专题1 第3讲 平面向量 基础课 课时作业-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（提升版）

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1.(2025·天津模拟)如图,在△ABC中,D是边AB上一点,且BD=2AD,E是CD的中点.设=a,=b,则可以表示为(　　) A.a+b　　　　　　 B.a+b C.a-b D.a-b 解析:由题设知=+=+=+(+)=+,所以=a+b. 基础巩固练 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.(2025·河北邯郸模拟)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若(a+λb)⊥(μa+b),则(　　) A.μ-λ=0 B.μ+λ=0 C.λμ+5=0 D.λμ-5=0 解析:由题知,a+λb=(2+λ,1-2λ),μa+b=(2μ+1,μ-2), ∵(a+λb)⊥(μa+b),∴(a+λb)·(μa+b)=0,∴(2+λ)(2μ+1)+(1-2λ)(μ-2)=0,整理得λ+μ=0. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.(2023·全国乙卷)已知正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,则·=(　　) A. B.3 C.2 D.5 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:法一:以{,}为基底向量,可知||=||=2,·=0, 则=+=+,=+=-+, 所以·=(+)·(-+)=-+=-1+4=3. 法二:如图,以A为坐标原点建立平面直角坐标系,则E(1,0),C(2,2),D(0,2),可得=(1,2),=(-1,2),所以·=-1+4=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.(2024·全国甲卷)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则(　　) A.x=-3是a⊥b的必要条件 B.x=1+是a∥b的必要条件 C.x=0是a⊥b的充分条件 D.x=-1+是a∥b的充分条件 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:对于A,当a⊥b时,则a·b=0, 所以x(x+1)+2x=0,解得x=0或x=-3,即必要性不成立,故A错误; 对于C,当x=0时,a=(1,0),b=(0,2),故a·b=0, 所以a⊥b,即充分性成立,故C正确; 对于B,当a∥b时,则2(x+1)=x2,解得x=1±,即必要性不成立,故B错误; 对于D,当x=-1+时,不满足2(x+1)=x2,所以a∥b不成立,即充分性不成立,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(2025·湖南岳阳模拟)已知非零向量a,b,若|a|=|b|,且(a+b)⊥(a-2b),则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:由(a+b)⊥(a-2b)可得 (a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=0, 故2|b|2-|b|·|b|cos<a,b>-2|b|2=0, 所以cos<a,b>=0, 由于<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(2025·江苏南通模拟)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2AB,AB⊥AD, E是CD的中点,若=λ+μ,则λ+μ=(　　) A.1 B. C. D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:由图可知:=-,=+=--, =-=-. 因为=λ+μ,所以-=λ(--)+μ(-), 整理得-=(-λ+μ)-(λ+μ), 根据平面向量基本定理可得所以λ+μ=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.(多选)(2025·山东菏泽模拟)已知平面向量a=(2,sin θ),b=(cos θ,1),则下列说法正确的有(　　) A.向量a,b不可能垂直 B.向量a,b不可能共线 C.|a+b|不可能为3 D.若θ=,则a在b上的投影向量为b BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:对于选项A,若向量a⊥b,则a·b=2cos θ+sin θ=0,即tan θ=-2,所以当tan θ=-2时,向量a⊥b,故A错误; 对于选项B,若向量a∥b,则有2×1-sin θcos θ=0,即2-sin 2θ=0, 即sin 2θ=4,显然不成立,所以向量a,b不可能共线,故B正确; 对于选项C,|a+b|===, 则当cos(θ-φ)=时,|a+b|=3,故C错误; 对于选项D,若θ=,则a=(2,1),b=(0,1), 则a在b上的投影向量为=b=b,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.(多选)(2025·江苏泰州模拟)已知△ABC是边长为4的正三角形,该三角形的内心为点O,下列说法正确的是(　 　) A.在方向上的投影向量的模为2 B.·=8 C.|+|= D.若P为△ABC外接圆上任意一点,则|++|=4 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:如图,正△ABC的内心为O,则O也为△ABC的外心和重心, D,E,F分别是BC,CA,AB的中点,则CF⊥AB,O在CF上,AB=4,则BF=AF=2,OF=CF=, ,所以 方向上的投影向量的模,模为2,A正确; ·=||||=4×2=8,B正确; |+|=|+|=|2|=,C错误; |++|=|+++++|=|3+++|=3||=3|OC|=3×=4,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.