专题2 培优突破1 三角函数中与ω有关的问题-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（基础版）

培优突破1　三角函数中与ω有关的问题 第一部分　专题突破 专题二　三角函数与平面向量 高考分析 在三角函数的图象与性质中,ω的求解是近几年高考的一个热点内容,但因其求法复杂,涉及的知识点多,历来是复习的重点也是难点. 考点一　利用三角函数的单调性求解 内容索引 考点二　利用三角函数的对称性求解 考点三　利用三角函数的最值(值域)求解 考点四　利用三角函数的零点求解 培优　题组集训 3 考点一　利用三角函数的单调性求解 考点一　利用三角函数的单调性求解 [例1]　(2025·辽宁锦州模拟)已知函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)在区间(,)上单调,则ω的取值范围为(　　) A.(,1)　　　　　　 B.[,1) C.(0,) D.(0,] D 考点一　利用三角函数的单调性求解 [解析]　由题可知f(x)的最小正周期为T=,因为f(x)在区间(,)上单调, 所以T≥-=π,则≥π,解得0<ω≤1, 当x∈(,)时,ωx+∈(+,+), 且+∈(,],+∈(,], 所以+≤π,解得ω≤,结合0<ω≤1,得ω的取值范围为(0,]. 考点一　利用三角函数的单调性求解 　确定函数的单调区间,根据区间之间的包含关系建立不等式,即可求ω的取值范围. 方法总结 考点一　利用三角函数的单调性求解 1.(2025·河南郑州模拟)将函数f(x)=sin 2x-cos 2x图象上所有点的横坐标变为原来的(ω>0),纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,若g(x)在(0,)上单调,则ω的取值范围为(　　) A.(0,1] B.(0,] C.[1,+∞) D.[,+∞) 对点训练 A 考点一　利用三角函数的单调性求解 解析:f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin(2x-),则g(x)=2sin(2ωx-). 由0<x<,得-<2ωx-<-. 因为g(x)在(0,)上单调,所以-≤,得0<ω≤1. 考点二　利用三角函数的对称性求解 考点二　利用三角函数的对称性求解 [例2]　已知函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于(,0)对称,f(x)在(,)上具有单调性,则ω的最大值为(　　) A.16　　　　　　　　　 B.18 C.32 D.36 A 考点二　利用三角函数的对称性求解 [解析]　把函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到y=sin(ωx+), 因为y=sin(ωx+)的图象关于(,0)对称,所以+=kπ,k∈Z,即ω=4k,k∈Z, 当x∈(,)时,ω<ωx<ω(ω>0). 又因为ω=4k,ω>0,k∈N*,所以kπ<ωx<kπ. 因为f(x)在(,)上具有单调性, 所以kπ≤+kπ,所以k≤, 所以k的最大值为4, 所以ω的最大值为16. 考点二　利用三角函数的对称性求解 　三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为,相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为,这就说明,我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性,解决问题的关键在于运用整体代换的思想,建立关于ω的不等式组,进而可以研究ω的取值范围. 方法总结 考点二　利用三角函数的对称性求解 对点训练 2.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)在区间(0,π)上恰有两个极大值点、三个对称中心,则(　　) A.<ω≤ B.≤ω< C.<ω≤ D.≤ω< A 考点二　利用三角函数的对称性求解 解析:当ω>0,x∈(0,π)时,ωx+∈(,πω+), 因为f(x)=sin(ωx+)在区间(0,π)上恰有两个极大值点、三个对称中心, 所以πω+∈(3π,4π],解得ω∈(,]. 考点三　利用三角函数的最值 (值域)求解 考点三　利用三角函数的最值(值域)求解 [例3]　(2025·天津模拟)设定义在R上的函数f(x)=sin2(ωx+)-sin2(ωx-)(ω>0),f()=f(π),且f(x)在区间(,π)上有最大值,无最小值,则当ω取最小值时,f(x)的最小正周期为(　　) A.4π　　　　　　　 B.3π C.2π D.π B 考点三　利用三角函数的最值(值域)求解 [解析]　因为f(x)=sin2(ωx+)-sin2(ωx-), 所以由二倍角公式得f(x)=-, 结合诱导公式得f(x)=-=sin 2ωx. 因为f()=f(π),又f(x)在区间(,π)上有最大值,无最小值,所以f(x)关于x=π对称且在x=π处取得最大值, 令2ω×π=+2kπ,k∈Z,则ω=+k,k∈Z. 考点三　利用三角函数的最值(值域)求解 因为ω>0,所以当k=0时,ω最小,此时ω=, f(x)=sin x. 当x∈(,π)时,x∈(,π), 令t=x∈(,π),则f(x)=sin x变为g(t)=sin t, 由正弦函数性质得g(t)在(,)上单调递增,在[,π)上单调递减, 则此时g(t)最大值为g()=sin =1,g(t)无最小值, 得到此时f(x)有最大值,无最小值,符合题意, 由正弦函数的最小正周期公式得T==3π,故B正确. 