平面向量的概念及运算讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 必修 第六章 平面向量及其应用 （一）平面向量的概念 知识点1：向量的基本概念 名称 定义 记法 向量 既有_____，又有_____的量统称为向量 或a（印刷体）或（手写） 向量的模 向量的大小叫做向量的长度（或称模） ||或︱a︱ 零向量 长度为____的向量，零向量的方向是任意的 0（印刷体）或（手写） 单位向量 长度为_________的向量 相等向量 长度_____且方向_____的向量 向量a与b相等，记作a＝b 相反向量 长度_____且方向_____的向量 向量a的相反向量，记作-a 共线向量(平行向量) 方向____或____的非零向量叫做平行向量． 规定：零向量与任一向量_____ a与b平行或共线，记作a∥b 向量的表示法: ①几何表示（有向线段）：②字母表示（带箭头的小写字母或两个大写字母）： ③坐标表示 · 强调：箭头不能不写，否则表示数量． · 下列物理量： ①位移、速度、力都是既有大小又有方向的量（向量）． ②路程、速率、质量、密度都是只有大小的量（数量）． · 向量与数量的区别：向量不能比较大小．数量能比较大小． 【例1】给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ②向量的模一定是正数； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是________． 【变式1】下列说法中错误的是 ( ) A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 B．若向量与不共线，则与都是非零向量 C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线 D．方向相反的两个非零向量必不相等. 【例2】如图所示，四边形为正方形，为等腰直角三角形. （1）图中与共线的向量有____________________； （2）图中与相等的向量有_______________； （3）图中与相等的向量有__________. 【变式2-1】如图所示，四边形ABCD和BCED都是平行四边形, （1）与相等的向量有____________________； （2）与共线的向量有____________________； 【变式2-2】若，，则向量与向量( ) A．共线 B．不共线 C．共线且同向 D．不一定共线 【例3】设点O是三角形ABC所在平面上一点，若，则点O是三角形ABC的___心． 【变式3】如图所示，在圆O中，向量是(　　) A． 有相同起点的向量 B．单位向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 （二）平面向量的运算 知识点1：向量的加法 (1)定义：求两个向量和的运算． (2)三角形法则：①作图：已知向量a，b，在平面上任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫作a与b的和，记作a＋b； ②几何意义：从第一个向量的_____到第二个向量_____的向量． · 三角形法则适用于首尾顺次连接的向量和，对于两个向量共线时也适用． (3)平行四边形法则：①作图：已知向量a，b，作＝a，＝b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则向量叫作a与b的和，表示为a＋b＝； ②几何意义：平行四边形__________所在的向量． · 平行四边形法则对于两个向量共线时不适用 向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 特别地：对于零向量与任一向量a的和有0＋a＝a＋0＝a. 【例1-1】化简＋＋等于(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 【例1-2】如图所示，a＋d＝________，c＋b＝________. 【变式1-1】如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量： ①＋； ②＋. 【变式1-2】在边长为1的等边三角形ABC中，|＋|＝______，|＋|＝________. 知识点2：向量的减法 (1)定义，向量a加上b的相反向量，叫作a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算，叫作向量的减法． (2)几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示． (3)文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为_____，被减向量的终点为_____的向量．简记“终点向量减始点向量”． 【例2】化简 得（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】下列各式中，化简后不是零向量的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，，， 知识点3：向量的数乘 ①定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa是一个_____； ②长度：|λ| | a |； ③方向： 数乘向量的运算律： ①λ(μa)＝(λμ) a (λ，μ∈R)； ②(λ＋μ) a＝λa＋μa (λ，μ∈R)； ③λ(a＋b)＝λa＋λb (λ∈R)． 特例：（ -λ）a=-（λa）=λ（-a） 知识点4：共线向量定理 (1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线． (2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa. · 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得_______. 【例3-1】若两个非零向量a与(2x－1)a方向相同，则x的取值范围为________． 【例3-2】如图所示，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选题）如图，若，，，是线段靠近点的一个四等分点，则下列等式不成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知向量不共线，，则中一定共线的三点是（ ）． A． B． C． D． 知识点5：数量积 向量的夹角与投影 (1)夹角： ①定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则_______________叫作向量a与b的夹角； ②范围：___________________； ③大小与向量共线、垂直的关系； θ＝ (2)投影： ①定义：如图所示：＝a，＝b，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cos θ.|b|cos θ叫作向量b在a方向上的投影数量(简称投影)． ②大小与夹角的关系： 夹角 0° 锐角 90° 钝角 180° 射影 |b| 正值 0 负值 －|b| 向量的数量积 (1)定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝______________________. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上投影|b|cos θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上投影|a|cos θ的乘积． (3)物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s. (4)性质：①若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos θ； ②a⊥b⇔a·b＝0(其中a，b为非零向量)； ③|a|＝； ④cos θ＝(|a||b|≠0)；⑤对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|. (5)运算律： 交换律：a·b＝b·a. 结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． 分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 【例4-1】向量、满足，，且向量与的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 【例4-2】在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝________，·＝________， ·＝________. 【变式4-1】已知||＝||＝1，向量与的夹角为45°，则(＋2)·＝________. 【变式4-2】在△ABC中，a=3，b=4，∠C=，求 【例4-3】已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝|a|，则向量a＋b与a－b的夹角为________. 【变式4-3】在△ABC中,＜0，判断三角形的形状。 【例4-4】已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________. 【变式4-4】设|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a＋b|，|a＋b|的值． 1.在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ） A． B． C． D． 2.在中，D为线段上一点，且，若，则( ) A． B．3 C． D．4 3.如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中点，F是AE上一点，2，则（　　） A． B． C． D． 4.在中，，则 （ ） A． B． C． D． 5.若a，b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是(　　) A. B. C. D. 6.设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝(　　) A. B. C. D. 7.已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则向量a在b方向上的射影为(　　) A. B. C．－ D．－ 8.在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于(　　) A．－ B．－ C. D. 9．在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝，D是BC的中点，则在方向上的射影是________． 10．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________． . 11．已知|a|＝，|b|＝1. (1)若a，b的夹角θ为45°，求|a－b|； (2)若(a－b)⊥b，求a与b的夹角θ. 12.如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 必修 第六章 平面向量及其应用 （一）平面向量的概念 知识点1：向量的基本概念 名称 定义 记法 向量 既有_____，又有_____的量统称为向量 或a（印刷体）或（手写） 向量的模 向量的大小叫做向量的长度（或称模） ||或︱a︱ 零向量 长度为____的向量，零向量的方向是任意的 0（印刷体）或（手写） 单位向量 长度为_________的向量 相等向量 长度_____且方向_____的向量 向量a与b相等，记作a＝b 相反向量 长度_____且方向_____的向量 向量a的相反向量，记作-a 共线向量(平行向量) 方向____或____的非零向量叫做平行向量． 规定：零向量与任一向量_____ a与b平行或共线，记作a∥b 向量的表示法: ①几何表示（有向线段）：②字母表示（带箭头的小写字母或两个大写字母）： ③坐标表示 · 强调：箭头不能不写，否则表示数量． · 下列物理量： ①位移、速度、力都是既有大小又有方向的量（向量）． ②路程、速率、质量、密度都是只有大小的量（数量）． · 向量与数量的区别：向量不能比较大小．数量能比较大小． 【例1】给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ②向量的模一定是正数； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是____③_____． 【变式1】下列说法中错误的是 ( C ) A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 B．若向量与不共线，则与都是非零向量 C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线 D．方向相反的两个非零向量必不相等. 【例2】如图所示，四边形为正方形，为等腰直角三角形. （1）图中与共线的向量有____________________； （2）图中与相等的向量有_______________； （3）图中与相等的向量有__________. 【变式2-1】如图所示，四边形ABCD和BCED都是平行四边形, （1）与相等的向量有____________________； （2）与共线的向量有____________________； （1）AD,DE (2)CB,AD,DA,DE,ED 【变式2-2】若，，则向量与向量( D ) A．共线 B．不共线 C．共线且同向 D．不一定共线 【例3】设点O是三角形ABC所在平面上一点，若，则点O是三角形ABC的__外_心． 【变式3】如图所示，在圆O中，向量是( C　) A． 有相同起点的向量 B．单位向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 （二）平面向量的运算 知识点1：向量的加法 (1)定义：求两个向量和的运算． (2)三角形法则：①作图：已知向量a，b，在平面上任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫作a与b的和，记作a＋b； ②几何意义：从第一个向量的_____到第二个向量_____的向量． · 三角形法则适用于首尾顺次连接的向量和，对于两个向量共线时也适用． (3)平行四边形法则：①作图：已知向量a，b，作＝a，＝b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则向量叫作a与b的和，表示为a＋b＝； ②几何意义：平行四边形__________所在的向量． · 平行四边形法则对于两个向量共线时不适用 向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 特别地：对于零向量与任一向量a的和有0＋a＝a＋0＝a. 【例1-1】化简＋＋等于(　B　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 【例1-2】如图所示，a＋d＝___DA_____，c＋b＝__CB______. 【变式1-1】如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量： ①＋； ②＋. ①OB ②AD 【变式1-2】在边长为1的等边三角形ABC中，|＋|＝___1___，|＋|＝___根号3_____. 