平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学平面向量复习讲义通过表格考点目录系统梳理知识体系，以“概念-运算”为主线，按平面向量的概念、加法、减法、数乘递进呈现，用对比解析突出零向量、共线向量等重难点，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于分考向例题与变式训练结合，如多选概念辨析题培养推理意识，正六边形向量运算题发展几何直观，分层练习满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生用数学语言表达和解决问题的能力。

平面向量：平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘讲义 平面向量：平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘讲义 考点目录 平面向量的概念 平面向量的加法 平面向量的减法 平面向量的数乘 考点一 平面向量的概念 【知识点解析】 1.向量的定义：在数学中，我们把既有大小，又有方向的量称为向量. ※只有大小没有方向的量称为数量. 2.向量的几何表示 (1)有向线段：通常，在线段的两个端点中，规定一个顺序，假设为起点，为终点，我们就说线段具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向，以为起点，为终点的有向线段记作. (2)向量的几何表示 ①向量可以用有向线段来表示，我们把这个向量记作向量，有向线段的方向表示向量的方向． ②向量也可用、、...表示. ※向量可以用有向线段表示，但是有向线段不是向量（因为有向线段三要素是起点、方向和长度，而向量只有方向和长度）. 3.向量的模：向量的大小称为向量的长度（或称模），记作. 4.两个特殊向量 (1)零向量：长度为的向量，记作. (2)单位向量：长度为个单位长度的向量. ※零向量与单位向量也有方向，且零向量方向是任意的. 5.相等向量与共线向量 (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.如果和相等，记作. (2)相反向量：我们把与向量长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，记作． (3)平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 如果和平行，记作.又因为向量可以平移，所以和的基线包括平行与共线两种情况，所以平行向量也可称为共线向量.※零向量与任意向量平行. 【例题分析】 考向一 平面向量的概念理解 例1．（24-25高一下·福建福州·期中·多选）下列说法错误的是（ ） A．加速度是向量 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 【答案】BD 【详解】对于A，由向量的定义知，加速度是向量，故A正确； 对于B，两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故B错误； 对于C，由零向量的定义知，零向量的方向是任意的，故C正确； 对于D，向量可以用有向线段表示，但两者不同，故D错误． 故选：BD． 例2．（24-25高一下·安徽·月考·多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】因为平面向量既有大小，又有方向，所以平面向量不能比较大小，故A错误； 因为表示两个平面向量大小相等，方向相同，而只须两个平面向量方向相同或相反，所以如果，则一定成立，故B正确； 当，则不能推出，故C错误； 根据平面向量相等的定义可知D正确. 故选：BD. 考向二 向量模的计算与几何表示 例1．（24-25高一下·山东菏泽·月考）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ）． A． B． C． D．与不能比较大小 【答案】A 【详解】由题意，作图如下： 则该飞机由先飞到，再飞到，则，，， 则飞机飞行的路程为，， 所以. 故选：A. 例2．（24-25高一下·山东青岛·月考）如图，在中，向量是（    ） A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等向量 【答案】C 【详解】解：起点并不全相同，故A错误； 的方向均不相同，也不相反，故BD 错误； 圆的半径，故C正确， 故选C． 例3．（24-25高一下·山西运城·月考）已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 【答案】(1)答案见解析 (2)地在地的东南方向，距地 【详解】（1）由题意，作出向量，，，，如图所示．    （2）依题意知，为正三角形，所以． 又因为，， 所以为等腰直角三角形，则，， 所以地在地的东南方向，距地． 考向三 平面向量在几何图形中的应用 例1．（24-25高一下·河南鹤壁·月考）在四边形中，与交于点，且，则 （   ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 【答案】D 【详解】由， 知四边形的对角线相互平分且相等， 所以四边形为矩形. 故选：D 例2．（24-25高一下·陕西咸阳·月考）已知四边形中，，并且，则四边形是（    ） A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形 【答案】A 【详解】由题意，四边形中， 因为，可得且，所以四边形为平行四边形， 又因为，可得， 所以四边形为菱形. 故选：A. 考向四 相等向量与共线向量 例1．（2026·山东·一模）下列说法正确的是（    ） A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量 C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量 【答案】B 【详解】选项A：相等向量是指它们的长度相等且方向相同，故A错误； 选项B：平行向量与共线向量是同一概念，若两个非零向量方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量. 零向量与任一向量共线，故B正确； 选项C：长度为0的向量称为零向量，任何方向都可以作为零向量的方向，故C错误； 选项D：若两个向量的长度相等、方向相反，则称这两个向量互为相反向量，故D错误. 故选：B. 例2．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期末）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D．