考点三　利用三角函数的最值(值域)求解 方法总结 　利用三角函数的最值,可以列出关于ω的不等式(组),进而求出ω的值或取值范围. 考点三　利用三角函数的最值(值域)求解 对点训练 3.若函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0)在[0,π]上的值域为[-,1],则ω的最小值为(　　) A. B. C. D. A 考点三　利用三角函数的最值(值域)求解 解析:∵0≤x≤π,∴-≤ωx-≤ωπ-. ∵f(x)在[0,π]上的值域为[-,1], f(0)=sin(-)=-, ∴≤ωπ-≤,整理可得≤ω≤, 又∵ω>0,∴ω的最小值为. 考点四　利用三角函数的零点求解 考点四　利用三角函数的零点求解 [例4]　(2025·河北唐山模拟)已知函数f(x)=3sin(ωx+)-(ω>0)在区间(0,π)上恰好存在5个零点,则正整数ω=　　　　.  5 考点四　利用三角函数的零点求解 [解析]　令f(x)=0,即sin(ωx+)=,当x∈(0,π)时,ωx+∈(,ωπ+). 因为sin(ωx+)=,故ωx+=+2kπ或+2kπ,其中k∈Z, 从小到大,设函数f(x)的正零点分别为x1,x2,x3,x4,x5,x6, 则有ωx1+=,ωx2+=,ωx3+=, ωx4+=,ωx5+=,ωx6+=, 由题意知<ωπ+≤,解得<ω≤,故正整数ω=5. 考点四　利用三角函数的零点求解 　三角函数两个零点之间的“水平间隔”为,根据三角函数的零点个数,可以研究ω的取值. 方法总结 考点四　利用三角函数的零点求解 4.(2025·陕西咸阳模拟)已知关于x的方程(sin ωx-1)=cos ωx在(0,π)内恰有2个不相等的实数根,则ω的取值范围是(　　) A.[,)　　　　　　 B.(,] C.(,] D.(,] 对点训练 C 考点四　利用三角函数的零点求解 解析:因为(sin ωx-1)=cos ωx,所以sin ωx-cos ωx=1,所以2(sin ωx-cos ωx)=1, 所以sin(ωx-)=,由x∈(0,π),可得ωx-∈(-,ωπ-). 因为方程有2个不相等的实数根,所以由正弦函数的图象可得<ωπ-≤, 解得<ω≤,所以ω的取值范围为(,]. 培优　题组集训 1.(2025·北京卷)设函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),若f(x+π)=f(x)恒成立,且f(x)在[0,]上存在零点,则ω的最小值为(　　) A.8 B.6 C.4 D.3 C 培优　题组集训 解析:函数f(x)=sin ωx+cos ωx=sin(ωx+)(ω>0),设函数f(x)的最小正周期为T,由f(x+π)=f(x)可得kT=π(k∈N*), 所以T==(k∈N*),即ω=2k(k∈N*). 又函数f(x)在[0,]上存在零点,且当x∈[0,]时,ωx+∈[,+], 所以+≥π,即ω≥3.综上,ω的最小值为4. 培优　题组集训 2.已知函数f(x)=4sincos (ω>0)在区间[-,]上是增函数,且在区间[0,π]上恰好取得一次最大值,则ω的取值范围为(　　) A.(0,1] B.(0,] C.[,] D.[1,+∞) C 培优　题组集训 解析:f(x)=4sin cos =2sin ωx,ω>0, 当x∈[-,]时,ωx∈[-,], 故解得0<ω≤, 当x∈[0,π]时,ωx∈[0,πω],故πω∈[,),解得ω∈[,). 综上,ω的取值范围为[,]. 培优　题组集训 3.(2025·陕西咸阳模拟)将函数f(x)=2sin(ωx-)(ω>0)图象上所有点的横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,若g(x)在(0,π)上恰有2个零点,则ω的最大值为(　　) A. B. C. D. C 培优　题组集训 解析:由题知,g(x)=2sin [3ω(x+)-]=2sin(3ωx+). 当0<x<π时,<3ωx+<3ωπ+. 因为g(x)在(0,π)上恰有2个零点,所以2π<3ωπ+≤3π,解得<ω≤,所以ω的最大值为. 培优　题组集训 4.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)在(0,)上有最大值,则ω的取值范围为(　　) A.(,+∞) B.[,+∞) C.(2,+∞) D.[2,+∞) A 培优　题组集训 解析:当x∈(0,)时,ωx+∈(,ω+), 若函数f(x)有最大值,则ω+>,解得ω>. 培优　题组集训 5.(2025·河南郑州模拟)已知函数f(x)=4cos2(ωx-)-3(ω>0)在区间(0,)上 恰有2个极大值点和1个极小值点,则ω的取值范围为　　　　　.  (,] 培优　题组集训 解析:由二倍角的余弦公式可得f(x)=2cos(2ωx-)-1.因为x∈(0,),所以2ωx-∈(-,ω-),又函数f(x)在区间(0,)上恰有2个极大值点和1个极小值点,即函数f(x)在区间(-,ω-)内恰好取得2次最大值和1次最小值,由余弦函数的图象可知2π<ω-≤3π,解得<ω≤,即ω的取值范围为(,]. 培优　题组集训 6.已知函数f(x)=+sin ωxcos ωx-cos2ωx(ω>0),若f(x)的图象在[0,π]上有 且仅有两条对称轴,则ω的取值范围是　　　　.  [,) 培优　题组集训 解析:因为f(x)=+sin ωxcos ωx-cos2ωx=sin 2ωx-cos 2ωx=sin(2ωx-), f(x)的图象在[0,π]上有且仅有两条对称轴, 所以≤2ωπ-<, 解得≤ω<, 所以ω的取值范围是[,). 培优　题组集训 感谢您的观看 $