专题5 培优突破6 极点、极线-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦解析几何“极点、极线”背景专题，覆盖切线方程、切点弦方程、最值问题、直线过定点等核心考点，对接高考评价体系，分析切线与切点弦方程在解答题中30%的权重，归纳最值探究、定点证明等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“理论背景+高考题型”深度融合，以南通模拟题求椭圆切点弦方程为例，通过定理应用培养数学思维，用直线过定点证明实例强化数学语言表达，提供“题型归纳+题组集训”突破方法，助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准指导，提升复习效率。

培优突破6　极点、极线 第一部分　专题突破 专题五　平面解析几何 高考分析 极点、极线是射影几何中的内容,不属于高考考查的范围,但极点、极线是圆锥曲线的一种基本特征,蕴含了很多圆锥曲线的重要性质,自然成为命题人命题的背景知识和方向,可以肯定的是以极点、极线为背景的考题是出题人思维中的定势方向. 1.极点与极线的几何定义 过点P(x0,y0)的动直线交圆锥曲线于A,B两点,过A,B的切线交点的轨迹叫做点P关于圆锥曲线的极线,点P叫做相应于此极线的极点,简称极. 2.极点、极线与圆锥曲线的位置关系(以椭圆为例说明) 如图(1)所示,点P在圆锥曲线上,极线l是以点P为切点的切线; 如图(2)所示,点P在圆锥曲线外,极线l与椭圆相交,且为由点P向椭圆所引切线的切点弦所在直线; 如图(3)所示,点P在圆锥曲线内,极线l与椭圆相离,极线l为经过点P的弦在两端处切线交点的轨迹,且极线l与以P为中点的弦所在直线平行. 3.极点和极线的几何定义对应的两个定理 已知P(x0,y0)和抛物线y2=2px(p>0)、椭圆+=1(a>b>0)和双曲线-=1(a>0,b>0)的方程. 定理1:若点P(x0,y0)在曲线上,则曲线在点P处的切线方程分别是y0y=p(x+x0),+=1,-=1. 定理2:若点P(x0,y0)是曲线外的一点,过P(x0,y0)作曲线的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程分别是y0y=p(x+x0),+=1,-=1. 考点一　求切线、切点弦方程 内容索引 考点二　探究最值问题 考点三　证明直线过定点 培优　题组集训 6 考点一　求切线、切点弦方程 考点一　求切线、切点弦方程 [例1]　(2025·江苏南通模拟)阅读材料:已知椭圆C:+=1,称点P(x0,y0)和直线l:+=1是椭圆C的一对极点和极线,每一对极点与极线是一一对应关系.当点P在圆外时,其极线l是椭圆从点P所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线).结合阅读材料回答下面的问题:已知P是直线y=-x+4上的一个动点,过点P向椭圆C:+=1引两条切线,切点分别为M,N,直线MN恒过定点T,当=时,直线MN的方程为(　　) A.x+2y-4=0　　　　 B.x+2y+4=0 C.2x-y-4=0 D.2x+y-4=0 A 考点一　求切线、切点弦方程 [解析]　设P(x0,-x0+4),则MN的直线方程为+=1, 整理得,x0(x-2y)+16y-16=0,由∴T(2,1). ∵=,则T为MN的中点,kMN·kOT=-, ∴kMN=-, MN:y-1=-(x-2),即x+2y-4=0. 考点一　求切线、切点弦方程 　本题利用点P关于椭圆C的极线为MN,求直线MN的方程,熟练掌握并应用极点、极线的定理是解题的关键. 方法总结 考点一　求切线、切点弦方程 1.过点P(3,3)作双曲线C:x2-y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为　　　　　　.   对点训练 3x-3y-1=0 考点一　求切线、切点弦方程 解析:法一:设PA的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),得到PA:y-y1=k(x-x1), 联立消去y得(1-k2)x2-2k(y1-kx1)x-(y1-kx1)2-1=0. 因为PA与双曲线相切,所以Δ=4k2(y1-kx1)2+4(1-k2)·(y1-kx1)2+4(1-k2)=0, 即4(y1-kx1)2+4(1-k2)=0,即k2-2kx1y1++1-k2=0,即(-1)k2-2kx1y1++1=0. 因为-=1,所以-1=,+1=,代入可得k2-2x1y1k+=0, 即(y1k-x1)2=0,所以k=,所以PA:y-y1=(x-x1),即y1y=x1x-1. 考点一　求切线、切点弦方程 同理可得PB的方程为y2y=x2x-1,因为P(3,3)在切线PA,PB上, 所以所以A,B满足方程3y=3x-1, 所以直线AB的方程为3x-3y-1=0. 法二:由题意得,直线AB为点P关于双曲线C的极线,其方程为3x-3y=1,即3x-3y-1=0. 考点二　探究最值问题 考点二　探究最值问题 [例2]　已知椭圆Γ:+=1(a>b>0)过点A(1,),其焦距为2. (1)求椭圆Γ的方程; 考点二　探究最值问题 [解]　设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,则F1(-1,0),F2(1,0), 由椭圆定义知:2a=|AF1|+|AF2|, 所以a=,c=1,所以b=1, 所以椭圆Γ的方程为+y2=1. 考点二　探究最值问题 (2)如图,B为Γ在第一象限中的任意一点,过点B作Γ的切线l,l分别与x轴和y轴的正半轴交于C,D两点,求△OCD面积的最小值. 考点二　探究最值问题 [解]　设B(x1,y1),则椭圆Γ在点B处的切线即为点B关于椭圆Γ的极线, 其方程为x+y1y=1, 令x=0,yD=;令y=0,xC=,所以S△OCD=. 又点B在椭圆的第一象限上,所以x1>0,y1>0,且+=1, 所以1=+≥2=x1y1,即≥,所以S△OCD=≥ , 当且仅当=+=1,即x1=y1=1时取等号, 所以当B(1,)时,△OCD的面积取最小值为. 考点二　探究最值问题 　设椭圆上的B点坐标为(x1,y1),可得出在点B处的切线方程为+y1y=1,从而确定C,D两点的坐标,写出△OCD面积的表达式. 方法总结 考点二　探究最值问题 2.已知T(m,1)为抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,F是抛物线C的焦点,且|TF|=2. (1)求抛物线C的方程; 对点训练 考点二　探究最值问题 解:因为|TF|=2,由抛物线定义知,+1=2,所以p=2, 故抛物线C的方程为x2=4y. 考点二　探究最值问题 (2)过圆E:x2+(y+2)2=1上任意一点G,作抛物线C的两条切线l1,l2,与抛物线分别相切于点M,N,与x轴分别交于点A,B,求四边形ABNM面积的最大值. 考点二　探究最值问题 解:法一:设M(x1,y1),N(x2,y2),G(x0,y0),y0∈[-3,-1],则y1=,y2=, 对于函数y=,求导得y'=,所以切线AM的斜率为k1=, 所以切线AM的方程为y-y1=(x-x1),即y=-+y1=-2y1+y1=-y1, 即x1x=2y+2y1,所以xA==, 同理可得切线BN的方程为x2x=2y+2y2,则xB==. 考点二　探究最值问题 另一方面,点G(x0,y0)在两切线上,从而满足 因此切点弦MN的方程为x0x=2(y0+y), 直线MN与抛物线x2=4y联立得x2-2x0x+4y0=0,从而 且|MN|=·= ·=·, 考点二　探究最值问题 点G(x0,y0)到直线MN的距离为d=, =S△GMN-S△GAB =···-|y0|· =(-4y0+|x1-x2| =(-4y0+ 考点二　探究最值问题 =·(-4y0+y0) =·(--7y0-3), 当y0∈[-3,-1]时, =≤ , --7y0-3=-(y0+)2+≤9, 当且仅当y0=-3时,两个等号同时成立,所以S四边形ABNM≤9, 故四边形ABNM面积的最大值为9. 考点二　探究最值问题 法二:设M(x1,y1),N(x2,y2),G(x0,y0),y0∈[-3,-1],由定义可知G(x0,y0)的极线方程为2(y+y0)=xx0,即切点弦MN的方程为x0x=2(y0+y), 直线MN与抛物线x2=4y,联立得x2-2x0x+4y0=0,从而 且|MN|=·= ·=·, 考点二　探究最值问题 同法一求得点A的横坐标为,点B的横坐标为,点G(x0,y0)到直线MN的距离为d=, 所以=S△GMN-S△GAB=···-|y0|·=(-4y0+|x1-x2| =(-4y0+=·(-4y0+y0)=·(--7y0-3), 考点二　探究最值问题 当y0∈[-3,-1]时,=≤, --7y0-3=-(y0+)2+≤9, 当且仅当y0=-3时,两个等号同时成立,所以≤9, 故四边形ABNM面积的最大值为9. 考点三　证明直线过定点 考点三　证明直线过定点 [例3]　在平面直角坐标系Oxy中,如图所示,已知椭圆+=1的左、右顶点分别为A,B,右焦点为F.设过点T(t,m)的直线TA,TB与此椭圆分别交于点M(x1,y1),N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2<0. (1)设动点P满足|PF|2-|PB|2=4,求点P的轨迹; 考点三　证明直线过定点 [解]　由题设得,A(-3,0),B(3,0),F(2,0),设动点P(x,y), 由|PF|2=(x-2)2+y2,|PB|2=(x-3)2+y2,|PF|2-|PB|2=4,代入化简得x=. 故点P的轨迹为直线x=. 考点三　证明直线过定点 (2)设t=9,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关),并求出该定点的坐标. 考点三　证明直线过定点 [证明]　法一:由题设知,直线TA的方程为y=(x+3),直线TB的方程为y=(x-3), 点M(x1,y1)满足 则x1≠-3,x1=,y1=; 点N(x2,y2)满足 考点三　证明直线过定点 则x2≠3,x2=,y2=.若x1=x2,则=且m>0, 得m=2,此时直线MN的方程为x=1,过点D(1,0); 若x1≠x2,则m≠2,直线MD的斜率kMD=÷(-1)=, 直线ND的斜率kND=÷(-1)=, 所以kMD=kND,所以直线MN过点D(1,0).因此直线MN必过x轴上一定点D(1,0). 考点三　证明直线过定点 法二:当t=9时,T点坐标为(9,m),连接MN(图略), 设直线AB与MN的交点为K,根据极点与极线的定义可知,点T对应的极线经过点K, 又点T对应的极线方程为+=1,此直线恒过x轴上一定点K(1,0), 从而直线MN也恒过x轴上的一定点K(1,0). 考点三　证明直线过定点 3.阅读材料:极点与极线,是法国数学家吉拉德·笛沙格在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述,对于椭圆+=1,与点P(x0,y0)对应的极线方程为+=1;对于双曲线-=1,与点P(x0,y0)对应的极线方程为-=1;即对于确定的圆锥曲线,每一对极点与极线是一一对应的关系. 其中,极点与极线有以下基本性质和定理: ①当点P在圆锥曲线C上时,其极线l是曲线C在点P处的切线; ②当点P在C外时,其极线l是曲线C从点P所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线); ③当点P在C内时,其极线l是曲线C过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹. 对点训练 考点三　证明直线过定点 根据上述材料回答下面问题: 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),右顶点E(1,0)到C的一条渐近线的距离为,已知点G是直线mx+ny+q=0上的一个动点,点G对应的极线与双曲线交于点A,B. (1)若m=3,n=q=-1,证明:极线AB恒过定点; 考点三　证明直线过定点 证明:∵右顶点为E(1,0),∴a=1,双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0, 由E到C的一条渐近线的距离d==, ∴b=,∴双曲线的标准方程为x2-=1. ∵点G在直线3x-y-1=0上, ∴设G(x0,3x0-1), 根据阅读材料可得极线AB为x0x-=1, 考点三　证明直线过定点 整理有:x0(3x-3y)+y-3=0, 则由 解得∴极线AB恒过定点为(3,3). 考点三　证明直线过定点 (2)在(1)的条件下,若该定点为极线AB的中点,求出此时的极线方程. 解:若定点(3,3)为AB的中点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则 ①-②可得(x1+x2)(x1-x2)-=0. 又x1+x2=6,y1+y2=6,∴6(x1-x2)-=0 解得kAB==3,∴极线方程为y=3x-6. 培优　题组集训 培优　题组集训 1.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与抛物线C在第一象限相切于点B,记抛物线C的焦点为F,则直线BF的斜率为(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. D 培优　题组集训 解析:因为点A(-2,3)在准线上,所以p=4,F(2,0),则抛物线方程是y2=8x, 过点A作直线与抛物线C在第四象限相切于另一点D,连接BD(图略),故直线BD即为点A关于C的极线, 其方程为3y=4(x-2),因为点A在抛物线的准线上,则焦点F在点A关于C的极线上,因此kBF=. 培优　题组集训 2.已知椭圆C的方程为+=1,过直线l:x=4上任意一点Q,作椭圆C的两条切线,切点分别为A,B,则原点到直线AB距离的最大值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:由题设,切点弦AB是点Q关于C的极线,设点Q的坐标为(4,y0), 则可知直线AB的方程为+=1,即x+=1,显然直线AB过焦点(1,0), 所以原点到直线AB距离的最大值为1. A 培优　题组集训 3.过椭圆C:+=1内一点M(3,2),作直线AB与椭圆交于点A,B,作直线CD与椭圆交于点C,D,过A,B分别作椭圆的切线交于点P,过C,D分别作椭圆的切线交于点Q,求PQ所在的直线方程为　　　　　　.   +=1 培优　题组集训 解析:法一:由题意知直线PQ为点M关于椭圆C的极线,所以直线PQ的方程为+=1. 法二:由题意设P(x1,y1),Q(x2,y2).则直线AB为点P关于椭圆C的极线,其方程为+=1.又M(3,2)在直线AB上,所以+=1,① 同理+=1,② 由①②可得直线PQ的方程是+=1. 培优　题组集训 4.已知椭圆C:+y2=1的两个焦点分别为F1,F2,点P(x0,y0)满足0<+<1,则|PF1|+|PF2|的取值范围为　　　　,直线+y0y=1与椭圆C的公共点个数是　　　　.   [2,2) 0 培优　题组集训 解析:由0<+<1知点P在椭圆内且不是中心,由椭圆定义得|F1F2|≤|PF1|+|PF2|<2a, 即2≤|PF1|+|PF2|<2.由题意知,点P(x0,y0)和直线+y0y=1恰好是椭圆的一对极点和极线, 因为点P在椭圆内,所以极线与椭圆相离,故极线与椭圆公共点的个数为0. 培优　题组集训 5.已知a>b>0,从椭圆C:+=1外一点P(x0,y0)向椭圆引两条切线,切点分别为A,B,则直线AB称为点P关于椭圆C的极线,其方程为+=1.如图,现有两个椭圆C1,C2,中心都是坐标原点O,对称轴都是坐标轴,离心率分别为e1,e2,C2在C1内,椭圆C1上的任意一点M关于椭圆C2的极线为lM.若点 O到lM的距离为定值1,则2-3的最大值为　　　　.  培优　题组集训 解析:设椭圆C1:+=1(a>b>0),则===1-. 设椭圆C2:+=1(m>n>0),则=1-.设M(x0,y0), 由题意可得lM的方程为+=1,因为原点到直线lM的距离恒为1,所以=1, 培优　题组集训 所以+=1.又因为M(x0,y0)为椭圆+=1上的点,所以+=1, 所以a2=m4,b2=n4,所以2-3=2(1-)-3(1-)=2(1-)-3(1-)=-+-1,设=t,则0<t<1,2-3=-2t2+3t-1, 当t=时,2-3取得最大值,为-2×()2+3×-1=. 感谢您的观看 $