(2025·全国二卷)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x).若a⊥(a-b),则|a|=　　　　.  解析:由题意得a-b=(1,1-2x),由a⊥(a-b),得a·(a-b)=0,即x+1-2x=0,所以x=1,所以a=(1,1),故|a|=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(2025·湖南娄底模拟)设非零向量a,b,c满足(a·b)c=(b·c)a,且|a|=|c|=2,b=(-1,).若向量a在b上的投影向量为-b,则向量b与c的夹角是　　　　.  解析:因为(a·b)c=(b·c)a,即|a||b|cos<a,b>·c=|b||c|cos<b,c>·a,所以a∥c, 且|a||b||cos<a,b>|·|c|=|b||c||cos<b,c>|·|a|,即|cos<a,b>|=|cos<b,c>|. 由b=(-1,),得|b|=2,因为向量a在b上的投影向量为b,由题意得=-,所以a·b=-2.设向量a与b的夹角为θ,因为|a|=2,所以a·b=|a|·|b|cos θ=4cos θ=-2,所以cos θ=-,即a与b的夹角是,所以b与c的夹角是. 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.(2025·北京模拟)在△ABC中,CA=CB=,AB=4,M为△ABC所在平面内一点且·=0,则·的最小值为(　　) A.0 B.- C.- D.- 能力提升练 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:在△ABC中,由余弦定理cos C===-,故C为钝角.又·=0,故点M在△ABC底边BC的高线上, 则以BC所在直线为x轴,以其上的高线为y轴建立平面直角坐标系如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 又cos∠ACO=-cos C=,则sin∠ACO=, 故OA=AC×sin∠ACO=×=,OC=AC×cos∠ACO=×=, 则A(0,),C(,0),设M(0,m),m∈R, 则=(0,m-),=(-,m), 故·=m(m-)=(m-)2-≥-,当且仅当m=时取得等号, 即·的最小值为-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(2025·江西宜春模拟)铜钱,古代铜质辅币,其形状如图所示.若图中正方形ABCD的边长为4,圆O的半径为4,正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合,动点P在圆O上,且=λ+μ,则λ+μ的最大值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),D(0,4), 点P在圆(x-2)2+(y-2)2=32上,设点P(2+4cos θ,2+4sin θ), 则=(2+4cos θ,2+4sin θ),=(4,0),=(0,4). 因为=λ+μ, 所以(2+4cos θ,2+4sin θ)=λ(4,0)+μ(0,4)=(4λ,4μ), 所以4λ=2+4cos θ,4μ=2+4sin θ, 所以λ+μ=sin θ+cos θ+1=2sin(θ+)+1≤3,即λ+μ的最大值为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 13.(2025·河北秦皇岛模拟)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin(B-∠BAC)=sin B-sin C,点D,E在边BC上,=+,与+共线,且||=,||=,则a=　　　　.  2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:由sin(B-∠BAC)=sin B-sin C可得sin(B+∠BAC)+sin(B-∠BAC)=sin B, 即2sin Bcos∠BAC=sin B.因为B∈(0,π),sin B>0,所以cos∠BAC=. 又∠BAC∈(0,π),所以∠BAC=,由=+=+,平方得7=b2+c2+bc,所以b2+c2+bc=28.因为+共线,所以AE为∠BAC的平分线,由S△BAE+S△CAE=S△BAC可得c·AE·sin+b·AE·sin=bcsin, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 整理可得b+c=bc,由 得bc=8,b2+c2=20, 由余弦定理可得a===2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.(2025·上海模拟)△ABC内一点F(见图1),式子FA+FC+FB可以写成1×FA+1×FC+1×FB,这个式子中FA,FC,FB的系数均为1,以三个系数1作为边长可构造一个等边三角形,因此我们尝试把△AFC绕点C顺时针旋转,得到△A'F'C(见图2),所以FA+FC+FB等于F'A'+F'F+FB,显然F'A'+F'F+FB≥A'B,当A',F',F,B四点共线时(见图3),FA+FC+FB最小. 创新拓展练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 试用类似的方法解决下面这道题目: 已知a是平面内的任意一个向量,向量b,c满足b·c=0,且|b|=4,|c|=4,则|a-b|+|a-c|+|a+c|的最小值为　　　　.  8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:在如图所示的平面直角坐标系Oxy中,设B(4,0),C1(0,4),C2(0,-4), 不妨设a=,b=,c= , 由题意可得|a-b|+|a-c|+|a+c|=|AB|+|AC1|+|AC2|, 将△ABC2绕点B逆时针旋转得到△A'BC',则|AA'|=|AB|,|A'C'|=|AC2|, 其中点C'(8,-4), 故|a-b|+|a-c|+|a+c|=|AB|+|AC1|+|AC2|=|AA'|+|AC1|+|A'C'|≥|C1C'|==8, 当且仅当点A与点B重合时,此时,点A'也与点B重合,等号成立, 故|a-b|+|a-c|+|a+c|的最小值为8. 感谢您的观看 $