专题4 第1讲 空间几何体及其表面积、体积 基础课 课时作业-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦立体几何核心考点，覆盖空间几何体表面积与体积计算、空间想象与几何直观等考查要求，对接高考评价体系，分析出表面积体积计算占比超60%的高频考点，归纳棱台、圆台、球冠等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题模拟+方法归纳+素养提升”策略，如以圆台侧面积、棱台体积为典型题型，用轴截面法、补形法突破，培养学生数学眼光（空间观念）与数学思维（推理能力），助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1.(2025·河南郑州模拟)已知正四棱台A1B1C1D1-ABCD的体积为,AB=3,A1B1=1,则该四棱台的表面积为(　　) A.18　　　　　　　 B.10+8 C.10+8 D.10+8 基础巩固练 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:设正四棱台的高为h,则h(9+1+3)=,解得h=1, 设正四棱台侧面等腰梯形的高为h1, 则h1===, 故该四棱台的表面积为S=9+1+4××(1+3)×=10+8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.(2025·广东深圳模拟)底面半径为3的圆锥被平行于底面的平面所截,截去一个底面半径为1、高为2的圆锥,所得圆台的侧面积为(　　) A.8π B.9π C.3π D.16π A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:如图,设截面圆的圆心为C,截面圆的半径CD=1, 底面圆半径OB=3,PC=2, 由于OB∥CD,所以=⇒=⇒PO=6,所以PB===3,PD=,所以圆台的侧面积为π(3×3-1×)=8π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.(2025·浙江金华模拟)如图,AB,CD是棱长为2的正方体展开图中的两条线段,则原正方体中几何体ABCD的表面积为(　　) A.6+4　　　　　　　 B.6+2 C.2+2+4 D.2+4+4 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:还原正方体如图所示,连接BC,BD,BC=CD=BD=2, S△BCD=×2×2×sin=2,S△ABD=S△ACD=S△ABC=×2×2=2, 所以四面体ABCD的表面积为6+2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.(2025·广东梅州模拟)如图,往一个正四棱台密闭容器内倒入38 cm3的水,水面高度恰好为棱台高度的,且AB=6 cm,A1B1=2 cm,则这个容器的容积为(　　) A.52 cm3 B.60 cm3 C.68 cm3 D.76 cm3 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:设水体对应的台体的高为h cm,则水体对应台体的上底面是边长为4 cm的正方形,由台体的体积公式可得V水=×(42+62+4×6)h=h=38,解得h=,故容器的高为3 cm,容器的容积为V=×(22+62+2×6)×3=52(cm3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(2025·山东青岛模拟)已知一个等腰梯形的下底边长是上底边长的3倍,两腰与下底边所成角为,面积为8.若该等腰梯形是一个圆台的轴截面,则该圆台的侧面积为(　　) A.16π B.26π C.16π D.32π A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:如图,由题意得BC=3DA,∠B=∠C=. 设等腰梯形ABCD的上、下底边长分别为a,3a,a>0,即AD=a,BC=3a. 分别过点D,A作DG⊥BC,AF⊥BC,垂足分别为G,F. 因为AD∥GF,所以四边形ADGF为矩形,且AD=FG=a,所以CG=GF=FB=a. 在Rt△CDG中,DG=CG·tan =a,DC==2a, 则等腰梯形的面积S=·(a+3a)·a=2a2=8,解得a=2, 则圆台的上、下底面的半径分别为r=1,r'=3,母线长为l=4, 所以圆台的侧面积为πl(r+r')=π×4×(1+3)=16π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(2025·天津模拟)已知底面半径为r(r>0)的圆锥,其轴截面是正三角形,它的一个内接圆柱的底面半径为,则此圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值为(　　) A. B. C. D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:由题意可知圆锥的轴截面是边长为2r的正三角形, 则圆锥的高SO=r,如图, 由△SO1M∽△SOB,可得==, 则SO1=SO,∴OO1=SO=, 圆柱侧面积S1=2π··=πr2, 圆锥侧面积S2=·2πr·2r=2πr2, 则=×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.