专题2 第2讲 数列求和 基础课 课时作业-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（提升版）

1 2 3 4 1.(2025·河南郑州质检)已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且a1=1,是1-Sn与Sn+1的等差中项. (1)证明:数列{}是等差数列; 证明:因为是1-Sn与Sn+1的等差中项,所以2=1-Sn+Sn+1, 所以Sn=1+Sn+1-2=(-1)2. 因为数列{an}的各项均为正数,所以Sn>0, 所以=-1,所以-=1, 所以数列{}是公差为1,首项为==1的等差数列. 基础巩固练 1 2 3 4 (2)设bn=(-1)n·(Sn+an),求数列{bn}的前2n项和T2n. 解:因为数列{}是公差为1,首项为=1的等差数列, 所以=1+(n-1)×1=n, 所以Sn=n2,当n=1时,a1=1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1, 当n=1时,也符合上式, 所以an=2n-1. 1 2 3 4 因为bn=(-1)n·(Sn+an), 所以T2n=-S1-a1+S2+a2-S3-a3+S4+a4-…+S2n+a2n =(S2-S1)+(S4-S3)+…+(S2n-S2n-1)-(a1-a2+…-a2n) =a2+a4+…+a2n-(a1-a2+…-a2n) =-(a1+a3+…+a2n-1)+2(a2+a4+…+a2n) =-+2× =-+2× =-n(2n-1)+n(4n+2) =2n2+3n. 1 2 3 4 2.(2025·江苏南通模拟)已知数列{an}满足a1=1,a3=9,且对任意的n≥2,n∈N*,都有an+1+an-1=2(an+1). (1)设bn=an+1-an,求数列{bn}的通项公式; 解:依题意,对任意的n≥2,n∈N*,都有an+1+an-1=2(an+1), 故对任意的n≥2,n∈N*,an+1-an=an-an-1+2, 所以对任意的n≥2,n∈N*,bn=bn-1+2,即bn-bn-1=2为定值, 所以数列{bn}是公差为2的等差数列, 据a1=1,a3=9,得b1=a2-1,b2=9-a2, 所以(9-a2)-(a2-1)=2, 解得a2=4,故b1=a2-1=3, 所以bn=3+(n-1)×2=2n+1. 1 2 3 4 (2)设数列的前n项和为Sn,求证:Sn<. 证明:由(1)可知,an+1-an=2n+1, 所以当n≥2,n∈N*时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+3+5+…+(2n-1)==n2, 又a1=1符合上式,所以an=n2, 所以===(-), 故Sn=(1-)+(-)+(-)+…+(-)+(-)=(1+--)=-(+), 因为n∈N*,+>0,所以Sn<. 1 2 3 4 3.(2025·广东佛山模拟)在等差数列{an}和等比数列{bn}中,ai和bi是下表第i行中的数(i=1,2,3),且a1,a2,a3中的任何两个数不在同一列,b1,b2,b3中的任何两个数也不在同一列.   第一列 第二列 第三列 第四列 第一行 1 2 3 4 第二行 5 6 7 8 第三行 9 10 11 12 能力提升练 1 2 3 4 (1)请问满足题意的数列{an}和{bn}各有多少个?写出它们的通项公式(无须说明理由). 1 2 3 4 解:对于等差数列{an},设公差为d, 当a1=1,a2=6,a3=11时,则d=5,所以an=a1+(n-1)d=1+5(n-1)=5n-4, 当a1=2,a2=7,a3=12时,则d=5,所以an=a1+(n-1)d=2+5(n-1)=5n-3, 当a1=3,a2=6,a3=9时,则d=3,所以an=a1+(n-1)d=3+3(n-1)=3n, 当a1=4,a2=7,a3=10时,则d=3,所以an=a1+(n-1)d=4+3(n-1)=3n+1, 满足题意的数列{an}有4个,分别为an=5n-4,an=5n-3,an=3n,an=3n+1; 对于等比数列{bn},设公比为q, 当b1=3,b2=6,b3=12时,则q=2,所以bn=b1qn-1=3×2n-1, 当b1=4,b2=6,b3=9时,则q=,所以bn=b1qn-1=4×()n-1, 满足题意的数列{bn}有2个,分别为bn=3×2n-1,bn=4×()n-1. 1 2 3 4 (2)若{bn}的公比为整数,且a1+b1=6.数列{cn}满足anan+1cn+(an-3)bn+1=0,求{cn}的前n项和Sn. 解:因为{bn}的公比为整数,由(1)知bn=3×2n-1,则b1=3,所以a1=6-b1=3, 所以an=3n,所以3n×3(n+1)cn+(3n-3)×3×2n=0, 所以cn====-, 所以{cn}的前n项和Sn=-+-+…+-=2-=. 1 2 3 4 4.(2025·河北廊坊模拟)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,S2n=4a2n-1-2,S2n-1=3a2n-2. (1)求{an}的通项公式; 解:a1=1,S2n=4a2n-1-2,S2n-1=3a2n-2, 所以当n=1时,a2=S2-a1=4a1-2-a1=1, 且a2n=S2n-S2n-1=4a2n-1-3a2n⇒a2n=a2n-1, a2n+1=S2n+1-S2n=3a2n+2-4a2n-1=3a2n+1-4a2n⇒a2n+1=2a2n, 所以a2n+1=2a2n-1,所以数列{a2n-1}是以1为首项,2为公比的等比数列, 所以a2n-1=1·2n-1=2n-1,所以a2n=a2n-1=2n-1, 所以an= 1 2 3 4 (2)记数列{nan}的前n项和为Tn,求T2n. 解:由(1)知nan= 所以T2n=a1+2a2+3a3+4a4+…+(2n-1)a2n-1+2na2n=[a1+3a3+…+(2n-1)a2n-1]+[2a2+4a4+…+2na2n] =[1+3×2+…+(2n-1)×2n-1]+(2×1+4×21+…+2n×2n-1) =[20+3×2+…+(2n-1)×2n-1]+(1×21+2×22+…+n×2n)=Hn+Qn, 1 2 3 4 则2Hn=21+3×22+…+(2n-1)×2n,2Qn=1×22+2×23+…+n×2n+1, 所以-Hn=20+2(21+22+…+2n-1)-(2n-1)×2n =1+2×-(2n-1)×2n=(3-2n)2n-3, -Qn=21+22+23+…+2n-n×2n+1=-n×2n+1=(1-n)·2n+1-2, 所以Hn=(2n-3)2n+3,Qn=(n-1)·2n+1+2, 所以T2n=Hn+Qn=(2n-3)2n+3+(n-1)·2n+1+2=(4n-5)·2n+5. 感谢您的观看 $