精品解析：上海交通大学附属中学2025-2026学年第一学期高三数学期末

交大附中2025-2026学年第一学期高三年级数学期末 2026.1 一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分） 1. 必然事件发生的概率为____ 【答案】1 【解析】 【分析】根据必然事件的定义，即可求解. 【详解】必然事件是一定会发生的事件，其发生的概率为1； 故答案为：1. 2. 若函数的定义域为，则函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域和分母不为0得到不等式组，解出即可. 【详解】由，解得，故的定义域为． 故答案为：. 3. 已知扇形的圆心角为，面积为3，则扇形弧长为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式及弧长公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为，由扇形面积公式可得，， 所以扇形弧长为. 故答案为：. 4. 样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的75百分位数为______． 【答案】 【解析】 【分析】按照百分位数的定义易得. 【详解】因，故这组数据的75百分位数为按照从小到大顺序排列后的第8个数，即为7. 故答案为：7. 5. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先对两边平方，再结合二倍角公式求解. 【详解】因为，所以， 即， 所以，所以. 故答案为： 6. 已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件结合正态分布的性质求出，再利用赋值法求出系数和. 【详解】因为，所以，解得， 代入可得， 令，可得展开式各项系数和为. 故答案为：. 7. 已知向量，，若与的夹角不超过，则的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意确定，再通过求其范围，即可求解. 【详解】由题意设，得，且， 因为，在单位圆上取，    因为与的夹角不超过，所以， 所以 ， 又，所以， 所以， 所以， 故的范围是. 故答案为： 8. 已知点，动点满足，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出动点的轨迹为圆，转化为圆上点与定点连线的斜率的取值范围问题，利用圆心到直线的距离建立不等式求解即可. 【详解】由，可得， 化简可得：， 配方可得， 所以动点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， ， 令，则表示点与点连线的斜率， 设过点且与圆有公共点的直线方程为， 则圆心到直线的距离，即， 解得，所以， 即， 故答案为： 9. 已知数列的通项公式为，函数，求________. 【答案】 【解析】 【分析】由得，再利用裂项求和的方法求解即可. 【详解】因为，， 所以 所以 故答案为： 10. 已知，：不存在正数，使得不等式成立，若是的充分条件，则正实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过构造函数，利用的单调性解不等式，再由题意将是的充分条件转化为包含关系，进而求得参数范围. 【详解】设，则在严格递增，又， 所以，即，故. ， 故：， 由题意是的充分条件，则， 所以有，故实数，故实数m的最小值为, 则正实数的取值范围是 故答案为： 11. 从1，2，3，…，10这10个数中任取4个不同的数，，，，则事件“存在，，使得”的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，用间接法分析：先计算“、、、、这个数中任取个不同的数”的取法，排除其中不符合题意的取法，再结合古典概型概率计算公式即可求解． 【详解】根据题意，从、、、、这个数中任取个不同的数、、、，有种取法， 假设， 若不存在且、，使得， 则有， 在、、、、中任取个不同的数，依次表示、、、， 此时有种不符合题意的取法， 则有种符合题意的取法． 所以事件“存在，，使得”的概率为 故答案为： 12. 设，且，则代数式的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由结构特征,构造向量,， 设的夹角为，不共线,, =，转化为求的最小值, 由，可得，转化求的最小值，即为与点连线的斜率最小值，即可得结果. 详解】设,， 设的夹角为,不共线,, =， ① 设，（）,，①式表示点与单位圆（轴右侧）的点连线斜率,当与单位圆相切的时斜率最小为. 故答案为: 【点睛】本题考查向量的灵活应用,困难在于如何引进向量,以及利用条件把问题转化为有关三角函数的最值,考查利用数形结合思想求最值,是一道技巧性强的难题. 二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分，每题有且仅有一个正确选项） 13. 下列函数中，在其定义域上是奇函数又是减函数的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性逐一判断即可. 【详解】对于A，函数在上单调递增，故A错误； 对于B，函数是偶函数，故B错误； 对于C，函数的定义域是，不是其定义域上的减函数，故C错误； 对于D，函数定义域为，是奇函数且在上单调递减，故D正确. 故选：D. 14. “”是“不等式在上恒成立”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出不等式在上恒成立时的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义判断“”与“不等式在上恒成立”之间的关系. 【详解】不等式在上恒成立， 即在上恒成立. 令，对称轴， 所以函数在区间上单调递增， 所以当时，，所以. 若，则一定成立， 所以“”是“不等式在上恒成立”的充分条件； 若，则推不出. 所以“”不是“不等式在上恒成立”的必要条件. 所以“”是“不等式在上恒成立”的充分不必要条件. 故选：A 15. 已知复数的模长为1，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，再用待定系数方法，结合复数相等得解. 【详解】设，， 因为复数的模长为1，所以， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，， 所以. 故选：B. 16. 设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为“内和数列”，并令，称为的“伴随数列”，下列四个命题： ①若为等差数列，则为内和数列 ②若为等比数列，则为内和数列 ③若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列 ④若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列 其中真命题的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】通过特例判断①②错误；利用作差法证明数列为递增数列，判断③的真假；举反例判断④错误. 【详解】对于命题①、②：例如，可知即为等差数列也为等比数列， 则，但不存在，使得， 所以不为内和数列，故①、②错误； 对于命题③：因为， 对任意，，可知存在， 使得，， 则，即， 且内和数列为递增数列，可知， 所以其伴随数列为递增数列，故③正确； 对于命题④：例如， 显然是所有正整数的排列，可知为内和数列，且的伴随数列为递增数列， 但不是递增数列，故④错误； 故选：B 【点睛】方法点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，把定义转化为已经学过的内容，简化理解和运算. 三、解答题（本大题满分78分，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤） 17. 如图所示，已知多面体中，是正方形，平面，，． （1）证明：平面； （2）设，当时，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题设条件分别证明和，再由面面平行的判定定理证得平面平面，最后利用面面平行的性质即得； （2）由题意建系，写出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即可. 【小问1详解】 因为，与无公共点，故， 因为平面，平面，所以平面. 因为四边形是正方形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以， 因为，所以两两垂直， 所以以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，故可取； 设平面的一个法向量为， 则，故可取. 则， 由图知二面角为钝二面角，故二面角的余弦值为. 18. 已知函数． （1）若，求函数的值域； （2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将函数表达式通过半角公式与两角和的正弦公式化简为含正弦函数的线性形式；利用正弦函数在给定区间上的单调性与取值范围，结合整体代换求得函数的值域. （2）由已知函数值结合特殊角的三角函数解得角的大小；利用余弦定理建立三边关系，结合给定等式消元得到边的比例；最后通过正弦定理将角的正弦比转化为边之比，从而计算出的值. 【小问1详解】 已知，， 化简得：， 整理得：，， 又，， 所以，函数的值域为． 【小问2详解】 由得，， 由余弦定理得：， 又，，即， ，即， ． 19. 某校为了解高三年级1200名学生对成语的掌握情况，举行了一次“成语测试”比赛．从中随机抽取120名学生，统计结果如下：获奖人数与不获奖人数之比为，其中获奖人数中，女生占，不获奖人数中，女生占． （1）现从这120名学生中随机抽取1名学生，求恰好是女生的概率； （2）对获奖学生采用按性别分层随机抽样的方法选取8人，参加赛后经验交流活动．若从这8人中随机选取2人． ①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到1名男生和1名女生的概率； ②记为入选的2人中的女生人数，求随机变量的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）① ；②分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）借助全概率公式计算即可得； （2）①借助分层抽样的性质与条件概率计算即可得；②计算出的所有可能取值及其概率即可得. 【小问1详解】 记事件分别为抽取的1名学生获奖与不获奖，事件为抽取的1名学生是女生， 则，且互斥，， 由题意可知，， 且， 由全概率公式可知， 即从120名学生中随机抽取1名学生，恰好是女生的概率为； 【小问2详解】 由题意得120名学生的获奖情况如表所示． 获奖 不获奖 男生 60 20 女生 20 20 ①根据分层随机抽样方法得，选取的8人中，男生有（人），女生有（人）， 记事件为“选出的2人中有女生”，共有（种）不同的选法， 事件为“选出的2人为1名男生、1名女生”，共有（种）不同的选法， 则， ②根据题意，的所有可能取值为0，1，2， 则，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 则． 20. 我们把椭圆和称为“相似椭圆”，“相似椭圆”具有很多美妙的性质．已知，过椭圆上任意一点作椭圆的两条切线，切点分别为、，切线、与椭圆另一个交点分别为． （1）设，证明：直线是过的椭圆的切线； （2）求证：点是线段的中点； （3）是否存在常数，使得对于椭圆上的任意一点，线段的中点都在椭圆上，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）把直线与椭圆联立得到，即可得直线是椭圆的切线，再由满足直线方程，即可得证. （2）把直线与椭圆进行联立得，即可得证. （3）假设存在常数满足题意，可得到直线的方程为，把直线与椭圆联立，消去得，消去，得，再把的中点M代入得，即可得到答案. 【小问1详解】 由消去整理得，而， 则，于是， 又点的坐标满足直线方程， 所以直线是过A的椭圆的切线. 【小问2详解】 由（1）得直线的方程为，设点， 由消去整理得，而， 则，于是，又点在直线上， 所以点是线段的中点. 小问3详解】 假设存在常数使得对于椭圆上的任意一点，线段的中点都在椭圆上，令， 由点在直线与直线上，得， 则点的坐标都满足方程，即直线的方程为， 由消去整理得，而， 则，，同理，消去得， 由（2）得，中点， 由点在椭圆上，得， 即， 则，即， 整理得，而，解得， 所以存在常数，使得对于椭圆上的任意一点，线段的中点都在椭圆上. 21. 