(2025·山东烟台模拟)如图,在六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面A1B1C1D1,四边形ABCD与四边形A1B1C1D1为两个全等的矩形,且AB∥A1B1,AD∥A1D1,若BC=A1B1=AA1=2,AB=B1C1=4,则该六面体的体积为(　　) A.14 B. C. D.24 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:将六面体补成一个长方体,如图所示, 在长方体A1B2C2D1-ABC3D2中,A1B2=AB=B1C1=4, BC=A1B1=AA1=2. 因为长方体A1B2C2D1-ABC3D2的体积V=×AA1=4×4×2=32; 直三棱柱BB1B2-C3C1C2的体积V1=×B2C2=×(4-2)×2×4=8; 直三棱柱CC2C3-DD1D2的体积V2=×D1C2=×(4-2)×2×4=8; 三棱锥C-C1C2C3的体积V3=××CC3=××(4-2)×2×(4-2)=, 所以六面体ABCD-A1B1C1D1的体积V-V1-V2+V3=32-8-8+=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.(多选)(2025·陕西汉中模拟)如图,在四面体PABC中, △PAB∽△PBC,∠APB=30°,PA⊥AB,AB⊥BC,AB=1,D,E,F分别为棱PA,PB,PC上的动点,则下列说法正确的是(　　) A.AE+EF的最小值为 B.四面体PABC的体积为 C.CE+DE的最小值为2 D.二面角B-PA-C的余弦值为 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:因为△PAB∽△PBC,PA⊥AB,所以PB⊥BC. 又AB⊥BC,AB∩PB=B,AB,PB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB. 因为∠APB=30°,AB=1,所以PA=,PB=2,=,即BC=, 所以四面体PABC的体积为××1××=,故B正确. 由BC⊥平面PAB,PA⊂平面PAB,得BC⊥PA. 又PA⊥AB,AB∩BC=B,AB,BC⊂平面ABC,所以PA⊥平面ABC. 又AC⊂平面ABC,则PA⊥AC,所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为BC=,AB⊥BC,所以AC===, 所以cos∠BAC===,故D错误. 将侧面PBC翻折至点C与平面PAB共面,如图所示,过点A作AF1⊥PC于点F1,过点C作CD1⊥PA于点D1, 则AE+EF的最小值为AF1=APsin∠APC=sin 60°=, CE+DE的最小值为CD1=PC·sin∠APC=sin 60°=2,故A错误,C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.(2025·湖南长沙模拟)已知圆台上下底面半径分别为1和2,母线与下底面所成角为60°,则圆台侧面积为　　　　.  6π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:记圆台的轴截面为等腰梯形ABCD,作圆台的轴截面如图, 过点D作DE⊥AB,垂足为E,过点C作CF⊥AB,垂足为F. 因为圆台上下底面半径分别为1和2,母线与下底面所成角为60°, 所以AB=4,CD=2,∠DAE=∠CBF=60°, 所以AE=1,DE=,AD=2, 所以圆台的高为,母线长为2. 故圆台的侧面积S=π(1+2)×2=6π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(2025·山东青岛模拟)已知正三棱台ABC-A1B1C1, AB=2,A1B1=,AA1=,则该正三棱台的体积为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:将正三棱台ABC-A1B1C1补成正三棱锥P-ABC, 设点P在平面A1B1C1的射影为点O,则O为正△A1B1C1的中心,如图所示, 由棱台的性质可知A1B1∥AB,所以==,故PA=2PA1, 所以A1为PA的中点,所以PA1=AA1=, 由正弦定理可得2OA1===2,故OA1=1, 所以OP===1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 又因为=×()2=, 所以=·PO=××1=, 易知点P到平面ABC的距离为h=2, 故VP-ABC=S△ABC·h=××(2)2×2=2, 因此正三棱台ABC-A1B1C1的体积为V=VP-ABC-=2-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.