专题2 第1讲 等差数列与等比数列 基础课 课时作业-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（提升版）

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1.(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=(　　) A.120　　　　　　　　 B.85 C.-85 D.-120 基础巩固练 C 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:法一:设等比数列{an}的公比为q,首项为a1, 若q=-1,则S4=0≠-5,与题意不符,所以q≠-1; 若q=1,则a1≠0,S6=6a1=3×2a1=3S2≠21S2,与题意不符,所以q≠1. 由S6=21S2,可得=21×, 整理得,1+q2+q4=21,解得q2=4或q2=-5(舍去). 由S4==-5, 所以S8==×(1+q4)=-5×(1+16)=-85. 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 法二:设等比数列{an}的公比为q, 因为S4=-5,S6=21S2,所以q≠-1,否则S4=0, 因为S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6成等比数列, 所以有(-5-S2)2=S2(21S2+5),解得S2=-1或S2=. 当S2=-1时,即-1,-4,-16,S8+21成等比数列, 所以(S8+21)×(-4)=(-16)2,解得S8=-85; 当S2=时,=-5<0,不符合题意. 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.(2025·安徽安庆模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2a5=2a4,且a3与2a6的等差中项为,则S4=(　　) A.33 B.31 C.17 D.15 解析:因为等比数列{an}的前n项和为Sn,设其公比为q(q≠0), 由已知得a2a5=a3a4,故a3a4=2a4,所以a3=2,a3+2a6=2×,则a6=, 故q==,所以a1==8,故S4===15. D 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S5=S10,a5=1,则a1=(　　) A.　　　　　　　 B. C.- D.- 解析:因为S5=S10,则a6+a7+a8+a9+a10=0,即5a8=0,所以a8=0, 则公差d==-,所以a1=a8-7d=0-7×(-)=. B 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.(2025·浙江宁波模拟)已知数列{an}中,a2=1,记Sn为{an}的前n项和,2Sn=nan,则a2 026的值为(　　) A.2 023 B.2 024 C.2 025 D.2 026 解析:在数列{an}中,2Sn=nan,当n≥3时,可得2Sn-1=(n-1)an-1, 两式相减,可得2an=nan-(n-1)an-1,即(n-2)an=(n-1)an-1,所以=, 又由a2=1,则a2 026=a2×××…×=1×××…×=2 025. C 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(2025·辽宁盘锦模拟)已知数列{an}满足a1=,=+,若an>0,则a8=(　　) A. B. C. D. 解析:依题意,4n·=4n-1·+1,又4×=1,故数列{4n·}是首项为1,公差为1的等差数列, 则4n·=n.因为an>0,所以an=,则a8==. D 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.已知数列{an}满足2an+1an+an+1-3an=0,且a1>0,若数列{an}为递增数列,则a1的取值范围是(　　) A.(0,) B.(0,) C.(0,1) D.(1,2) C 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:由数列{an}为递增数列,a1>0,得an≥a1>0,由2an+1an+an+1-3an=0, 得an+1=,即==·+,因此-1=·(-1), 所以数列-1为首项,为公比的等比数列,-1=(-1)·()n-1, 整理得an=,而an+1>an>0, 则>>0,整理得(-1)·<-1, 因此-1>0,解得0<a1<1,所以a1的取值范围是(0,1). 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.(多选)(2025·全国二卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和,q为{an}的公比,q>0.若S3=7,a3=1,则(　　) A.q= B.a5= C.S5=8 D.an+Sn=8 AD 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:根据题意,由①÷②得 ++1=7,化简得6q2-q-1=0,解得q=或q=-(舍去),故A正确;由A可知 q=,则 a1==4,因此an=4×,则 a5=4×=,故B错误;S5==,故C错误;an+Sn=4×+=+8-=8,故D正确. 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.(多选)(2025·山东潍坊模拟)设函数f(x)=,数列{xn}满足x1=,xn+1=f(xn),则(　　 ) A.x2= B.f(xn)+f()为定值 C.数列为等比数列 D.xn<1+ ACD 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:由xn+1=f(xn)=,x1=,则x2===,故A正确; 由f(xn)+f()=+==,则显然f(xn)+f()的结果不是定值,故B错误; 由===5·,又=5,则=5, 则数列是以5为首项,5为公比的等比数列,故C正确; 则=5n,即xn=+1,由1+-xn=1+-(+1)=>0,则xn<1+,故D正确. 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.(2025·山东淄博模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0),满足an+ Sn-1Sn=0(n≥2),a1=1,则S100=　　　　.  解析:由an+Sn-1Sn=0(n≥2)可得Sn-Sn-1+Sn-1Sn=0(n≥2), 又Sn≠0,则-+1=0,即-=1,当n=1时,==1, 所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列, 则=1+(n-1)×1=n,则=100,所以S100=. 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.已知Sn是各项均为正实数的数列{an}的前n项和,a1=1,-an+1an-6=0.若2Snan-man+27≥0,则实数m的取值范围是　　　　.  解析:因为a1=1,-an+1an-6=(an+1-3an)(an+1+2an)=0,且{an}是各项均为正实数的数列,所以an+1=3an,即数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列, 所以an=3n-1,故Sn==.因为2Snan-man+27≥0,所以(3n-1)·3n-1-3n-1·m+27≥0,即m≤3n+-1恒成立. 又3n+-1≥2-1=17,当且仅当n=2时等号成立,所以m≤17, 即实数m的取值范围是(-∞,17]. (-∞,17] 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.(多选)(2025·湖北武汉模拟)已知数列{an}满足a1+2a2+…+2n-1an=n·2n,{an}的前n项和为Sn,则(　　) A.a1=2 B.数列{an}是等比数列 C.Sn,S2n,S3n构成等差数列 D.数列的前100项和为 能力提升练 AD 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:对于A,当n=1时,可得a1=1×21=2,故A正确; 对于B,a1+2a2+…+2n-1an=n·2n, 当n≥2时,a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n-1, 两式相减可得2n-1an=n·2n-(n-1)·2n-1=(n+1)2n-1,所以an=n+1, 当n=1时,a1=2适合上式,所以an=n+1, 由=不是常数,所以数列{an}不是等比数列,故B错误; 对于C,由an=n+1可知,an-an-1=n+1-n=1, 所以{an}是以2为首项,1为公差的等差数列, 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以Sn=2n+,所以S2n=4n+,S3n=6n+, Sn+S3n=2n++6n+=8n+5n2-2n,又2S2n=8n+4n2-2n,所以Sn+S3n≠2S2n,所以Sn,S2n,S3n不构成等差数列,故C错误; 对于D,==-, 所以+++…+ =-+-+-+…+-=-==,故D正确. 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(多选)(2025·江西九江模拟)若数列{an}满足a1=2,a2=4,2an+an+2=3an+1,数列{bn}的前n项积等于数列{an}的前n项和,则(　　 ) A.{an+1-an}是等比数列 B.{an}是等比数列 C.{bn}是递减数列 D.当n≥2时,an+1>an>bn+1 ABD 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:对于A:由2an+an+2=3an+1,得an+2-an+1=2(an+1-an),且a2-a1=2, 故{an+1-an}是首项为2,公比为2的等比数列,故A正确; 对于B:由A可知an+1-an=2n,∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1, 即an=(2n-1+2n-2+…+2)+2=+2=2n,故{an}是等比数列,故B正确; 对于C:设{bn}的前n项积为Tn,{an}的前n项和为Sn,Tn=Sn==2n+1-2, 当n=1时,b1=T1=S1=2,当n≥2时,bn===2+,∴数列{bn}单调递减, 而b2=3,b1<b2,故C错误; 对于D:当n≥2时,∵an-bn=2n-2-=>0,∴an>bn,∴an+1>an>bn>bn+1,故D正确. 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 13.(2025·河南许昌模拟)在数列{an}中,a1=0,a2=4,且an+2=2an+1-an+2. (1)证明:{an+1-an}是等差数列; 证明:∵在数列{an}中,a1=0,a2=4,且an+2=2an+1-an+2, ∴an+2-an+1-(an+1-an)=2an+1-an+2-an+1-(an+1-an)=2, ∴{an+1-an}是首项为a2-a1=4,公差为2的等差数列. 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 (2)求数列的前n项和Sn,并比较Sn与log2的大小. 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 解:由(1)得an+1-an=4+2(n-1)=2n+2, 则an+1-an+an-an-1+…+a2-a1=2n+2+2n+…+4==n(n+3), ∴an+1=n(n+3),即an=(n-1)(n+2)(n>1), 又a1=0符合an=(n-1)(n+2), ∴an=(n-1)(n+2)=n2+n-2, 故===-, ∴Sn=1-+-+…+-=1-. 则对于n∈N*,Sn=1-<1, 又log2>log22=1,故Sn<log2. 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.(2025·山东济宁模拟)设数列{an}的首项a1为常数(a1≠),且an+1=3n-2an(n∈N*). (1)证明:是等比数列. 证明:===-2, 因为a1≠,所以a1-≠0, 所以数列是首项为a1-,公比为-2的等比数列. 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若a1=,{an}中是否存在连续三项成等差数列?若存在,写出这三项;若不存在,请说明理由. 解:因为a1=,所以数列的首项是a1-=, 所以an-=·(-2)n-1,则an=·(-2)n-1+. 若{an}中存在连续三项成等差数列,则必有2an+1=an+an+2, 即2[+·(-2)n]=+·(-2)n-1++·(-2)n+1, 整理为-=,解得n=4,所以a4,a5,a6成等差数列. 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3)若{an}是递增数列,求a1的取值范围. 解:如果an+1>an,即+(a1-)·(-2)n>+(a1-)·(-2)n-1对任意n∈N*均成立, 化简得·3n>-(a1-)·(-2)n, 当n为偶数时,a1>-·()n恒成立,因为p(n)=-·()n是递减数列, 所以p(n)的最大值是p(2)=0,即a1>0, 当n为奇数时,a1<+·()n恒成立,q(n)=+·()n单调递增, 所以q(n)的最小值为q(1)=1,即a1<1, 所以a1的取值范围是(0,1). 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15.(2025·河北保定模拟)现有n个串联的信号处理器单向传输信号,处理器的工作为:接收信号——处理并产生新信号——发射新信号.当处理器接收到一个A类信号时,会产生一个A类信号和一个B类信号并全部发射至下一个处理器;当处理器接收到一个B类信号时,会产生一个A类信号和两个B类信号,产生的B类信号全部发射至下一个处理器,但由接收B类信号直接产生的所有A类信号只发射一个至下一个处理器.当第一个处理器只发射一个A类信号至第二个处理器,按上述规则依次类推,若第n个处理器发射的B类信号数量记作bn,即b1=0,则b4=　　　　,数列{bn}的通项公式 bn=　　 　 　.  15 创新拓展练 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:设第n个处理器发射的A类信号数量记作an,则a1=1,b1=0, 由题意,当n≥2时,第n个处理器发射的A类信号数量为n-1, 即当n≥2时,an=n-1, 当n≥2时,bn=an-1+2bn-1,则b2=a1+2b1=1,b3=a2+2b2=3,b4=a3+2b3=8, 故当n≥3时,bn=n-2+2bn-1,可得bn+n=2(bn-1+n-1),又b2+2=3, 所以数列{bn+n}从第二项开始是以3为首项,2为公比的等比数列, 所以bn+n=3·2n-2, 所以bn=3·2n-2-n,n≥2, 当n=1时,上式不成立, 所以bn= 15 感谢您的观看 $