向量的模是一个非负实数 【答案】D 【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合， 若两个共线向量中含有零向量时，零向量所在直线不确定，故B错误； 对于C，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此C不正确； 对于D，向量的模指的是向量的长度，是一个非负实数，因此D正确. 故选：D. 例3．（24-25高一下·江苏镇江·月考）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且，，在每两点所确定的向量中． (1)与的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与共线的向量有哪些？ 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析 ． 【详解】（1）与的长度相等、方向相反的向量有，，，． （2）与共线的向量有，，，，，，，，． 【变式训练】 考向一 平面向量的概念理解 变式1．（24-25高一下·山西·月考·多选）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BD 【详解】向量为矢量，既有大小又有方向，不等比较大小，故A错误； 相等向量的方向与大小都相同，所以也共线，也具有传递性，故BD正确； 当时，向量不一定共线，故C错误. 故选：BD. 变式2．（24-25高一下·贵州遵义·月考·多选）下列说法正确的是（   ） A．我们把既有大小又有方向的量叫作向量 B．单位向量是相等向量 C．零向量与任意向量平行 D．向量的模可以比较大小 【答案】ACD 【详解】对于A，我们把既有大小又有方向的量叫作向量，A正确， 对于B，单位向量是长度为1的向量，方向不确定，故不一定是相等向量，B错误， 对于C，   零向量与任意向量平行，C正确， 对于D，向量的模长是实数，故可以比较大小，D正确. 故选：ACD 考向二 向量模的计算与几何表示 变式1．（24-25高一下·河南许昌·月考）已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】A 【详解】因为，即点到的距离相等， 所以点是的外心. 故选：A 变式2．（24-25高一下·河北唐山·月考）一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛． （1）试作出向量； （2）求． 【答案】（1）作图见解析；（2）400（海里）． 【详解】（1）建立如图所示的直角坐标系，向量即为所求． （2）根据题意，向量与方向相反，故向量，又， ∴在中，，故为平行四边形， ∴，则（海里）． 考向三 平面向量在几何图形中的应用 变式1．（24-25高一下·广东深圳·月考）已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（    ） A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形 【答案】B 【详解】在四边形ABCD中， ，所以，且， 所以四边形为平行四边形． 故选：B 变式2．（24-25高一下·云南昆明·月考）下列有关四边形的形状判断错误的是（    ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，则四边形为梯形 C．若，且，则四边形为菱形 D．若，且，则四边形为正方形 【答案】D 【详解】A选项，，则，所以四边形为平行四边形，A正确. B选项，，则，所以四边形为梯形，B正确. C选项，，则，四边形是平行四边形；由于，所以四边形是菱形，C正确. D选项，，则，所以四边形为平行四边形；由于，所以四边形为菱形，D选项错误. 故选：D 考向四 相等向量与共线向量 变式1．（24-25高一下·河北石家庄·月考）设是非零向量，则是成立的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】对于非零向量， 若，则同向，不一定有； 若，则同向，此时. 所以是成立的必要不充分条件. 故选：C 变式2．（24-25高一下·湖南长沙·月考）下列说法正确的是（    ） A．若方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【详解】选项A：若方向相反，但模长不同时，两个向量不是相反向量，故A错误； 选项B：若模长相等的两个平行向量，方向相反，则为相反向量，不是相等向量，故B错误； 选项C：向量没有固定的起点，但有向线段有起点，有向线段是向量的表示工具， 所以有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段，故C正确； 选项D：共线向量方向相同或相反，可位于平行直线上，不一定在同一条直线上，故D错误. 故选：C 变式3．（24-25高一下·湖北武汉·月考）如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 【答案】(1)， (2)，，，，，，． 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，四边形是矩形， 所以，又，所以 ， 与向量相等的向量有，. （2）与共线的向量有，，，，，，． 考点二 平面向量的加法 【知识点解析】 1.向量加法 (1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． (2)运算规律：首尾相连，由头指尾，即. 2.三角形法则 如图，已知向量，，在平面上任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即，上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则． 3.平行四边形法则 如图，已知两个不共线的向量和，作，，则、、三点不共线，以、为邻边作平行四边形，则对角线上的向量，此种作法称为向量加法的平行四边形法则． 温馨提示：若个向量顺次首尾相接，则由起始向量的起点指向末向量的终点的向量就是它们的和，即，如图． 4.向量的模与原向量之间的关系 (1)当与共线且同向时，. (2)当与共线且异向时，. (3)当与不共线时，． 总结：． 5.向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：． 【例题分析】 例1．（25-26高三上·广东东莞·期末）向量、分别表示向东和向北方向走，则表示（   ） A．向东北方向走 B．向西北方向走 C．向东北方向走 D．向西北方向走 【答案】A 【详解】作，，以、为邻边作平行四边形，如下图所示： 由题意可知，，故平行四边形为正方形， 所以，且，且， 故表示向东北方向走， 故选：A. 例2．（25-26高一上·北京昌平·期末）如图，点为正六边形的中心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设有，故， 由正六边形的性质可得四边形为平行四边形， 故，故， 故选：D. 例3．（25-26高二上·河北·期中）化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A 例4．（24-25高一下·广东佛山·月考）如图，在正六边形中，是其中心．则： ① ； ② ； ③ ． 【答案】 【详解】①． ②． ③． 故答案为：；；. 例5．（24-25高一下·上海浦东·月考）如图，化简： ； ； ； . 【答案】 【详解】由图，根据平面向量加法的三角形法则， 可得，， ， ， ， 故答案为：①，②，③，④. 例6．（24-25高一下·广东湛江·月考）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据向量加法运算律得； （2）根据向量加法运算律得； 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·北京朝阳·期末）在平面四边形中，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D. 变式2．（24-25高一下·广东揭阳·月考）对于任意一个四边形，下列式子不能化简为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在A中，； 在B中，； 在C中，； 在D中，． 故选：C. 变式3．（24-25高一下·湖南邵阳·月考）在四边形MNPQ中，若，则四边形MNPQ是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 【答案】A 【详解】，由向量加法法则可得四边形MNPQ是平行四边形. 故选：A 变式4．（24-25高一下·山东济宁·月考）已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】当和方向相同时，根据向量模的性质可知. 已知，，将其代入可得，即的最大值为. 当和方向相反时，根据向量模的性质可知. 已知，，将其代入可得，即的最小值为. 由上述计算可知的最小值为，最大值为，所以的取值范围是[2,6]. 故答案为：[2,6]. 变式5．（24-25高一下·广东潮州·月考）已知正方形的边长为2，，则 ． 【答案】 【详解】如图， 已知正方形的边长为2，， 则. 故答案为： 变式6．（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正六边形中，若，则 . 【答案】 【详解】如图所示，过点作的垂线，垂足为， 根据直角三角形的性质： ，， 根据勾股定理，在中，， 因此. 故答案为：. 变式7．（24-25高一下·福建厦门·月考）化简或计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）． （2）． 考点三 平面向量的减法 【知识点解析】 1.相反向量 我们把与向量长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，记作． 规定零向量的相反向量仍为零向量，且①；②； 若，互为相反向量，则，，． 2.向量减法 (1)定义：向量加上向量的相反向量，叫做与的差，即，求两个向量差的运算，叫做向量的减法，向量的减法实质上也是向量的加法． (2)运算规律：起点相同，由后指前，即. 3.向量的模与原向量之间的关系 (1)当与共线且同向时，. (2)当与共线且异向时，. (3)当与不共线时，． 总结：． 【例题分析】 例1．（25-26高二上·湖北孝感·月考）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A 例2．（24-25高二下·云南·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D. 例3．（25-26高三上·广东佛山·月考）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D 例4．（24-25高一下·广东惠州·月考）化简： （1） ； （2） ． 【答案】 【详解】（1）； （2）. 故答案为：，. 例5．（24-25高一下·上海浦东·期末）在中， ． 【答案】 【详解】. 故答案为： 例6．（24-25高一下·福建厦门·月考）已知菱形的边长为2，则向量 .    【答案】2 【详解】由图知. 故答案为：2 例7．（24-25高一下·山东青岛·月考）在中，，，则下列哪几个等式是成立的？ （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）（2）（3）成立，（4）不成立. 【详解】如图，分别作，的平行线，交于点， 因为在中，，， 所以四边形是正方形， （1）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（1）成立； （2）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（2）成立； （3）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（3）成立； （4）因为，，， 所以，，， 因为， 所以， 所以， 故等式（4）不成立； 综上，等式（1）、（2）、（3）成立，等式（4）成立.    【变式训练】 变式1．（24-25高一下·广东中山·月考）已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，， 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以，即， 整理得. 故选：B 变式2．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知菱形的边长为1，，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】如图： 因为菱形的边长为1，，所以是正三角形， 故，所以. 故选：A 变式3．（24-25高一下·宁夏固原·期末）在中，，，用，表示向量，正确的一组是（   ） A．， B．， C．， D． 【答案】A 【详解】在中，，， 应用加法的平行四边形法则得， 应用减法的三角形法则得， 故选：A. 变式4．（24-25高一下·江苏镇江·月考）在四边形中，已知，，则四边形是 （填“等腰梯形/平行四边形/矩形/正方形”）. 【答案】矩形 【详解】因为，所以四边形是平行四边形， 因为，所以，即对角线相等， 所以四边形是矩形. 故答案为：矩形 变式5．（24-25高一下·上海·期中）化简 ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为： 变式6．（24-25高一下·辽宁辽阳·月考）在平行四边形中，，且，则平行四边形的面积为 ． 【答案】 【详解】在平行四边形中，，， 因为，即，所以四边形为矩形， 又，所以四边形为正方形，所以四边形的面积为.    