(2025·江苏南通模拟)已知正三棱台ABC-A1B1C1,=,O为底面△ABC的重心,过点O,A1,C1的截面将该三棱台分成两个几何体,则这两个几何体的体积之比为(　　) A.5∶4 B.12∶7 C.2∶1 D.15∶4 能力提升练 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:根据=,不妨设上底面边长为2,∴下底面边长为3, 则在正三棱台ABC-A1B1C1中,可知上表面面积S1=×4=,下表面面积S2=×9=, 过点O作EF∥AC分别交AB,BC于点E,F. ∵O为△ABC的重心,∴=⇒BE=2, ∴A1B1∥BE且A1B1=BE,则四边形A1B1BE为平行四边形, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∴A1E∥BB1且A1E=BB1,同理可得C1F∥BB1且C1F=BB1,∴A1B1C1-EBF为三棱柱, 设此正棱台高为h, 则台体体积V=(++)h=h, 棱柱的体积V1=×4·h=h,另一部分体积V2=h-h=h, ∴两部分体积之比为12∶7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(2025·四川攀枝花模拟)已知母线长为10的圆台的表面积为210π,且其上底面的半径r与下底面的半径R满足R=3r,则R=　　　　.  解析:因为该圆台的表面积为210π,母线长l=10,R=3r, 所以π(r+3r)×10+πr2+π×(3r)2=210π,解得r=3(负值已舍去),则R=9. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 13.(2025·辽宁沈阳模拟)在《九章算术》中将上、下两面为平行矩形的六面体称为“刍童”,关于“刍童”的体积计算曰:“倍上袤,下袤从之,亦倍下袤,上袤从之.各以其广乘之,并,以高若深乘之,皆六而一.”其计算方法是:将上底面的长乘二,与下底面的长相加,再与上底面的宽相乘,将下底面的长乘二,与上底面的长相加,再与下底面的宽相乘,把这两个数值相加,与高相乘,再取其六分之一.已知“刍童”ABCD-EFGH的外接球(球心在该“刍童”体内)半径为5,且AB=3,AD=3,EH=4,EF=4,则该“刍童”的 体积是　　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:取上、下底面的中心分别为O1,O2,外接球的球心为O,连接OB,OF,O1B,O2F,O1O2,由于 AB=3,AD=3,EH=4,EF=4,所以O1B==3,O2F==4, 所以OO1===4,OO2===3,故O2O1=7, 因此V=[(2AB+EH)AD+(2EH+AB)EF]·O2O1=×[(6+4)×3+(8+3)×4]=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.(2025·重庆模拟)阅读下面两则材料解决问题: 材料一:2025 年 4 月 29 日,长征火箭再次腾空,将“互联网低轨卫星”成功送入预定轨道. 低轨卫星距地面一般为160~2 000公里,与高轨卫星相比,有速度快、回传信号质量高等特点,在半径约为6 400公里的地球上空,更像“贴地飞行”. 材料二:球面被平面所截得的一部分叫做球冠,垂直于 截面的直径被截得的一段叫做球冠的高(如图). 当球面 半径为R,球冠高为h时,球冠表面积S=2πRh. 创新拓展练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 问题:若某低轨卫星位于赤道正上方1 600公里高度的轨道,保持高度绕地球一圈 (地球相对静止),回传信号沿直线传输(能直线观测到卫星的地面均可接收到信号),则该卫星回传信号的地表覆盖面积百分比为　　　　.  60% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:令地球半径R=4a,则低轨卫星M到球心O的距离为5a,过M作地球的切线,切点为A,B, AB交OM于O',则OM垂直平分AB,OA⊥AM,AM=3a,O'A==a, 低轨卫星M绕赤道旋转一周没有覆盖到的部分为以O1,O2分别为球冠底面圆心,高为4a-=的两个球冠, 没有覆盖到的面积为2·2π·4a·=,球的表面积为4πR2=64πa2, 所以该卫星回传信号的地表覆盖面积百分比为==60%. 感谢您的观看 $