 解：由题意得， 根据内错角相等，两直线平行可得． 故选：B． 5．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线被直线所截，根据“同位角相等，两直线平行”判定，需要的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行线的判定定理：同位角相等两直线平行，据此依次判断． 解：A.，不能判定，故不符合题意； B.，不能判定，故不符合题意； C.根据“同位角相等，两直线平行”能判定，故符合题意； D.，不能判定，故不符合题意； 故选：C． 6．（23-24八年级上·山西晋中·模拟）世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行，进行判断即可． 解：由题意知，所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行； 故选：A． （二）填空题（6题） 7．（2025·山东德州·中考真题）如图，是的外角，射线在的内部，添加一个条件 ，使得．（写出一种情况即可） 【答案】或或（答案不唯一，填一个即可） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行解答即可． 解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）； ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：或或（答案不唯一，填一个即可）． 8．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）将两个完全一样的三角板按如图位置放在一起，就可以画出两条相互平行的直线，这样画图的原理是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 由内错角相等，两直线平行，即可得到答案． 解：如图所示， ∵两个三角尺是完全相同的， ∴， ∴ ∴这样画图的原理是内错角相等，两直线平行．   故答案为：内错角相等，两直线平行． 9．（24-25七年级下·河南周口·期中）如图，请你写出一个条件使得（不再标注其他字母或数字），你写的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．利用平行线的判定方法即可得到结果． 解：∵， ∴； 或∵， ∴； 故答案为：或． 10．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，，，点O在直线a上，且，则a与b的位置关系是 ．    【答案】平行 【分析】本题主要考查了平行直线的判定，有已知条件可得出，再根据平角的定义求出，即可得出，根据同位角相等两直线平行即可得出答案． 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：平行． 11．（22-23七年级下·浙江杭州·月考）如图，将木条a，b与c钉在一起，，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是 ．    【答案】/35度 【分析】根据同位角相等，两直线平行，求解即可． 解：当时， ∵ ∴ 即木条a旋转的度数至少是时， 故答案为： 【点睛】此题考查了平行线判定的应用，解题的关键是掌握平行线判定的方法． 12．（2024·吉林长春·二模）斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出，这种验证方法依据的基本事实是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，由图可得和是一对同位角，根据同位角相等，两直线平行即可得出答案． 解：∵， ∴斑马线互相平行，这种验证方法依据的基本事实是同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.4 平行线的判定（知识梳理 + 题型精析 +中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】平行线的判定方法一 1 ★【题型 1】利用“同位角相等，两直线平行”求值证明 2 【知识点二】平行线的判定方法二 3 ★【题型 2】利用“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”求值证明 4 【知识点三】平行线的判定方法三 5 ★【题型 3】利用“内错角相等，两直线平行”求值证明 5 【知识点四】平行线的判定方法四 6 ★【题型 4】利用“同旁内角互补，两直线平行”求值证明 6 ★★【题型 5】利用平行线的判定综合求值 7 ★★【题型 6】利用平行线的判定综合证明 8 ★★【题型 7】利用平行线的判定综合求值证明 10 二.中考真题 11 （一）单选题（6题） 11 （二）填空题（6题） 13 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】平行线的判定方法一 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简单地说，同位角相等，两直线平行。 如图一：，则 图一 ★【题型 1】利用“同位角相等，两直线平行”求值证明 【例题1】（根据浙教版七下20页作业题第2题改编）（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，，与互为补角．求证：． 【变式1】（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，已知直线，以及直线外一点．利用尺规作图按下列步骤操作如下： ①在直线上取一点，经过点和点，作直线； ②作，并使得与是一对同位角； ③反向延长射线，得到直线． 根据以上作法，下列结论错误的为（   ） A． B．的理论依据是同位角相等，两直线平行 C．若，则 D． 【变式2】（25-26七年级上·全国·单元测试）张老师在黑板上留了一道作业题：“如图，直线被直线所截，其中，请你再添加一个条件，使，并注明判定依据．”三人所做答案如下： 甲：添加，依据：同旁内角相等，两直线平行； 乙：添加，依据：同位角相等，两直线平行； 丙：添加，依据：内错角相等，两直线平行； 对三位同学的答案判断正确的是 ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线c所截．若，则．请在下面说理过程中的括号里填写说理依据． 方法一：（   ）， 而（   ）， （   ）． （   ）． 方法二：（   ）， 而（   ）， （   ）． 又（   ）． （   ）． （   ）． 方法三：（   ）， 而，（   ） （   ）． （   ）． 【知识点二】平行线的判定方法二 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 如图二：，则 图二 ★【题型 2】利用“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”求值证明 【例题2】（根据浙教版七下21页作业题第3题改编）（24-25七年级下·全国·期中）如图，已知直线被直线所截，于点C．若，则与平行吗？请说明理由． 【变式1】（2025七年级下·云南·专题练习）在同一平面内，若，且点A在直线l上，则下列结论成立的是（　　） A． B．点B，C在直线l同侧 C．点B，C在直线l两侧 D．点A，B，C在同一条直线上 【变式2】（2021七年级下·全国·专题练习）如图，于点F，于点D，E是AC上一点，，则图中互相平行的直线 ． 【变式3】（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）如图，三角形中，．请依次解决下列问题：    (1)作交于点D，作于点E（用三角尺或量角器完成）； (2) 度；与的位置关系是 ； (3)“线段之长等于点C到直线的距离”这一论断是（    ）的．（括号里填写“正确”或“错误”） 【知识点三】平行线的判定方法三 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 简单地说，内错角相等，两直线平行。 ★【题型 3】利用“内错角相等，两直线平行”求值证明 【例题3】（根据浙教版七下24页作业题第3题改编）（24-25七年级下·广东江门·月考）完成下面的证明． 如图，，，分别平分和，求证． 证明：， （___________________）． ，分别平分和， __________（___________________）． 又， __________（___________________）． （__________________________）． 【变式1】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，将两块相同的直角三角板按图示摆放，则与平行，这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点之间线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，要使，还需再添加一个条件： ． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，，若，则吗？为什么？ 【知识点四】平行线的判定方法四 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 简单地说，同旁内角互补，两直线平行。 ★【题型 4】利用“同旁内角互补，两直线平行”求值证明 【例题4】（根据浙教版七下24页作业题第4题改编）（24-25七年级下·全国·期中）如图，于点，，与互为余角．判断与是否平行，并说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在下列四组条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，因为，，所以 ，所以 ，理由是 ． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）完成下面的证明：已知：如图．平分，平分，且．判断与是否平行，并说明理由． ★★【题型 5】利用平行线的判定综合求值 【例题5】（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）将一副三角板如图放置，边与边在同一条直线上，，，．三角板保持不动，将三角板绕点顺时针旋转度．当 度时，． 【答案】15 【变式1】（24-25七年级下·河北石家庄·月考）为响应国家新能源建设，某公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为．如图，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板与水平线夹角为，要使，需将电池板至少转动 度． 【变式2】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，点在的延长线上，，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，，现将木棒a、b同时绕着自身与c相交的交点逆时针旋转一周，速度分别为2度/秒和10度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过 秒时木棒a、b平行． ★★【题型 6】利用平行线的判定综合证明 【例题6】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 【变式1】（2025七年级上·重庆·专题练习）（1）如图，已知，求证：． （2）如图，平分，平分，，，求证：． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课前预习）请完成平行线的判定定理2的证明： 已知：如图，和是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且与互补．求证：． 证明：与互补（已知）， ________（互补的定义）， ________（等式的性质）． ________（________）， ________（等式的性质）， （等量代换）， （________）． 【变式3】（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，点在直线上，是上一点，连接平分平分． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． ★★【题型 7】利用平行线的判定综合求值证明 【例题7】（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为．设． (1)请用含的式子表示的大小； (2)试说明：． 【变式1】（23-24七年级下·河北沧州·期中）如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 【变式2】（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，在四边形中，射线交于点，连接，． (1)若，求的度数； (2)若，判断直线和的位置关系，并说明理由． 【变式3】（24-25七年级下·浙江·期末）一副直角三角板叠放如图①，现将含角的三角板固定不动，把含角的三角板绕顶点A顺时针旋转角（且），使两块三角板至少有一组对应边（所在的直线）垂直． (1)如图②，______时，； (2)请你在下列备用图中各画一种符合要求的图形，计算出旋转角，并用符号表示出垂直的边． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2024·广西桂林·中考真题）如图，直线被直线所截，下列条件能判断的是（   ） A． B． C． D．， 2．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等 3．（2023·山东临沂·中考真题）在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过作的垂线，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定 4．（2025·江苏常州·中考真题）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则与平行．这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点确定一条直线 D．平行于同一条直线的两条直线平行 5．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线被直线所截，根据“同位角相等，两直线平行”判定，需要的条件是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·山西晋中·模拟）世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线 （二）填空题（6题） 7．（2025·山东德州·中考真题）如图，是的外角，射线在的内部，添加一个条件 ，使得．（写出一种情况即可） 8．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）将两个完全一样的三角板按如图位置放在一起，就可以画出两条相互平行的直线，这样画图的原理是 ． 9．（24-25七年级下·河南周口·期中）如图，请你写出一个条件使得（不再标注其他字母或数字），你写的条件是 ． 10．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，，，点O在直线a上，且，则a与b的位置关系是 ．    11．（22-23七年级下·浙江杭州·月考）如图，将木条a，b与c钉在一起，，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是 ．    12．（2024·吉林长春·二模）斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出，这种验证方法依据的基本事实是 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $