专题5 培优突破5 常见赛制、决策问题-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“计数原理、概率、随机变量及其分布”专题，围绕赛制问题和决策问题两大核心考点，依据高考评价体系明确考查要求，通过表格归纳m/n赛制、固定赛制等类型，结合2024新课标Ⅱ卷真题分析考点权重，构建“规则解读-分类讨论-概率计算”的解题体系。 课件亮点在于“真题引领+方法建模+素养提升”，以5局3胜制概率计算为例，培养学生数学思维和数据观念，总结“比赛终止条件分析”等技巧，培优题组涵盖小组赛晋级、设备故障决策等情境，助力学生掌握答题逻辑，教师可据此开展针对性复习，提升备考效率。

培优突破5　常见赛制、决策问题 第一部分　专题突破 专题五　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考分析 1.赛制问题通常结合具体的比赛规则,计算参赛方在不同情况下的获胜概率,考查对概念的理解、分类讨论的思想方法.　2.决策问题通常根据给定的条件(如:方案的收益、风险概率等),运用概率知识分析,作出最优决策,考查数学建模和实际应用能力. 考点一　赛制问题 内容索引 考点二　决策问题 培优　题组集训 3 考点一　赛制问题 考点一　赛制问题 n局m 胜制 这种规则的特点为一旦某方获得m次胜利即终止比赛,所以若比赛提前结束,则一定在最后一次比赛中某方达到m胜 连胜制 规定某方连胜m场即终止比赛,所以若提前结束比赛,则最后m场连胜且之前没有达到m场连胜 积分制 1.规定某方比对方多m分即终止比赛,此时首先根据比赛局数确定比分,在得分过程中要注意使两方的分差小于m. 2.一共有m局比赛,每位选手都参加m局比赛,每局比赛相互独立,最终计算全部比赛的得分分布列,这种就类似于足球比赛中的联赛制,必须打满一定的场次 常见的赛制问题   考点一　赛制问题 [例1]　(2025·浙江嘉兴模拟)甲、乙两选手进行羽毛球比赛,比赛采用5局3胜制,如果每局比赛甲获胜的概率是,乙获胜的概率是,求: (1)比赛完4局且甲获胜的概率; [解]　比赛完4局且甲获胜,则第4局甲胜,前3局甲胜两局, 设事件A为“比赛完4局且甲获胜”,则P(A)=()2××=. 考点一　赛制问题 (2)在第3局乙获胜的情况下,最终是甲获胜的概率. [解]　设B为“甲获胜”,C为“第3局乙获胜”,则P(C)=, BC事件包含两种情况,第3局乙获胜,第4局比赛后最终甲获胜和第3局乙获胜,第5局比赛后最终甲获胜, 若第3局乙获胜,第4局比赛后最终甲获胜,则乙只在第3局获胜,概率为()3×=, 考点一　赛制问题 若第3局乙获胜,第5局比赛后最终甲获胜,则第1,2,4局中,有1局乙获胜,有2局甲获胜,第5局甲获胜,概率为()2×××=, 则P(BC)=+=, 故P(B|C)===. 考点一　赛制问题 　首先明确比赛规则,确定比赛可能出现的各种结果.然后根据独立事件、互斥事件的概率公式,分别计算不同结果的概率,最后根据题目要求进行求和或其他运算.例如在n局m胜制的比赛中,要考虑比赛在m局、m+1局、…、n局结束的各种情况,分别计算概率后相加得到最终结果. 方法总结 考点一　赛制问题 1.(2025·湖南长沙模拟)甲、乙两人进行数学知识问答抢答赛,比赛共有3道抢答题,每道题均有人抢答,其计分规则:初始甲、乙双方均为0分,答对一题得1分,答错一题得-1分,未抢到题得0分,最后累计总分多的人获胜.假设甲、乙抢到每题的成功率相同,且甲、乙两人每题答题正确的概率分别为和.求: (1)在3道题均被乙抢到的条件下,设乙答题得分为X,求X的分布列和期望值; 对点训练 考点一　赛制问题 解:依题意,X的所有可能取值为-3,-1,1,3, 则P(X=-3)=()3=, P(X=-1)=()()2=, P(X=1)=()2()=, P(X=3)=()3=, 故X的分布列为 E(X)=-3×-++=-1. X -3 -1 1 3 P 考点一　赛制问题 (2)甲在比赛中获胜的概率. 解:设甲获胜为事件A,甲在比赛中共抢到i(i=0,1,2,3)道题为事件Ai, 则P(A3)=()3=,P(A2)=()3=, P(A1)=()3=,P(A0)=()3=, P(A|A3)=()3+()3=, P(A|A2)=()2+()(1-)(1-)=, 考点一　赛制问题 P(A|A1)=×(×+2××)+(1-)××=, P(A|A0)=()3+()()2=, 所以P(A)=P(A3)P(A|A3)+P(A2)P(A|A2)+P(A1)P(A|A1)+P(A0)P(A|A0)=. 考点二　决策问题 考点二　决策问题 常见决策问题的类型:依托数学期望、方差作决策;利用概率的最值作决策;构造决策目标的随机变量作决策等. 考点二　决策问题 [例2]　(2024·新课标Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中1次,则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投篮投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立. 