知识点2：向量的减法 (1)定义，向量a加上b的相反向量，叫作a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算，叫作向量的减法． (2)几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示． (3)文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为_____，被减向量的终点为_____的向量．简记“终点向量减始点向量”． 【例2】化简 得（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用向量的加减运算法则化简即可. 【解答过程】 . 故选：D. 【变式2-1】（　　） A． B． C． D． 【解答过程】由题意可得：. 故选：C． 【变式2-2】下列各式中，化简后不是零向量的是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】因为，故A错误；因为，故B正确；因为，故C错误；因为，故D错误.故选：B. 【变式2-3】如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，，， =＝c，=-=b-a，=+=b-a+c， =-=c-a，=-=c-b； 知识点3：向量的数乘 ①定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa是一个_____； ②长度：|λ| | a |； ③方向： 数乘向量的运算律： ①λ(μa)＝(λμ) a (λ，μ∈R)； ②(λ＋μ) a＝λa＋μa (λ，μ∈R)； ③λ(a＋b)＝λa＋λb (λ∈R)． 特例：（ -λ）a=-（λa）=λ（-a） 知识点4：共线向量定理 (1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线． (2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa. · 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得_______. 【例3-1】若两个非零向量a与(2x－1)a方向相同，则x的取值范围为__x＞0.5______． 【例3-2】如图所示，在中，，则（    ）    A． B． C． D． 【解答过程】根据向量的线性运算法则，可得：.故选：A. .【变式3-1】（多选题）如图，若，，，是线段靠近点的一个四等分点，则下列等式不成立的是（ ABD ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知向量不共线，，则中一定共线的三点是（ B ）． A． B． C． D． 知识点5：数量积 向量的夹角与投影 (1)夹角： ①定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则_______________叫作向量a与b的夹角； ②范围：___________________； ③大小与向量共线、垂直的关系； θ＝ (2)投影： ①定义：如图所示：＝a，＝b，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cos θ.|b|cos θ叫作向量b在a方向上的投影数量(简称投影)． ②大小与夹角的关系： 夹角 0° 锐角 90° 钝角 180° 射影 |b| 正值 0 负值 －|b| 向量的数量积 (1)定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝______________________. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上投影|b|cos θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上投影|a|cos θ的乘积． (3)物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s. (4)性质：①若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos θ； ②a⊥b⇔a·b＝0(其中a，b为非零向量)； ③|a|＝； ④cos θ＝(|a||b|≠0)； ⑤对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|. (5)运算律： 交换律：a·b＝b·a. 结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． 分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 【例4-1】向量、满足，，且向量与的夹角为，则（ A ） A． B． C． D． 【例4-2】在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝___0_____，·＝___-16_____， ·＝__-16______. 【变式4-1】已知||＝||＝1，向量与的夹角为45°，则(＋2)·＝___1+根号2_____. 【变式4-2】在△ABC中，a=3，b=4，∠C=，求 -6 【例4-3】已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝|a|，则向量a＋b与a－b的夹角为_60°. 【变式4-3】在△ABC中,＜0，判断三角形的形状。 无法判断 【例4-4】已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝____2____. 【变式4-4】设|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a＋b|，|a＋b|的值． |3a＋b|=，|a＋b|= 1、在△中，为边上的中线，为的中点，则（ A ） A． B． C． D． 2、在中，D为线段上一点，且，若，则( B ) A． B．3 C． D．4 3、如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中点，F是AE上一点，2，则（　C　） A． B． C． D． 4、在中，，则 （ A ） A． B． C． D． 5、若a，b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是(　B　) A. B. C. D. 6、设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝(　B　) A. B. C. D. 7、已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则向量a在b方向上的射影为(　D　) A. B. C．－ D．－ 8、在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于(　A　) A．－ B．－ C. D. 9．在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝，D是BC的中点，则在方向上的射影是________． 10．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________． 11．已知|a|＝，|b|＝1. (1)若a，b的夹角θ为45°，求|a－b|； (2)若(a－b)⊥b，求a与b的夹角θ. (1)1, (2)θ=45° 12.如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 【解题思路】（1）利用三角形法则整理化简即可；（2）利用三角形重心性质及向量的线性运算化简计算即可；（3）利用三角形重心性质及三角形法则化简计算即可. 【解答过程】（1）因为点D是中BC边的中点，且，， 所以； （2）因为点G是的重心， 所以 .（3）因为点G是的重心且D是BC边的中点，所以， 又，所以，所以. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $