专题4 第2讲 随机变量及其分布 基础课 课时作业-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦概率统计核心模块，覆盖二项分布、正态分布、随机变量分布列与期望方差等高考高频考点，依据高考评价体系，通过2025年多地模拟题分析，明确二项分布概率计算占30%、正态分布性质应用占25%的考点权重，归纳出“概念理解-公式应用-实际建模”的常考题型框架。 课件亮点在于“真题情境+素养导向”的训练模式，如以高尔顿板模型题为例，通过分析小球下落概率培养数学思维，结合正态分布对称性解决概率计算问题提升数学语言表达能力，特设“易错点警示”如二项分布期望公式误用、分布列概率和为1的验证，帮助学生掌握“分步计算-结果验证”的解题技巧，教师可依托课件实现考点精准突破，助力学生高效冲刺高考。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.(2025·福建厦门模拟)已知随机变量X~B(n,),若E(X)=2,则P(X=2)=(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. 解析:E(X)=n×=2,解得n=4,所以P(X=2)=()4=. 基础巩固练 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.(2025·江苏徐州模拟)设k为实数,若随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3,4),则P(X=2)=(　　) A. B. C. 解析:根据题意,P(X=i)=,且所有概率之和等于1,∴P(X=i)=+++==1,解得k=5,∴P(X=2)===. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.(2025·江苏南京模拟)盒中有10个玩具,其中有3个是坏的,先从盒中随机地抽取4个,则下列事件概率是的是(　　) A.恰有1个是坏的 B.4个全是好的 C.恰有2个是坏的 D.至多有2个是坏的 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:选项A,恰有1个坏的,概率为=; 选项B,4个全是好的,概率为=; 选项C,恰有2个坏的,概率为=; 选项D,至多2个坏的,概率为1-=. 综上,只有选项B的概率为,故B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.(2025·河北邯郸模拟)已知随机变量ξ~N(2,σ2),P(ξ≤-1)=3p-1,P(ξ<5)=5p2,则P(2≤ξ<5)=(　　) A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1 解析:因为正态分布曲线关于x=2对称,所以P(ξ≤-1)=P(ξ≥5). 因为P(ξ≥5)=1-P(ξ<5)=1-5p2,P(ξ≤-1)=3p-1, 所以1-5p2=3p-1,即5p2+3p-2=0,解得p=0.4或p=-1(舍去), 由正态分布的性质得P(2≤ξ<5)=P(ξ<5)-P(ξ<2)=5p2-=0.3,故B正确. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.(2025·湖北宜昌模拟)已知随机变量X,Y均服从两点分布,若P(X=1)=,P(Y=0)=,且P(X=Y)=,则P(XY=0)=(　　) A. B. C. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:因为随机变量X,Y均服从两点分布,且P(X=1)=,P(Y=0)=, 所以P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=,P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=0)=, 所以P(X=1,Y=1)=P(X=0,Y=0).又因为P(X=Y)=,所以P(X=1,Y=1)=P(X=0,Y=0)=,所以P(XY=0)=1-P(X=1,Y=1)=1-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.(多选)(2025·江苏常州模拟)如图是一块高尔顿板示意图:在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留着适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃,将小球从顶端放入,小球在下落过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中,格子从左到右编号分别为1,2,3,4,5,用X表示小球落入格子的号码,则下列正确的是(　 　) A.P(X=4)= B.P(X=k)≤P(X=3)(k=1,2,3,4,5) C.E(X)=2 D.D(X)=1 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:对于A,由小球下落4次中选3次右侧,则此时X=4,即P(X=4)==,故A正确; 对于B,由P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=5)==, 则P(X=3)≥P(X=k)(k=1,2,3,4,5),故B正确; 对于C,X的分布列如下: 则E(X)=1×+2×+3×+4×+5×=3,故C错误; 对于D,由E(X2)=12×+22×+32×+42×+52×=10, 则D(X)=E(X2)-E2(X)=10-9=1,故D正确. X 1 2 3 4 5 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.(2025·天津模拟)已知随机变量X~N(μ,σ2),Y~B(8,p),且 P(X≥3)=,E(X)=E(Y),则p=　　　　.  解析:因为P(X≥3)=,所以μ=3,故E(Y)=8p=3,得p=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.(2025·陕西西安模拟)排球比赛实行“五局三胜制”(当一队赢得三场胜利时,该队获胜,比赛结束),根据此前的若干次比赛数据统计可知,在甲、乙两队的比赛中,每场比赛甲队获胜的概率为,乙队获胜的概率为,则 在这场“五局三胜制”的排球比赛中甲队获胜的概率为　　　　.  解析:甲队获胜的可能情况为3∶0,3∶1,3∶2,则甲队获胜的概率为()3+()3()+()3()2=++=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(2025·安徽黄山模拟)为了解学生课余时间体育锻炼情况,某校对100名学生平均每周的体育锻炼时间进行了调查,统计数据如下表: 用频率估计概率,该校学生平均每周的体育锻炼时间X近似服从正态分布N(μ,δ2),μ近似为样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中间值代表),δ近似为样本标准差s,并已求得s≈3,利用所得正态分布模型解决以下问题: 每周体育锻炼 的时间(小时) [0, 2) [2, 4) [4, 6) [6, 8) [8, 10) [10, 12) [12, 14) [14, 16] 人数 3 4 8 11 41 20 8 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)该校共5 000人,试估计该校大约有多少学生平均每周的体育锻炼时间在15小时以上(结果四舍五入); 解:由题设μ=×(3×1+4×3+8×5+11×7+41×9+20×11+8×13+5×15)=9,且δ=3, 所以该校学生平均每周的体育锻炼时间X近似服从正态分布N(9,32), 由P(X>15)=P(X>μ+2δ)= ≈0.022 75, 所以估计该校大约有0.022 75×5 000≈114名学生平均每周的体育锻炼时间在15小时以上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若在该校随机抽取3名学生,设其中平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和均值. 附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈ 0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:由(1)知P(X>9)=P(X>μ)=, 则平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数服从ξ~B(3,), 所以P(ξ=0)=()0(1-)3=, P(ξ=1)=()1(1-)2=, P(ξ=2)=()2(1-)1=, P(ξ=3)=()3(1-)0=, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以分布列如下, E(X)=0×+1×+2×+3×=. ξ 0 1 2 3 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(多选)(2025·广东惠州模拟)将x,x,y,y,z,z填入2行3列的表格中,每格填一个字母,若随机变量X表示列字母相同的数量,则(　　 ) (注:横为行,竖为列) A.X的所有可能取值有0,1,3 B.P(X=0)= C.E(X)= D.D(X)=         ABC 能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:若2列字母相同,余下的一列字母一定相同,故X的取值不可能为2,所以X的所有可能取值有0,1,3,故A正确; 将x,x,y,y,z,z放入2行3列的表格中,每格一个字母的总填法有=90, 每列字母均不相同的填法有+=48,所以P(X=0)==,故B正确; 结合A,B分析,且P(X=1)==,P(X=3)==, 结合期望与方差公式得E(X)=0++=,D(X)=++=,故C正确,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.(2025·安徽蚌埠模拟)切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计规律时发现的,其内容是:对于任一随机变量X,若其数学期望E(X)和方差D(X)均存在,则对任意正实数ε,有P(|X-E(X)|<ε)≥1-.根据该不等式可以对事件|X-E(X)|<ε的概率作出估计.现抛掷一枚骰子,当出现5点或6点时,就说这次试验成功,在n次抛掷中,记成功次数为X,为了至少有98%的把握使试验成功的频率在区间(,)内,估计抛掷的次数n的最小值为　　　　.  400 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:由题意知:成功次数X~B(n,),所以E(X)=,D(X)=n, 要使<<,则<X<,即-<X-<⇒|X-|<, 由切比雪夫不等式P(|X-|<)≥1-知:至少有98%的把握使试验成功的频率在区间(,)内,则1-≥0.98⇒0.02≥⇒n≥400,所以抛掷的次数n的最小值为400. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.(2025·山东聊城模拟)周末双休,四个同学约好一起参加体验活动,有甲、乙两个体验项目可供选择,每人必须参加且只能参加一个项目.四人约定每人通过掷一次质地均匀的骰子来决定自己参加哪个体验项目,若掷出点数小于3,就体验甲项目,否则体验乙项目. (1)求这4个人中恰有2人参加甲项目的概率; 创新拓展练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:依题意知,这4个人中,每个人参加甲项目的概率为=,参加乙项目的概率为=, 设“这4个人中恰有k人去参加甲项目”为事件Ak(k=0,1,2,3,4), 则P(Ak)=·()k·()4-k, 故这4个人中恰有2人去参加甲项目的概率为P(A2)=·()2·()2=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)用X,Y分别表示这4个人中参加甲、乙项目的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列及期望. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:X=0,Y=4或X=4,Y=0时,ξ=|X-Y|=4, X=1,Y=3或X=3,Y=1时,ξ=|X-Y|=2, X=2,Y=2时,ξ=|X-Y|=0, 故ξ的所有可能取值为0,2,4. 由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,故P(ξ=0)=P(A2)=, P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=()1()3+()3×=, P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=()4+()4=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以ξ的分布列是 所以E(ξ)=0×+2×+4×=. ξ 0 2 4 P 感谢您的观看 $