考点二　决策问题 (1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率. [解]　甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分,则甲第一阶段至少投中1次,乙第二阶段也至少投中1次, ∴比赛成绩不少于5分的概率P=(1-0.63)(1-0.53)=0.686. 考点二　决策问题 (2)假设0<p<q. (ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛? 考点二　决策问题 [解]　若甲参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲=[1-(1-p)3]q3, 若乙参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙=[1-(1-q)3]p3. ∵0<p<q, ∴P甲-P乙=q3-(q-pq)3-p3+(p-pq)3 =(q-p)(q2+pq+p2)+(p-q)[(p-pq)2+(q-pq)2+(p-pq)(q-pq)] =(p-q)(3p2q2-3p2q-3pq2) =3pq(p-q)(pq-p-q)=3pq(p-q)[(1-p)(1-q)-1]>0, ∴P甲>P乙,应该由甲参加第一阶段比赛. 考点二　决策问题 (ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛? 考点二　决策问题 [解]　若甲参加第一阶段比赛,比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15, P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3](1-q)3, P(X=5)=[1-(1-p)3]q(1-q)2, P(X=10)=[1-(1-p)3]q2(1-q), P(X=15)=[1-(1-p)3]q3, ∴E(X)=15[1-(1-p)3]q=15(p3-3p2+3p)q. 若乙参加第一阶段比赛,比赛成绩Y的所有可能取值为0,5,10,15, 同理E(Y)=15(q3-3q2+3q)p. ∴E(X)-E(Y)=15[pq(p+q)(p-q)-3pq(p-q)]=15(p-q)pq(p+q-3). ∵0<p<q,则p-q<0,p+q-3<1+1-3<0, 则(p-q)pq(p+q-3)>0,∴应该由甲参加第一阶段比赛. 考点二　决策问题 　解决决策问题一般先构建决策模型,确定决策的目标和变量,然后计算不同决策方案的期望收益、方差等指标,通过比较这些指标来评估方案的优劣.同时,还需考虑题目中的限制条件和特殊情况,综合作出决策. 方法总结 考点二　决策问题 对点训练 2.(2025·甘肃平凉模拟)某公司生产的某种产品按照质量标准分为一等品、二等品、三等品共3个等级,采购商小李从该公司生产的该种产品中随机抽取100件,根据产品的等级分类得到如表所示数据: 等级 一等品 二等品 三等品 数量/件 40 30 30 考点二　决策问题 (1)根据产品等级,按分层随机抽样的方法从这100件产品中抽取10件,再从这10件产品中随机抽取3件,记这3件产品中一等品的数量为X,求X的分布列及数学期望. 考点二　决策问题 解:由题可得,抽取的10件产品中,一等品有4件,非一等品有6件, 所以X的可能取值为0,1,2,3. P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==,P(X=3)==, 则X的分布列为 E(X)=0×+1×+2×+3×=(件). X 0 1 2 3 P 考点二　决策问题 (2)若将频率视为概率,从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品,求恰好有1件三等品的概率. 解:从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品,记抽到三等品的数量为Y,则Y~B(3,), 所以P(Y=1)=××()2=. 考点二　决策问题 (3)该公司提供该产品的两种销售方案供采购商小李选择, 方案一:产品不分类,售价均为21.5元/件. 方案二:分类卖出,分类后的产品售价如表所示: 从采购商小李的角度考虑,你觉得应该选择哪种销售方案?请说明理由. 等级 一等品 二等品 三等品 售价/(元/件) 24 22 18 考点二　决策问题 解:由题意得,方案二的产品的平均售价为 24×+22×+18×=21.6(元/件). 因为21.5<21.6, 所以从采购商小李的角度考虑,应该选择方案一. 培优　题组集训 培优　题组集训 1.(2025·江西赣州模拟)某篮球队参加一场比赛,比赛分为两个阶段.小组赛阶段:进行3场小组赛,至少赢得2场才能晋级排名赛,否则淘汰.排名赛阶段:进行3场比赛,每赢一场可额外获得奖金.已知该篮球队小组赛阶段每场获胜的概率均为0.8,若能晋级,排名赛阶段每场比赛获胜的概率均为0.6.该球队参加小组赛能获得出场费50万元,排名赛每赢一场比赛,获得100万元奖金.设该球队参加这项赛事获得的总奖金为随机变量X(单位:万元),则随机变量X的数学期望是(　　) A.166.48　　　　　　　 B.211.28 C.216.48 D.230 B 培优　题组集训 解析:因为该篮球队小组赛阶段每场获胜的概率均为0.8, 所以晋级排名赛的概率为×0.82×0.2+×0.83=0.896, 设排名赛该球队赢了Y场,排名赛阶段每场比赛获胜的概率均为0.6, 则Y~B(3,0.6),E(Y)=3×0.6=1.8, 所以随机变量X的数学期望E(X)=50+0.896×100E(Y)=211.28(万元). 培优　题组集训 2.(2025·江苏南通模拟)某校高三年级共8个班举行乒乓球比赛,每班派一名选手代表班级参加,每一轮比赛前抽签决定对阵双方,败者淘汰,胜者进入下一轮,直至最后产生冠军,其中各场比赛结果相互独立.根据以往经验,高三(1)班选手甲和高三(2)班选手乙水平相当,且在所有选手中水平稍高,他们对阵其他班级选手时获胜的概率都为,除甲、乙外的其他6名选手水平相当,则高三(1)班的选手甲通过第一轮的概率 为　　　　;第三轮比赛由甲、乙争夺冠军的概率为　　　　.  培优　题组集训 解析:甲在首轮遇到乙的概率为,此时甲获胜的概率为,甲遇到其他6名选手的概率为,此时甲获胜的概率为, 所以甲通过第一轮的概率为P=×+×=+=. 第一轮中甲和乙不相遇且两人均获胜,其概率为P1=×()2=, 进入第二轮的4人中,甲和乙不相遇的概率为,且两人均击败对手的概率为()2, 故第二轮中甲和乙不相遇且两人均获胜,其概率为P2=×()2=, 所以甲、乙在第三轮争夺冠军的概率为P=P1P2=×=. 培优　题组集训 3.(2025·广西南宁模拟)已知某次乒乓球比赛单局赛制:每两球交换发球权,每赢1球得1分,先得11分者获胜.当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜.若单局比赛中,甲发球时获胜的概率为,甲接球时获胜的概率为. (1)当某局打成10∶10平后,甲先发球,求“两人又打了4个球且甲获胜”的概率; 解:由题意知,这4个球的得分情况为 前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分, 因此所求概率为[×(1-)+(1-)×]××=. 培优　题组集训 (2)在单局比赛中,假如甲先发球,求甲最终11∶2获胜的概率. 解:因为甲先发球,且甲11∶2获胜,所以一共打了13个球,最后1个球由甲发球,且最后一球甲赢, 前12球,甲发球6次,乙发球6次,乙共获胜2次,所以单局比赛中甲11∶2获胜的概率为×[()6·()6+()6·()()5+()6·()2()4]=. 培优　题组集训 4.(2025·河北秦皇岛模拟)某大棚蔬菜种植基地为增强光照强度,引进了4台大型照明设备,已知在一个月时间里,每台设备至多出现一次故障,且每台设备是否出现故障互不影响,出现故障时需要一名技术员维修,每台设备出现故障的概率均为. (1)设一个月内这4台设备有X台出现故障,请写出X的分布列和数学期望. 培优　题组集训 解:由题意可知X~B(4,), 则P(X=k)=()k·()4-k(k=0,1,2,3,4). 则X的分布列为 X的数学期望E(X)=4×=. X 0 1 2 3 4 P 培优　题组集训 (2)如果该种植基地要保证在任何时刻设备同时出现故障时每台设备都能及时得到维修的概率不小于0.85,那么应该至少雇佣多少名技术员? 解:设在某一时刻同时出现故障的设备数为Y,则Y~B(4,). 设该种植基地雇佣n名技术员,则由题意可知P(Y≤n)≥0.85, 又P(Y≤1)=P(Y=0)+P(Y=1)=+=<0.85, P(Y≤2)=P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)=+=>0.85, 所以应该至少雇佣2名技术员. 培优　题组集训 (3)已知1名技术员每月只能维修1台设备,每月需支付给每位技术员1万元工资.每台设备不出现故障或者出现故障能及时维修,就能带来5万元利润,否则就不产生利润,为使每月利润更高,请判断该基地应该雇佣2名技术员还是3名技术员? 培优　题组集训 解:设种植基地每月利润为Z万元. ①雇佣2名技术员,则Z的可能取值为8,13,18. P(Z=8)=P(Y=4)=, P(Z=13)=P(Y=3)=, P(Z=18)=P(Y≤2)==, 所以每月平均利润E(Z)=8×+13×+18×=(万元). 培优　题组集训 ②雇佣3名技术员,则Z的可能取值为12,17, P(Z=12)=P(Y=4)=, P(Z=17)=P(Y≤3)=, 所以每月平均利润E(Z)=12×+17×=(万元). 因为>,所以应该雇佣2名技术员. 感谢您的观看 $