故答案为： 变式7．（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，，，，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知得， ∵，∴延长AC到E，使，如图所示， 则，且．∴． （2）做，连接CF，BD，则， 而， ∴且． ∴． 考点四 平面向量的数乘 【知识点解析】 1．向量的数乘 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做数乘，记作． 它的长度和方向规定如下： (1). (2)时，的方向与的方向相同；当时，与的方向相反；时，． 2.注意事项： (1)对于 ①从代数角度看，是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或． ②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍． (2)实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如，都无意义． 3．向量数乘的运算律 实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，、是向量，则： (1)结合律：. (2)第一分配律：. (3)第二分配律：． 4．向量共线定理 向量与非零向量共线，则有且只有一个实数，使． 【例题分析】 考向一 平面向量的混合运算 例1．（24-25高一下·福建厦门·月考）设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得， 故选：D 例2．（24-25高一下·江苏南通·月考）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由平面向量的线性运算可得. 故选：C. 例3．（24-25高一下·广东东莞·月考）（1）化简； （2）若，求向量. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）； （2）因为，故. 例4．（24-25高一下·新疆喀什·月考）化简：（1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）； （2）. 考向二 平面向量的线性运算的几何应用 例1．（25-26高一上·北京房山·期末）在平行四边形中，为边的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B. 例2．（24-25高三上·天津武清·月考），点P在边AB上，，设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 依题意，. 答案：B. 例3．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）如图，在中，，E是CD的中点.设，.则 . 【答案】 【详解】因为，且E是CD的中点， 则， 且，，所以. 故答案为：. 例4．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·月考）如图，已知，，是中线，G为重心，则 ； .（用向量、表示）    【答案】 【详解】因为是中线，所以为的中点，所以， 所以， 又G为的重心，所以. 故答案为：； 【变式训练】 考向一 平面向量的混合运算 变式1．（24-25高一下·福建宁德·期中）设向量，，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 故选：D. 变式2．（24-25高一下·天津滨海新·月考）下列四式不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，； 对于B，； 对于C，； 对于D，. 故选：D. 变式3．（24-25高一下·江苏淮安·月考）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）. （2）. （3） . 变式4．（24-25高一下·浙江温州·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． 考向二 平面向量的线性运算的几何应用 变式1．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意， . 故选：B 变式2．（2025·四川资阳·一模）如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意， . 故选：D 变式3．（24-25高三上·辽宁铁岭·期中）在中，D为CB上一点，E为AD的中点，若，则 ． 【答案】/0.1 【详解】 因为E为AD的中点，所以， 因为B，D，C三点共线，所以， 所以，解得． 故答案为： 变式4．（24-25高一下·山西朔州·月考）已知是的边上的点，且，设，则 . 【答案】 【详解】 故答案为：.    2 学科网（北京）股份有限公司 $平面向量：平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘讲义 平面向量：平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘讲义 考点目录 平面向量的概念 平面向量的加法 平面向量的减法 平面向量的数乘 考点一 平面向量的概念 【知识点解析】 1.向量的定义：在数学中，我们把既有大小，又有方向的量称为向量. ※只有大小没有方向的量称为数量. 2.向量的几何表示 (1)有向线段：通常，在线段的两个端点中，规定一个顺序，假设为起点，为终点，我们就说线段具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向，以为起点，为终点的有向线段记作. (2)向量的几何表示 ①向量可以用有向线段来表示，我们把这个向量记作向量，有向线段的方向表示向量的方向． ②向量也可用、、...表示. ※向量可以用有向线段表示，但是有向线段不是向量（因为有向线段三要素是起点、方向和长度，而向量只有方向和长度）. 3.向量的模：向量的大小称为向量的长度（或称模），记作. 4.两个特殊向量 (1)零向量：长度为的向量，记作. (2)单位向量：长度为个单位长度的向量. ※零向量与单位向量也有方向，且零向量方向是任意的. 5.相等向量与共线向量 (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.如果和相等，记作. (2)相反向量：我们把与向量长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，记作． (3)平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 如果和平行，记作.又因为向量可以平移，所以和的基线包括平行与共线两种情况，所以平行向量也可称为共线向量.※零向量与任意向量平行. 【例题分析】 考向一 平面向量的概念理解 例1．（24-25高一下·福建福州·期中·多选）下列说法错误的是（ ） A．加速度是向量 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 例2．（24-25高一下·安徽·月考·多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考向二 向量模的计算与几何表示 例1．（24-25高一下·山东菏泽·月考）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ）． A． B． C． D．与不能比较大小 例2．（24-25高一下·山东青岛·月考）如图，在中，向量是（    ） A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等向量 例3．（24-25高一下·山西运城·月考）已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 考向三 平面向量在几何图形中的应用 例1．（24-25高一下·河南鹤壁·月考）在四边形中，与交于点，且，则 （   ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 例2．（24-25高一下·陕西咸阳·月考）已知四边形中，，并且，则四边形是（    ） A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形 考向四 相等向量与共线向量 例1．（2026·山东·一模）下列说法正确的是（    ） A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量 C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量 例2．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期末）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D．向量的模是一个非负实数 例3．（24-25高一下·江苏镇江·月考）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且，，在每两点所确定的向量中． (1)与的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与共线的向量有哪些？ 【变式训练】 考向一 平面向量的概念理解 变式1．（24-25高一下·山西·月考·多选）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 变式2．（24-25高一下·贵州遵义·月考·多选）下列说法正确的是（   ） A．我们把既有大小又有方向的量叫作向量 B．单位向量是相等向量 C．零向量与任意向量平行 D．向量的模可以比较大小 考向二 向量模的计算与几何表示 变式1．（24-25高一下·河南许昌·月考）已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 变式2．（24-25高一下·河北唐山·月考）一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛． （1）试作出向量； （2）求． 考向三 平面向量在几何图形中的应用 变式1．（24-25高一下·广东深圳·月考）已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（    ） A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形 变式2．（24-25高一下·云南昆明·月考）下列有关四边形的形状判断错误的是（    ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，则四边形为梯形 C．若，且，则四边形为菱形 D．若，且，则四边形为正方形 考向四 相等向量与共线向量 变式1．（24-25高一下·河北石家庄·月考）设是非零向量，则是成立的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 变式2．（24-25高一下·湖南长沙·月考）下列说法正确的是（    ） A．若方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D．共线向量是在同一条直线上的向量 变式3．（24-25高一下·湖北武汉·月考）如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 考点二 平面向量的加法 【知识点解析】 1.向量加法 (1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． (2)运算规律：首尾相连，由头指尾，即. 2.三角形法则 如图，已知向量，，在平面上任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即，上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则． 3.平行四边形法则 如图，已知两个不共线的向量和，作，，则、、三点不共线，以、为邻边作平行四边形，则对角线上的向量，此种作法称为向量加法的平行四边形法则． 温馨提示：若个向量顺次首尾相接，则由起始向量的起点指向末向量的终点的向量就是它们的和，即，如图． 4.向量的模与原向量之间的关系 (1)当与共线且同向时，. (2)当与共线且异向时，. (3)当与不共线时，． 总结：． 5.向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：． 【例题分析】 例1．（25-26高三上·广东东莞·期末）向量、分别表示向东和向北方向走，则表示（   ） A．向东北方向走 B．向西北方向走 C．向东北方向走 D．向西北方向走 例2．（25-26高一上·北京昌平·期末）如图，点为正六边形的中心，则（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·河北·期中）化简：（   ） A． B． C． D． 例4．（24-25高一下·广东佛山·月考）如图，在正六边形中，是其中心．则： ① ； ② ； ③ ． 例5．（24-25高一下·上海浦东·月考）如图，化简： ； ； ； . 例6．（24-25高一下·广东湛江·月考）化简： (1) (2) 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·北京朝阳·期末）在平面四边形中，（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一下·广东揭阳·月考）对于任意一个四边形，下列式子不能化简为的有（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高一下·湖南邵阳·月考）在四边形MNPQ中，若，则四边形MNPQ是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 变式4．（24-25高一下·山东济宁·月考）已知，，则的取值范围为 . 变式5．（24-25高一下·广东潮州·月考）已知正方形的边长为2，，则 ． 变式6．（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正六边形中，若，则 . 变式7．（24-25高一下·福建厦门·月考）化简或计算： (1)； (2)． 考点三 平面向量的减法 【知识点解析】 1.相反向量 我们把与向量长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，记作． 规定零向量的相反向量仍为零向量，且①；②； 若，互为相反向量，则，，． 2.向量减法 (1)定义：向量加上向量的相反向量，叫做与的差，即，求两个向量差的运算，叫做向量的减法，向量的减法实质上也是向量的加法． (2)运算规律：起点相同，由后指前，即. 3.向量的模与原向量之间的关系 (1)当与共线且同向时，. (2)当与共线且异向时，. (3)当与不共线时，． 总结：． 【例题分析】 例1．（25-26高二上·湖北孝感·月考）（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高二下·云南·期末）（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·广东佛山·月考）（   ） A． B． C． D． 例4．（24-25高一下·广东惠州·月考）化简： （1） ； （2） ． 例5．（24-25高一下·上海浦东·期末）在中， ． 例6．（24-25高一下·福建厦门·月考）已知菱形的边长为2，则向量 .    例7．（24-25高一下·山东青岛·月考）在中，，，则下列哪几个等式是成立的？ （1）； （2）； （3）； （4）. 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·广东中山·月考）已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知菱形的边长为1，，则（   ） A．1 B． C． D．2 变式3．（24-25高一下·宁夏固原·期末）在中，，，用，表示向量，正确的一组是（   ） A．， B．， C．， D． 变式4．（24-25高一下·江苏镇江·月考）在四边形中，已知，，则四边形是 （填“等腰梯形/平行四边形/矩形/正方形”）. 变式5．（24-25高一下·上海·期中）化简 ． 变式6．（24-25高一下·辽宁辽阳·月考）在平行四边形中，，且，则平行四边形的面积为 ． 变式7．（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，，，，求： (1)； (2)． 考点四 平面向量的数乘 【知识点解析】 1．向量的数乘 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做数乘，记作． 它的长度和方向规定如下： (1). (2)时，的方向与的方向相同；当时，与的方向相反；时，． 2.注意事项： (1)对于 ①从代数角度看，是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或． ②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍． (2)实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如，都无意义． 3．向量数乘的运算律 实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，、是向量，则： (1)结合律：. (2)第一分配律：. (3)第二分配律：． 4．向量共线定理 向量与非零向量共线，则有且只有一个实数，使． 【例题分析】 考向一 平面向量的混合运算 例1．（24-25高一下·福建厦门·月考）设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一下·江苏南通·月考）（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一下·广东东莞·月考）（1）化简； （2）若，求向量. 例4．（24-25高一下·新疆喀什·月考）化简：（1）； （2）. 考向二 平面向量的线性运算的几何应用 例1．（25-26高一上·北京房山·期末）在平行四边形中，为边的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高三上·天津武清·月考），点P在边AB上，，设，则（　　） A． B． C． D． 例3．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）如图，在中，，E是CD的中点.设，.则 . 例4．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·月考）如图，已知，，是中线，G为重心，则 ； .（用向量、表示）    【变式训练】 考向一 平面向量的混合运算 变式1．（24-25高一下·福建宁德·期中）设向量，，满足，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一下·天津滨海新·月考）下列四式不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高一下·江苏淮安·月考）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 变式4．（24-25高一下·浙江温州·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 考向二 平面向量的线性运算的几何应用 变式1．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（2025·四川资阳·一模）如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 变式3．（24-25高三上·辽宁铁岭·期中）在中，D为CB上一点，E为AD的中点，若，则 ． 变式4．（24-25高一下·山西朔州·月考）已知是的边上的点，且，设，则 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $