专题1 第2讲 解三角形 基础课 课时作业-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（提升版）

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1.(2023·北京卷)在△ABC中,(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),则∠C=(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析:因为(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),所以(a+c)(a-c)=b(a-b), 即a2-c2=ab-b2,则a2+b2-c2=ab,故cos C===,又0<C<π,所以C=. 基础巩固练 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.(2025·全国二卷)在△ABC中,BC=2,AC=1+,AB=,则A=(　　) A.45° B.60° C.120° D.135° 解析:根据余弦定理有cos A===.因为0°<A<180°,所以 A=45°. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.(2025·浙江杭州模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且满足4c2+a2=b2,则△ABC的形状为(　　) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 解析:由余弦定理得4c2+a2=b2=a2+c2-2accos B,化简得3c2=-2accos B>0,故cos B<0,所以<B<π,从而△ABC的形状为钝角三角形. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.(2025·湖南长沙模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A<,a=2,b=5,sin 2A=,则△ABC的面积为(　　) A.36 B.18 C.36 D.27 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:因为cos2A+sin 2A=1,且sin 2A=2sin Acos A=,A∈(0,),所以sin A=,cos A=, 由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccos A, 即68=50+c2-2×5c×即c2-8c-18=0,即(c-9)(c+)=0, 所以c=9, 所以△ABC的面积为bcsin A=×5×9×=27. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(2025·辽宁抚顺模拟)如图,在四边形ABCD中, ∠ADB=∠DCA=45°,∠BDC=30°,∠BCA=15°,AB=5,则CD的长为(　　) A.5 B.5 C.10 D.10 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:因为∠BDC=30°,∠BCD=15°+45°=60°,则∠CBD=90°, 设BC=x,则CD=2x,BD=x, 在△ACD中,∠ACD=45°,∠ADC=30°+45°=75°,故∠CAD=60°, 由正弦定理可得=,则AD==x, 在△ABD中,由余弦定理可得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos 45°, 即x2+3x2-2×x×x×=x2=125, 解得x=5,故CD=2x=10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(多选)(2025·河北沧州模拟)在△ABC中,若内角A,B,C满足sin2A∶sin2B∶sin2C=4∶9∶10,则(　 　) A.cos B= B.60°<C<75° C.tan(A+C)=- D.tan B+tan 3A=0 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,由sin2A∶sin2B∶sin2C=4∶9∶10, 得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=2∶3∶,不妨令a=2,b=3,c=. 对于A,由余弦定理得cos B==,A正确; 对于B,cos C==,cos 75°=cos(45°+30°)=×-×=>,C>75°,B错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于C,cos B=,B∈(0,π),则sin B==, tan(A+C)=-tan B=-=-,C正确; 对于D,cos A==,cos 2A=2cos2A-1=2×-1==cos C, 又2A,C∈(0,),则2A=C,由A+B+C=π,得3A+B=π,即B=π-3A, 因此tan B+tan 3A=0,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.(多选)(2025·浙江金华模拟)已知△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足a2+b2-c2=S△ABC,则下列条件能使△ABC为锐角三角形的是(　　) A.A= B.a=2,b=3 C.a=2,c=3 D.b=3,c=2 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:因为a2+b2-c2=S△ABC,由余弦定理可得2abcos C=×absin C, 所以tan C=,因为C∈(0,π),所以C=. 对于A,当A=时,B=,此时△ABC为直角三角形,故A错误; 对于B,当a=2,b=3时,由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=4+9-2×2×3×cos =7,所以c=,所以cos B=>0,所以B为锐角,由b>c>a,所以B>C>A,此时△ABC为锐角三角形,故B正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于C,当a=2,c=3时,由余弦定理可得9=b2+4-2×2×b×cos , 解得b=1+,所以cos B=>0,所以B为锐角, 由b>c>a,所以B>C>A,此时△ABC为锐角三角形,故C正确; 对于D,当b=3,c=2时,由余弦定理可得4=a2+9-2×3×a×cos , 即a2-3a+5=0,由于Δ=9-4×5<0,方程无实根,所以不存在△ABC,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.(2025·陕西汉中模拟)某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP,选取了在同一水平面上的A,B,C三处,如图.已知在A,B,C处测得该建筑顶部P的仰角分别为30°,45°,60°,=2-,AB=10米,则该建筑的高度OP=　　　　米.  5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:设OP=x,则可得OA=x,OB=x,OC=x, 由=2-,可得B是AC的中点,所以AB=BC=10, 而∠OBA+∠OBC=π,则cos∠OBA+cos∠OBC=0, 在△ABO和△CBO中,由余弦定理可得: +=0, 解得x=5,所以该建筑的高度OP=5米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.(2025·广东佛山模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,若4S=(a2-3b2)sin C,则=　　　　.  解析:由4S=(a2-3b2)sin C,得2absin C=(a2-3b2)sin C, 又因为sin C>0,所以2ab=a2-3b2,由正弦定理得2sin Asin B=sin2A-3sin2B, 由sin B>0,则()2-2·-3=0,解得=3或=-1, 因为>0,所以=3. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2. (1)求A; 解:法一: 由sin A+cos A=2可得sin A+cos A=1,即sin(A+)=1, 由于A∈(0,π),所以A+∈(,),故A+=,解得A=. 法二: 由sin A+cos A=2,且sin2A+cos2A=1,消去sin A得到: 4cos2A-4cos A+3=0,即(2cos A-)2=0,解得cos A=, 又A∈(0,π),故A=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长. 解:因为bsin C=csin 2B, 由正弦定理得sin Bsin C=2sin Csin Bcos B, 又B,C∈(0,π),则sin Bsin C≠0,所以cos B=,所以B=, 即C=π-A-B=, 所以sin C=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=, 由正弦定理可得==, 解得b=2,c=+, 故△ABC的周长为2++3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.(多选)(2025·山东聊城模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=2,B=,则(　 　) A.△ABC外接圆的面积为16π B.若c=4,则C= C.△ABC面积的最大值为3 D.△ABC周长的最大值为6 能力提升练 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:对于A,由题意知b=2,B=,设△ABC外接圆的半径为R,则2R===4, 即得R=2,则△ABC外接圆的面积为4π,A错误; 对于B,若c=4,则=,∴=, 则sin C=1,C∈(0,π),∴C=,B正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于C,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B,即12=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac, 当且仅当a=c时等号成立,则S△ABC=acsin B=ac≤×12=3, 故△ABC面积的最大值为3,C正确; 对于D,由b2=a2+c2-2accos B,得12=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac, 则(a+c)2=12+3ac≤12+3×()2,当且仅当a=c时等号成立, 即得a+c≤4,故△ABC周长的最大值为4+2=6,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(多选)(2025·广东茂名模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=10,2≤a≤5,bcos Acos C+ccos Acos B=a,下列选项正确的是(　　) A.sin A= B.sin A=sin C可能成立 C.△ABC可能是等腰三角形 D.△ABC面积的最大值为20 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:由正弦定理可得sin Bcos Acos C+sin Ccos Acos B=sin A, 即cos A(sin Bcos C+sin Ccos B)=sin A, 即cos Asin(B+C)=sin A, 即sin Acos A=sin A,且sin A≠0, 所以cos A=, 且A∈(0,π),所以sin A==,故A正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 假设sin A=sin C,则a=c,又b=10,2≤a≤5,则a+c=2a≤10, 不满足三角形两边之和大于第三边,故sin A=sin C不可能成立,故B错误; 假设b=c=10,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=100+100-2×10×10×=200-80,又2≤a≤5,即20≤a2≤25, 则200-80≤25⇔175≤80⇔7≤16⇔245≤256成立,所以a≤5成立, 200-80≥20⇔180≥80⇔9≥4⇔81≥80成立,所以a≥2成立, 故C正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由三角形的面积公式S=bcsin A=×10c×=c,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,即a2=100+c2-8c,且2≤a≤5,20≤a2≤25, 所以 化简可得 解得3≤c≤5, 所以c=5时,三角形的面积最大,最大值为×5=25,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 13.(2025·广东深圳模拟)记锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知csin B=. (1)求B; 解:因为csin B=, 由正弦定理可得sin Csin B===. 因为C∈(0,),则sin C>0,所以sin Bcos C+sin Bsin C=sin A. 又因为sin A=sin(π-B-C)=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, 所以sin Bsin C=cos Bsin C,则sin B=cos B. 因为B∈(0,),则sin B=cos B>0,即tan B=1,所以B=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 (2)若b=,求△ABC面积的取值范围. 解: 因为C是锐角△ABC的内角,又因为B=, 所以<C<, 由正弦定理,得====2, 所以a=2sin A=2sin(+C),c=2sin C, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以S△ABC=acsin B=sin Csin(+C)=sin C(cos C+sin C)=sin Ccos C+sin 2C=sin 2C-cos 2C+=sin(2C-)+, 由<C<,得<2C-<,所以<sin(2C-)≤1, 即S△ABC=sin(2C-)+∈(1,], 所以△ABC面积的取值范围是(1,]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.(2025·湖北武汉模拟)如图,△AOD与△BOC存在对顶角∠AOD=∠BOC=,AC=2,BD=2,且BC=AD. (1)证明:O为BD的中点; 创新拓展练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 证明:设OC=x,OB=y,则OA=2-x,OD=2-y. 在△AOD中,由余弦定理得:AD2=(2-x)2+(2-y)2-2×(2-x)×(2-y)×. 在△BOC中,由余弦定理得:BC2=x2+y2-2xy×. 由BC=AD,所以(2-x)2+(2-y)2-2×(2-x)×(2-y)×=x2+y2-2xy×. 化简得y=. 故O为BD的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若sin 2A+cos B=,求OC的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:如图, 过点D作DE∥BC,交AC与点E. 则∠EDO=∠CBO. 由得△OED≌△OCB, 所以BC=DE,又BC=AD,所以DE=AD,所以∠A=∠DEA, 所以∠OED=π-∠A,又∠OED=∠C,B+C=π-=, 所以A=B+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由sin 2A+cos B=sin 2(B+)+cos B=,所以cos 2B+cos B=, 所以(2cos2B-1)+cos B=,所以2cos2B+cos B-2=0. 又-1<cos B<1,所以cos B=, 所以sin B=, 所以sin(B+)=sin Bcos +cos Bsin =×=, 即sin C=. 在△OBC中,根据正弦定理, 可得=,即=,所以OC=. 感谢您的观看 $