专题4 第1讲 计数原理与概率 基础课 课时作业-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦二项式定理、概率统计、排列组合等核心考点，依据高考评价体系梳理考查要求，通过2024北京卷等真题及多地模拟题分析考点权重，明确概率统计占比超30%，归纳古典概型、条件概率等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题解析+技巧提炼+素养培养”，如以2025湖北黄冈模拟条件概率题为例，用数学思维拆解分步事件，结合数学语言构建概率模型，指导学生掌握分类讨论法。特设易错点警示，助力学生提升解题效率，教师可据此精准教学，实现高效冲刺。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1.(2024·北京卷)在(x-)4的二项展开式中,x3的系数为(　　) A.15　　　　　　　　　 B.6 C.-4 D.-13 解析:(x-)4的二项展开式为Tr+1=x4-r· (-)r=(-1)r, (r=0,1,2,3,4),令4-=3,解得r=2,故所求即为(-1)2=6. 基础巩固练 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.甲、乙、丙、丁四人排成一列,丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是(　　) A. B. C. 解析:丙不在排头,且甲或乙在排尾的排法共有··=8(种),基本事件总数是=24,根据古典概型,丙不在排头,甲或乙在排尾的概率为=. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.(2025·山东聊城模拟)若(1+ax2)(1+x)4的展开式中x3的系数为12,则其展开式中所有项的系数的和为(　　) A.16 B.32 C.48 D.64 解析:(1+ax2)(1+x)4的展开式中x3的系数为+a=12,所以a=2,所以令x=1,(1+2)×(1+1)4=3×16=48,所以展开式中所有项的系数的和为48. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.(2025·江苏淮安模拟)如图,平面内有A,B,C,D 4个区域,随机在这4个区域之间画3道连线,且任意两个区域之间最多画一道连线,则从A,B,C,D任何一个区域,都可以通过连线及区域到达其他三个区域的概率为(　　) A. B. C. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:从四个区域中任选2个连线,可连=6条线段,从中任选3条的方法有==20(种).从四个区域中任选3个,用3条线段将这3个区域连接,有=4种方法,这些连接方式不能连通四个区域.所以可以通过3条线连通四个区域的概率为P=1-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(2025·湖南岳阳模拟)某校食堂为打造菜品,特举办菜品评选活动.已知评委团由家长代表、学生代表和教工代表组成,人数比为1∶2∶2,现由评委团对1号菜品和2号菜品进行投票(每人只能投一票且必须投一票).若投票结果显示,家长代表和学生代表中均有的人投票给1号菜品,教工代表中有的人投票给2号菜品,那么从1号菜品的投票人中任选1人,他是学生代表的概率为(　　) A.B.C. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:根据人数比例设家长代表、学生代表和教工代表人数分别是m,2m,2m(m为比例系数),由题意知:家长代表中有的人投给1号,人数为×m=;学生代表中有的人投给1号,人数为×2m=;教工代表中有的人投给2号,那么教工代表中有的人投给1号,人数为×2m=m.所以投给1号的总人数为++=,学生代表中投给1号的人数为,因此所求概率为=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(2025·湖北黄冈模拟)已知甲箱中有2个红球和3个黑球,乙箱中有1个红球和3个黑球(所有球除颜色外完全相同),某学生先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱,再从乙箱中随机取出2个球,记“从乙箱中取出的球是2个黑球”为事件B,则P(B)=(　　) A. B. C. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:记“从甲箱中取出的球为红球”为事件A1,记“从甲箱中取出的球为黑球”为事件A2,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.(多选)(2025·山东济宁模拟)已知A,B为随机事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.4,则下列结论正确的是(　 　) A.若A,B互斥,则P(A∪B)=0.9 B.若A,B相互独立,则P(A)=0.2 C.若A,B相互独立,则P(A∪B)=0.7 D.若P(B|A)=0.5,则P(B|)=0.3 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:对于A选项,若A,B互斥, P(A∪B)=0.5+0.4=0.9,所以A选项正确. 