已知区间，定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，点P不在函数的图像上，点A在函数的图像上．若线段PA与函数的图像有且仅有一个公共点，则称点A是“P－可见”的． （1）若，，点P的坐标为，判断点与是否是“P－可见”的； （2）已知为实数，若，，点P的坐标为，点是“P－可见”的，求m的取值范围； （3）若，点P的坐标为，证明：“函数的图像上任意一点都是‘可见’的”是“函数在上严格增或严格减”的充要条件． 【答案】（1）是，不是 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“P－可见”定义分别验证即可； （2）求出方程，转化为方程在有且仅有1解，讨论即可； （3）任取得到在有且仅有1个零点，讨论的正负，得出时的正负，结合函数单调性的定义即可证明. 【小问1详解】 ， 由解得， 故A是“P－可见”的. ， 由解得或， 故B不是“P－可见”的. 【小问2详解】 ,， 则在有且仅有1解， 整理得，为此方程解， 则在无解， 设， 对称轴， 当时，在单调递增， 由于，，则此时不符合题意， 当时，在单调递减， 由于，，则此时不符合题意， 当时， 由于，则需， 解得， 综上 . 【小问3详解】 任取，，则， 设，， 则， 由于函数的图像是一条连续不断的曲线，则函数的图像是一条连续不断的曲线. 必要性：若函数的图像上任意一点都是‘可见’的， 则在有且仅有1个零点， 则时，恒正或恒负， 若恒正，即任取，， 则， 则， 则函数在上严格增， 同理若恒负，可得函数在上严格减. 充分性： 若函数在上严格增， 则任取，有， 则， 即， 则在有且仅有1个零点， 则函数的图像上任意一点都是‘可见’的， 若函数在上严格减同理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 交大附中2025-2026学年第一学期高三年级数学期末 2026.1 一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分） 1. 必然事件发生的概率为____ 2. 若函数的定义域为，则函数的定义域为______． 3. 已知扇形的圆心角为，面积为3，则扇形弧长为_____ 4. 样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的75百分位数为______． 5 已知，则______． 6. 已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为______． 7. 已知向量，，若与的夹角不超过，则的范围是______． 8. 已知点，动点满足，则的取值范围为___________． 9. 已知数列的通项公式为，函数，求________. 10. 已知，：不存在正数，使得不等式成立，若是的充分条件，则正实数的取值范围是__________. 11. 从1，2，3，…，10这10个数中任取4个不同的数，，，，则事件“存在，，使得”的概率为______． 12. 设，且，则代数式的最小值为______. 二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分，每题有且仅有一个正确选项） 13. 下列函数中，在其定义域上是奇函数又是减函数的是（ ）. A. B. C. D. 14. “”是“不等式在上恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知复数的模长为1，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 16. 设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为“内和数列”，并令，称为的“伴随数列”，下列四个命题： ①若为等差数列，则为内和数列 ②若为等比数列，则为内和数列 ③若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列 ④若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列 其中真命题的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 三、解答题（本大题满分78分，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤） 17. 如图所示，已知多面体中，正方形，平面，，． （1）证明：平面； （2）设，当时，求二面角的余弦值． 18. 已知函数． （1）若，求函数的值域； （2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求的值． 19. 某校为了解高三年级1200名学生对成语掌握情况，举行了一次“成语测试”比赛．从中随机抽取120名学生，统计结果如下：获奖人数与不获奖人数之比为，其中获奖人数中，女生占，不获奖人数中，女生占． （1）现从这120名学生中随机抽取1名学生，求恰好是女生的概率； （2）对获奖学生采用按性别分层随机抽样的方法选取8人，参加赛后经验交流活动．若从这8人中随机选取2人． ①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到1名男生和1名女生的概率； ②记为入选的2人中的女生人数，求随机变量的分布列及数学期望． 20. 我们把椭圆和称为“相似椭圆”，“相似椭圆”具有很多美妙的性质．已知，过椭圆上任意一点作椭圆的两条切线，切点分别为、，切线、与椭圆另一个交点分别为． （1）设，证明：直线是过的椭圆的切线； （2）求证：点是线段的中点； （3）是否存在常数，使得对于椭圆上的任意一点，线段的中点都在椭圆上，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 21. 已知区间，定义域为函数的图像是一条连续不断的曲线，点P不在函数的图像上，点A在函数的图像上．若线段PA与函数的图像有且仅有一个公共点，则称点A是“P－可见”的． （1）若，，点P的坐标为，判断点与是否是“P－可见”的； （2）已知为实数，若，，点P的坐标为，点是“P－可见”的，求m的取值范围； （3）若，点P的坐标为，证明：“函数的图像上任意一点都是‘可见’的”是“函数在上严格增或严格减”的充要条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $