专题5 第6讲 圆锥曲线中的证明与探索性问题 基础课 课时作业-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦解析几何核心模块，依据高考评价体系梳理椭圆、抛物线、双曲线的标准方程、几何性质及直线与圆锥曲线位置关系等高频考点，通过浙江杭州、山东聊城等模拟真题实例，归纳定点问题、面积比、轨迹方程等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题情境+分层训练+素养导向”，如椭圆定点问题通过向量垂直构建方程培养数学思维，抛物线面积比问题结合韦达定理提升运算能力，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此实施精准复习，助力学生高效备战高考。

1 2 3 4 1.(2025·浙江杭州模拟)如图,在平面直角坐标系Oxy中,已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率e=,且椭圆E过点A(2,0),过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆E于点B,交y轴于点C. (1)求椭圆E的方程. 基础巩固练 1 2 3 4 解:因为椭圆E:+=1的离心率e=,且椭圆E过点A(2,0), 可得所以椭圆E的方程为+=1. 1 2 3 4 (2)已知P为AB的中点,是否存在定点Q,对于任意的k(k≠0)都有⊥?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由. 1 2 3 4 解:由题意,显然直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x-2), 联立方程组整理得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-4=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=. 因为P为AB的中点,可得xP==, 则yP=k(xP-2)=,即P(,), 1 2 3 4 令x=0,可得yC=-2k,即C(0,-2k), 假设存在点Q(m,n),使得⊥,此时·=0. 因为=(,),=(m,n+2k),可得·=-=0, 整理得2mk2-k(n+2k)=0. 因为k≠0,所以2mk-(n+2k)=0,即(2m-2)k-n=0恒成立, 所以即Q(1,0), 即存在定点Q(1,0),使得⊥. 1 2 3 4 2.(2025·山东聊城模拟)已知抛物线Γ:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线与抛物线对称轴的交点为H,P为抛物线Γ上的动点,当P的纵坐标为1时,取得最小值. (1)求抛物线Γ的方程. 1 2 3 4 解:过点P作准线的垂线,垂足为G,如图所示, 由抛物线的定义知,|PF|=|PG|,则==sin∠PHG, 所以当取得最小值时,∠PHG取得最小值,此时PH与抛物线相切于点P, 不妨设P(,1),又H(0,-),y'=()'=, 则kPH==,解得p=2, 所以抛物线Γ的方程为x2=4y. 1 2 3 4 (2)设点O为坐标原点,过点F作直线l1与曲线Γ交于A,B两点,作直线l2与曲线Γ交于C,D两点,E,M分别为AB,CD的中点,直线l1与l2的斜率满足k1k2=-2.试判断△OEM与△MEF的面积之比是否为定值.若是,求出此定值;若不是,说明理由. 1 2 3 4 解:法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知,直线AB的方程为y=k1x+1, 则消去y得x2-4k1x-4=0,所以x1+x2=4k1, 则E(2k1,2+1),同理可得M(2k2,2+1), 设直线EM的方程为mx+ny=1,则2mk1+n(2+1)=1,即2n+2mk1+n-1=0, 同理2n+2mk2+n-1=0,所以k1,k2是方程2nk2+2mk+n-1=0的两个根, 所以k1k2==-2,解得n=, 则直线EM的方程为mx+y=1,所以直线EM过定点(0,5), 1 2 3 4 设点O与F到直线EM的距离分别为h1和h2,所以=, 所以===,故△OEM与△MEF的面积之比是定值,定值为. 法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知,直线AB的方程为y=k1x+1, 则消去y得x2-4k1x-4=0,所以x1+x2=4k1, 则E(2k1,2+1),同理可得M(2k2,2+1), 又k1k2=-2,用-代换k2得,M(-,+1), 1 2 3 4 易知直线EM的斜率必存在,kEM==, 则直线EM的方程为y-(2+1)=(x-2k1), 令x=0,则y=2+1-==5,则直线EM过定点(0,5), 设点O与F到直线EM的距离分别为h1和h2,所以=, 所以===, 故△OEM与△MEF的面积之比是定值,定值为. 1 2 3 4 3.(2025·八省联考)已知椭圆C的离心率为,左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0). (1)求C的方程; 解:由题意知⇒C的方程为+=1. 能力提升练 1 2 3 4 (2)已知点M0(1,4),证明:线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点; 证明:设F1M0的中点为P,∴P(0,2),=2,∴F1M0的垂直平分线方程为y=-x+2. 联立得3x2+4(x2-2x+4)=12, ∴x2-2x+1=0,Δ=4-4=0, ∴F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点. 1 2 3 4 (3)设M是坐标平面上的动点,且线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点,证明M的轨迹为圆,并求该圆的方程. 1 2 3 4 解:设M(x0,y0). ①当y0=0时,F1M的垂直平分线为x=,此时=±2,则x0=5或x0=-3. ②当y0≠0时,F1M的垂直平分线为y=-(x-)+=-x+. 联立得3x2+ 4=12, 1 2 3 4 ∴x2-x+-12=0. ∵F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点, ∴Δ=- 4=0 ⇒-36-=0 1 2 3 4 ⇒+(2-14)+-18-32x0-15=0 ⇒+(2-14)+(x0+1)2(x0+3)(x0-5)=0 ⇒+(2-14)+(+2x0+1)(-2x0-15)=0 ⇒(++2x0+1)(+-2x0-15)=0. ∵++2x0+1=(x0+1)2+>0, ∴+-2x0-15=0, 点(5,0),(-3,0)也满足上式, ∴M的方程为(x-1)2+y2=16,它为一个圆. 1 2 3 4 4.(2025·山东烟台模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2,且点F2到其渐近线的距离为. (1)求C的标准方程. 解:由题意可知|F1F2|=2c=2,可得c=, 双曲线C的渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0, 点F2到其渐近线的距离为==b=,所以a===2, 因此双曲线C的方程为-=1. 1 2 3 4 (2)若点P(x0,y0)是C上第一象限的动点,过点P(x0,y0)作直线l(l不与渐近线平行),若l与C只有一个公共点,且l与x轴相交于点M. ①证明:=. 1 2 3 4 证明:因为P(x0,y0)是C上第一象限的动点,则-=1,可得=-3且x0>2,易知点F1(-,0),F2(,0), 所以|PF2|= = = = 1 2 3 4 ==x0-2, 由双曲线的定义可得|PF1|=|PF2|+2a=x0-2+4=x0+2, 所以==. 以下证明:双曲线-=1在点P(x0,y0)处的切线方程为-=1. 联立-3(-1)2=,又=-3, 1 2 3 4 整理可得(x-x0)2=0,解得x=x0, 所以双曲线-=1在点P处的切线方程为-=1, 由-=1,令y=0,可得x=,即点M(,0),且0<<2, 所以==,因此=. 1 2 3 4 ②若点N在直线l上,且F2N⊥F2P,那么点N是否在定直线上?若在定直线上,求出该直线方程;若不在定直线上,请说明理由. 1 2 3 4 解:点N在定直线上.如图所示, 直线PF2的斜率为=, 因为F2N⊥F2P, 则直线F2N的斜率为=-=-, 所以直线F2N的方程为y=-(x-), 联立直线F2N和直线l的方程 1 2 3 4 消去y,可得(-)x=x0-4,解得x=, 因此点N在定直线x=上. 感谢您的观看 $