对于B选项,若A,B相互独立,则A与也相互独立. 因为P()=1-P(B)=1-0.4=0.6,所以P(A)=P(A)P()=0.5×0.6=0.3≠0.2,所以B选项错误. 对于C选项,若A,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2. 根据概率的加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.4-0.2=0.7,所以C选项正确. 对于D选项,已知P(B|A)==0.5,P(A)=0.5,则P(AB)=0.5×0.5=0.25. P()=1-P(A)=1-0.5=0.5,P(B)=P(B)-P(AB)=0.4-0.25=0.15. 根据条件概率公式P(B|)===0.3,所以D选项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.(多选)(2025·江苏泰州模拟)一个袋子里装有3个红球、7个黄球,每次随机摸出一个球,摸出的球不再放回.则下列说法正确的是(　 　) A.第二次摸出红球的概率为 B.第一次摸出黄球的条件下,第二次摸出红球的概率为 C.第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为 D.第三次摸出黄球的概率为 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:对于A,第二次摸出红球分两种情况: 第一次摸出黄球,第二次摸出红球,其概率为×=; 第一次摸出红球,第二次摸出红球,其概率为×=, 可得第二次摸出红球的概率为+==,所以选项A正确; 对于B,设“第一次摸出黄球”为事件A,“第二次摸出红球”为事件B, 由选项A的分析可知P(A)=,P(AB)=×=, 根据条件概率公式P(B|A)===,所以选项B正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于C,由选项A可知,第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为×=≠, 所以选项C错误; 对于D,因为袋子里共有3+7=10个球,其中黄球有7个,所以每次摸出黄球的概率都是,即第三次摸出黄球的概率为,所以选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.(2025·安徽马鞍山模拟)如图,一个圆环分成A,B,C,D四个区域,用3种颜色(全部用完)对这四个区域涂色,要求相邻区域不同色,则不同的涂色方法种数为　　　　.(用数字作答)  解析:若A,D同色,3种颜色全部用完,有=6(种),若B,C同色,3种颜色全部用完,有=6(种),所以共有6+6=12(种). 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(2024·全国甲卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中无放回地随机取3次,每次取1个球.设m为前两次取出的球上数字的平均值,n为取出的三个球上数字的平均值,则m与n之差的绝对值不大于的概率 为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:从6个球中无放回地抽取3次,共有=120种结果, 设前两个球的号码为a,b,第三个球的号码为c,则≤, 故|2c-(a+b)|≤3,故-3≤2c-(a+b)≤3,故a+b-3≤2c≤a+b+3, 若c=1,则a+b≤5,则(a,b)为(2,3),(3,2),故有2种, 若c=2,则1≤a+b≤7,则(a,b)为(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3),故有10种, 若c=3,则3≤a+b≤9,则(a,b)为(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5),(2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2), (5,2),(6,2),(5,4),故有16种, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 若c=4,则5≤a+b≤11,同理有16种,若c=5,则7≤a+b≤13,同理有10种, 若c=6,则9≤a+b≤15,同理有2种.综上,m与n之差的绝对值不大于时不同的抽取方法总数为2×(2+10+16)=56,故所求概率为=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.(2025·江西南昌模拟)某商店店庆,每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了n(n≥3)个盲盒,其中有m(1≤m<n-1)个盲盒内有奖品.抽奖规则为:抽奖者从这n个盲盒中随机抽取1个盲盒,兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒,充分混合后,再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒,在犹豫是否打开时,组织方拿走了一个没有奖品的盲盒,最终甲选择了另外一个盲盒打开,记甲中奖的概率为p1.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒,并且发现摔裂的盲盒内没有奖品,随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开,记乙中奖的概率为p2,则(　　) A.p1>p2 B.p1=p2 C.p1<p2 D.无法确定p1与p2的大小关系 能力提升练 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:设事件A为“抽奖者甲中奖”,事件B为“甲选中的盲盒有奖”,则P(B)=,在组织方拿走无奖的盲盒后,若先选中的有奖,则剩余n-2个盲盒中有m-1个奖品,甲更换盲盒后P(A|B)=,若甲先选中的盲盒无奖,则剩余n-2个盲盒中有m个奖品,则更换盲盒后P(A|)=,因此p1=P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|)P()=,由乙碰掉的盲盒无奖,则所有n-1个盲盒中有m个奖品,且每个盲盒被抽到的可能性相同,则p2=,于是==1+>1,所以p1>p2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(多选)(2025·山东临沂模拟)设A,B是一次随机试验中的两个事件,且P()=,P(B)=,P(B∪A)=,则(　　) A.P(B∪A)=P(B)+P(A) B.A,B相互独立 C.P(∪)= D.P(|B)=P(|A) AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:对于A,由于B与A是互斥事件,则 P(B∪A)=P(B)+P(A),故A正确. 对于B,已知P()=,可得P(A)=1-=. 设P(AB)=x,则P(B)=P(B)-P(AB)=-x,P(A)=P(A)-P(AB)=-x. 由A项可知P(B∪A)=P(B)+P(A)=,即(-x)+(-x)=, 解得x=,由P(A)P(B)=×==P(AB),可得A,B相互独立,故B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于C,因为P()=,P()=, 所以P(∪)=P()+P()-P()·P()=+-×=≠,故C错误. 对于D,根据P(|B)=,P(B)=P(B)-P(AB)=-=,P(B)=,则P(|B)==.又P(|A)=,P(A)=P(A)-P(AB)=-=,P(A)=,则P(|A)==,则P(|B)≠P(|A),故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 13.(2025·四川成都模拟)在量子通信中,光子极化序列需满足以下条件: (1)每个极化方向为水平(H)或垂直(V); (2)任意三个连续光子中不能有全相同的极化方向; (3)序列的首尾极化方向必须相同. 如“HVH”是一个长度为3的合法序列.则长度为7的合法序列数目为　　　　.  22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 解析:列举出首尾都是H的合法序列,如下: 1 2 3 4 5 6 7 H H V H H V H V H H V V H V H V H H V H H V H H V V H V H V H V H H H V V H H V H V H H V V H 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由表格知,首尾都是H的合法序列数目是11,同理首尾都是V的合法序列数目是11, 所以长度为7的合法序列数目为22. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.(多选)(2025·河南郑州模拟)如图,一个圆形仓鼠笼被分为A,B,C,D四个区域,相邻区域之间用通道相连,开始时将一只仓鼠放入A区域,仓鼠每次随机选择一个通道进入相邻的区域,设经过n次随机选择后仓鼠在A区域的概率为xn,则(　 　) A.x1=0 B.=xnxn+2 C.x2n+1>x2n-1 D.x2n-1+x2n< 创新拓展练 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:对于A,因为仓鼠一开始在A区域,经过1次随机选择后仓鼠不可能在A区域, 所以x1=0,故A正确; 对于B,记仓鼠经过n次随机选择后在B,C,D区域的概率分别为bn,cn,dn, 则所以xn+1=(1-xn),所以xn+1-=-(xn-), 因为x1=0,所以为以-为首项,-为公比的等比数列, 所以xn-=-·(-)n-1,所以xn=-·(-)n-1,所以{xn}不是等比数列, 所以=xnxn+2不成立,故B错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于C,因为x2n+1=-·(-)2n=-·()2n, x2n-1=-·(-)2n-2=-·()2n-2,所以x2n+1>x2n-1,故C正确; 对于D,因为x2n=+·()2n-1,x2n-1=-·()2n-2, 所以x2n-1+x2n=+·[()2n-1-()2n-2]=-·()2n-2<,故D正确. 感谢您的观看 $