专题5 第3讲 随机变量及其分布 基础课 课时作业-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦随机变量分布、概率计算、期望方差等核心考点，依据高考评价体系梳理二项分布、正态分布等考查要求，通过2025年福建厦门、江苏徐州等地模拟题分析考点权重，二项分布与期望计算占比30%，正态分布及应用占25%，归纳选择填空、解答题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题模拟+素养导向”训练，如第4题正态分布利用对称性求概率，培养数学思维的推理能力，第12题结合分步计数与概率综合，发展数学语言的数据观念。通过三级训练体系帮助学生掌握二项分布期望公式应用等技巧，教师可精准定位薄弱点，提升复习效率。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.(2025·福建厦门模拟)已知随机变量X~B(n,),若E(X)=2,则P(X=2)=(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析:E(X)=n×=2,解得n=4,所以P(X=2)=()4=. 基础巩固练 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.(2025·江苏徐州模拟)设k为实数,若随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3,4),则P(X=2)=(　　) A. B. C. D. 解析:根据题意,P(X=i)=,且所有概率之和等于1, ∴P(X=i)=+++==1,解得k=5,∴P(X=2)===. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.(2025·广东深圳模拟)一袋中装有大小、质地均相同的5个白球、3个黄球和2个黑球,从中任取3个球,则至少含有一个黑球的概率是(　　) A. B. C. D. 解析:根据题意,至少含有一个黑球的概率是=. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.(2025·河北邯郸模拟)已知随机变量ξ~N(2,σ2),P(ξ≤-1)=3p-1,P(ξ<5)=5p2,则P(2≤ξ<5)=(　　) A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1 解析:因为正态分布曲线关于x=2对称,所以P(ξ≤-1)=P(ξ≥5). 因为P(ξ≥5)=1-P(ξ<5)=1-5p2,P(ξ≤-1)=3p-1, 所以1-5p2=3p-1,即5p2+3p-2=0,解得p=0.4或p=-1(舍去), 由正态分布的性质得P(2≤ξ<5)=P(ξ<5)-P(ξ<2)=5p2-=0.3,故B正确. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.(2025·湖北宜昌模拟)已知随机变量X,Y均服从两点分布,若P(X=1)=,P(Y=0)=,且P(X=Y)=,则P(XY=0)=(　　) A. B. C. D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:因为随机变量X,Y均服从两点分布,且P(X=1)=,P(Y=0)=,所以P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=,P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=0)=,所以P(X=1,Y=1)=P(X=0,Y=0).又因为P(X=Y)=,所以P(X=1,Y=1)=P(X=0,Y=0)=,所以P(XY=0)=1-P(X=1,Y=1)=1-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.(多选)(2025·江苏常州模拟)如图是一块高尔顿板示意图:在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留着适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃,将小球从顶端放入,小球在下落过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中,格子从左到右编号分别为1,2,3,4,5,用X表示小球落入格子的号码,则下列正确的是(　 　) A.P(X=4)= B.P(X=k)≤P(X=3)(k=1,2,3,4,5) C.E(X)=2 D.D(X)=1 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:对于A,由小球下落4次中选3次右侧,则此时X=4,即P(X=4)==,故A正确; 对于B,由P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=5)==, 则P(X=3)≥P(X=k)(k=1,2,3,4,5),故B正确; 对于C,X的分布列如表所示, 则E(X)=1×+2×+3×+4×+5×=3,故C错误; 对于D,由E(X2)=12×+22×+32×+42×+52×=10, 则D(X)=E(X2)-E2(X)=10-9=1,故D正确. X 1 2 3 4 5 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.(多选)(2025·广东惠州模拟)将x,x,y,y,z,z填入2行3列的表格中,每格填一个字母,若随机变量X表示列字母相同的数量,则(　　 ) (注:横为行,竖为列) A.X的所有可能取值有0,1,3 B.P(X=0)= C.E(X)= D.D(X)=         ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:若2列字母相同,余下的一列字母一定相同,故X的取值不可能为2,所以X的所有可能取值有0,1,3,故A正确; 将x,x,y,y,z,z放入2行3列的表格中,每格一个字母的总填法有=90(种), 每列字母均不相同的填法有+=48(种),所以P(X=0)==,故B正确; 结合A,B分析,且P(X=1)==,P(X=3)==,得E(X)=0++=,D(X)=++=,故C正确,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.(2025·天津模拟)已知随机变量X~N(μ,σ2),Y~B(8,p),且 P(X≥3)=,E(X)=E(Y),则p=　　　　.  解析:因为P(X≥3)=,所以μ=3,故E(Y)=8p=3,得p=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(2025·安徽黄山模拟)为了解学生课余时间体育锻炼情况,某校对100名学生平均每周的体育锻炼时间进行了调查,统计数据如表所示: 用频率估计概率,该校学生平均每周的体育锻炼时间X近似服从正态分布N(μ,δ2),μ近似为样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中间值代表),δ近似为样本标准差s,并已求得s≈3,利用所得正态分布模型解决以下问题: 每周体育锻炼 的时间(小时) [0, 2) [2, 4) [4, 6) [6, 8) [8, 10) [10, 12) [12, 14) [14, 16] 人数 3 4 8 11 41 20 8 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)该校共5 000人,试估计该校大约有多少学生平均每周的体育锻炼时间在15小时以上(结果四舍五入); 解:由题设μ=×(3×1+4×3+8×5+11×7+ 41×9+20×11+8×13+5×15)=9,且δ=3, 所以该校学生平均每周的体育锻炼时间X近似服从正态分布N(9,32), 由P(X>15)=P(X>μ+2δ)=≈0.022 75, 所以估计该校大约有0.022 75×5 000≈114名学生平均每周的体育锻炼时间在15小时以上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若在该校随机抽取3名学生,设其中平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和均值. 附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:由(1)知P(X>9)=P(X>μ)=, 则平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数服从ξ~B(3,), 所以P(ξ=0)=()0(1-)3=, P(ξ=1)=()1(1-)2=, P(ξ=2)=()2(1-)1=, P(ξ=3)=()3(1-)0=, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以ξ的分布列如表所示, E(X)=0×+1×+2×+3×=. ξ 0 1 2 3 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(多选)(2025·浙江杭州模拟)在足球训练课上,甲,乙两位同学进行“点球”比赛,规则:比赛共进行5轮,在每轮比赛中,两人各罚点球一次,射中得1分,射不中得0分.已知甲,乙每次点球命中的概率分别为P甲,P乙(P甲,P乙∈(0,1)),若5轮比赛后甲,乙的总得分分别为X甲,X乙,则下列结论正确的是(　 　) A.若E(X甲)<E(X乙),则P甲<P乙 B.P(X甲=X乙=3)≠P(X甲∶X乙=2∶3) C.若0<P甲<P乙<,则D(X甲)<D(X乙) D.若当且仅当k=2时,P(X甲=k)(k=0,1,2,…,5)取得最大值,则<P甲< 能力提升练 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:由题意,随机变量X甲~B(5,P甲),X乙~B(5,P乙). 对于A,故E(X甲)=5P甲,E(X乙)=5P乙, 若E(X甲)<E(X乙),则P甲<P乙,故A正确; 对于B,若P(X甲=X乙=3)=P(X甲∶X乙=2∶3),则(1-P甲)2 (1-P乙)2=(1-P甲)3(1-P乙)2,化简整理得P甲=1-P甲,即P甲=,所以P甲=时,P(X甲=X乙=3)=[P(X甲]∶X乙=2∶3),故B错误; 对于C,由题意,D(X甲)=5P甲(1-P甲),D(X乙)=5P乙(1-P乙), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以D(X甲)-D(X乙)=5(P甲-P乙)[1-(P甲+P乙)],由0<P甲<P乙<得P甲-P乙<0,1-(P甲+P乙)>0,故D(X甲)-D(X乙)<0, 即D(X甲)<D(X乙),故C正确; 对于D,由题意,P(X甲=k)=(1-P甲)5-k,则 解得<P甲<,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.(2025·安徽蚌埠模拟)切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计规律时发现的,其内容是:对于任一随机变量X,若其数学期望E(X)和方差D(X)均存在,则对任意正实数ε,有P(|X-E(X)|<ε)≥1-.根据该不等式可以对事件|X-E(X)|<ε的概率作出估计.现抛掷一枚骰子,当出现5点或6点时,就说这次试验成功,在n次抛掷中,记成功次数为X,为了至少有98%的把握使试验成功的频率在区间(,)内,估计抛掷的次数n的最小值为　　　　.  400 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:由题意知,成功次数X~B(n,), 所以E(X)=,D(X)=n, 要使<<,则<X<,即-<X-<⇒|X-|<, 由切比雪夫不等式P(|X-|<)≥1-知,若至少有98%的把握使试验成功的频率在区间(,)内,则1-≥0.98⇒0.02≥⇒n≥400,所以抛掷的次数n的最小值为400. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.(2025·江西南昌模拟)某校组织古诗词知识比赛,比赛分为两阶段,第一阶段为基础知识问答,每位选手都需要回答3个问题,答对其中至少2个问题,进入第二阶段,否则被淘汰;第二阶段分高分组和低分组,第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组,共回答4个问题,每答对一个得20分,答错不得分;第一阶段答对2个问题的选手进入低分组,共回答4个问题,每答对一个得10分,答错不得分.第一阶段,每个问题选手甲答对的概率都是;第二阶段,若选手甲进入高分组,每个问题答对的概率都是,若选手甲进入低分组,每个问题答对的概率都是. (1)求选手甲第一阶段不被淘汰的概率; 创新拓展练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:选手甲第一阶段不被淘汰,即甲回答三个问题答对其中2个或3个,其概率为 p1=()2()+()3=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)求选手甲在该次比赛得分为40分的概率; 解:选手甲在该次比赛得分为40分有两种情况:进入高分组,答对2个问题;进入低分组,答对4个问题.故概率为 p2=()3()2()2+()2()()4=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)已知该次比赛选手甲进入了高分组,记选手甲在该次比赛中得分为X,求随机变量X的分布列和期望值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解: X的可能取值有0,20,40,60,80, P(X=0)=()4=, P(X=20)=()1()3==, P(X=40)=()2()2==, P(X=60)=()3()==, P(X=80)=()4=, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以X的分布列为 所以E(X)=20×4×=20. X 0 20 40 60 80 P 感谢您的观看 $