专题3 培优突破3 数列与不等式-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（基础版）

培优突破3　数列与不等式 第一部分　专题突破 专题三　数列 高考分析 数列与不等式的综合问题是高考的热点,主要以数列为载体,通过构造函数来研究数列的单调性、最值,利用导数判断数列的单调性,或将数列不等式的证明转化为函数不等式的证明等. 考点一　数列中不等式的恒成立问题 内容索引 考点二　数列中不等式的证明问题 培优　题组集训 3 考点一　数列中不等式的恒成立问题 考点一　数列中不等式的恒成立问题 [例1]　(2025·浙江嘉兴模拟)记Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,4Sn=+2an-3,数列{bn}满足bn= (1)求数列{an}的通项公式; 考点一　数列中不等式的恒成立问题 [解]　当n=1时,a1=S1=,解得a1=-1或a1=3.因为an>0,所以a1=3. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-,得(an+an-1)(an-an-1-2)=0. 因为an+an-1>0,所以an-an-1=2,又a1=3, 故数列{an}是首项为3,公差为2的等差数列, 所以数列{an}的通项公式为an=2n+1. 考点一　数列中不等式的恒成立问题 (2)记数列{bn}的前n项和为Tn,若对任意n∈N*,Tn≥10n+λ成立,求实数λ的取值范围. [解]　法一:由bn= 所以bn= 当n为偶数时, Tn=b1+b2+b3+…+bn-1+bn=(b1+b3+…+bn-3+bn-1)+(b2+b4+…+bn-2+bn) 考点一　数列中不等式的恒成立问题 =[-2+(-2)+…+(-2)+(-2)]+[12+20+…+(4n-4)+(4n+4)] =(-2)×+=n2+3n, 当n为奇数时, Tn=Tn+1-bn+1=(n+1)2+3(n+1)-[4(n+1)+4]=n2+n-4, 所以Tn= 因为对任意的n∈N*,Tn≥10n+λ成立, 考点一　数列中不等式的恒成立问题 所以当n为奇数时,n2+n-4≥10n+λ,所以λ≤n2-9n-4,不等号的右边可以看作关于n的二次函数, y=n2-9n-4的图象的对称轴为n=-=4.5,所以n=5时,(n2-9n-4)min=-24,则λ≤-24; 当n为偶数时,n2+3n≥10n+λ,所以λ≤n2-7n. 同理可知,n=4时,(n2-7n)min=-12,则λ≤-12. 综上,λ≤-24. 考点一　数列中不等式的恒成立问题 法二:由bn= 所以bn= 因为对任意的n∈N*,Tn≥10n+λ成立, 则λ≤Tn-10n,令Cn=Tn-10n, 当n为奇数时,Cn+1-Cn=Tn+1-Tn-10=bn+1-10=4n-2>0, 则Cn+1>Cn,所以Cn的最小值一定在n为奇数时取到, 考点一　数列中不等式的恒成立问题 当n为奇数时,Cn+2-Cn=Tn+2-Tn-20=bn+2+bn+1-20=-2+4(n+1)+4-20=4n-14, 当n≥4时,Cn+2>Cn,当n≤3时,Cn+2<Cn, 所以当n为奇数时,C1>C3>C5,C5<C7<C9<…, 则Cn的最小值为C5=T5-50=b1+b2+…+b5-50=-24,所以λ≤-24. 考点一　数列中不等式的恒成立问题 　1.分离参数转化为关于n的不等式,然后利用函数、数列或不等式的性质求解. 2.利用数列的单调性,求出数列中的最大(小)项或其前n项和的最值,然后求出参数的范围. 方法总结 考点一　数列中不等式的恒成立问题 1.(2025·山东济南质检)已知数列{an},{bn},{cn}的首项均为1,an+1为an,cn的等差中项,且bn+2cn+1-bncn=0. (1)若数列{bn}为单调递增的等比数列,且b1+b3=b2,求{an}的通项公式. 对点训练 考点一　数列中不等式的恒成立问题 解:若数列{bn}为单调递增的等比数列,设其公比为q>1,且b1=1. 因为b1+b3=b2,则1+q2=q,解得q=2或q=(舍去), 所以bn=1×2n-1=2n-1. 因为bn+2cn+1-bncn=0, 即2n+1·cn+1-2n-1·cn=0, 可得cn+1=cn,且c1=1≠0, 可知数列{cn}是首项为1,公比为的等比数列,则cn=1×()n-1=. 考点一　数列中不等式的恒成立问题 因为an+1为an,cn的等差中项,则an+1=an+cn, 即an+1-an=,且a1=1, 当n≥2时,则an-an-1=,an-1-an-2=,…,a2-a1=1, 累加可得an-a1=++…+1==(1-), 则an=(1-)+1=(7-), 且a1=1符合上式,所以an=(7-). 考点一　数列中不等式的恒成立问题 (2)若数列{bn}的前n项和Sn=n2,数列{cn}的前n项和为Tn,是否存在正整数m使Tn>对n∈N*恒成立?若存在,求出m的最大值;若不存在,请说明理由. 考点一　数列中不等式的恒成立问题 解:若数列{bn}的前n项和Sn=n2, 当n=1时,则b1=S1=1; 当n≥2时,则bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1; 且b1=1符合上式,所以bn=2n-1. 因为bn+2cn+1-bncn=0,即(2n+3)·cn+1-(2n-1)·cn=0, 可得(2n+3)(2n+1)·cn+1=(2n+1)(2n-1)·cn,且c1=1, 可知数列{(2n+1)(2n-1)·cn}为常数列, 考点一　数列中不等式的恒成立问题 则(2n+1)(2n-1)·cn=3×1×1=3,所以cn=>0, 可知数列{Tn}为递增数列,则{Tn}的最小项为T1=c1=1, 若存在正整数m使Tn>对n∈N*恒成立,则1>,即m<2 025, 所以正整数m的最大值为2 024. 考点二　数列中不等式的证明问题 考点二　数列中不等式的证明问题 常见的放缩技巧(n≥2,n∈N*) 1.<=(-). 2.-<<-. 3.2(-)<<2(-). 4.<<,<≤. 考点二　数列中不等式的证明问题 [例2]　(2025·河南郑州质检)已知数列{an}满足a1=1,an+1an=an-2an+1. (1)求{an}的通项公式; [解]　由题设条件,可得若an≠0,则an+1≠0, 用反证法,假设an+1=0,由题设条件,显然an=0,这与已知条件矛盾,所以an+1≠0. 因为a1=1≠0,所以a2≠0,a3≠0,…,所以∀n∈N*,an≠0, 由an+1an=an-2an+1得-=1,所以+1=2(+1), 又+1=2≠0,所以{+1}是首项、公比均为2的等比数列, 所以+1=2n,则an=. 考点二　数列中不等式的证明问题 (2)记{an}的前n项和为Sn,求证:Sn<2. [证明]　显然n=1时,a1=1<2成立, 当n≥2时,2n-1≥22-1=2>1,所以<1,所以2->1, 所以2n-1(2-)>1×2n-1,即2n-1>2n-1>0,所以an=<, 所以Sn=a1+a2+a3+…+an<1+++…+==2(1-)<2. 综上,Sn<2. 考点二　数列中不等式的证明问题 　以数列为背景的不等式证明问题,多与数列求和相联系,一般可以先求得数列的通项公式,对数列通项按照先放缩再求和,或先求和再放缩的思路证明不等式. 方法总结 考点二　数列中不等式的证明问题 对点训练 2.(2025·江苏南京模拟)在①Sn=n2-2n;②a1=1,an+1=+;③2-1=an这三个条件中,请选择一个合适的条件,补充在下题横线上(写序号),并解答该题. 已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且对任意正整数n,有　　　　.  (1)求{an}的通项公式; 考点二　数列中不等式的证明问题 解:若选①:当n=1时,a1=S1=12-2=-1<0,不符合题意.(如果选条件①,不得分) 若选②:因为a1=1,an+1=+,所以Sn+1-Sn=+, 所以(-)(+)=+, 即-=1, 则{}是公差为1的等差数列,则=+(n-1)×1=n,则Sn=n2. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1, 当n=1时,a1=1满足上式,所以{an}的通项公式为an=2n-1. 考点二　数列中不等式的证明问题 若选③:因为2-1=an,则Sn=, 当n=1时,2-1=a1,解得a1=1. 当n≥2时,Sn-Sn-1=an=-, 即(an-an-1-2)(an+an-1)=0. 因为an>0,所以an-an-1=2, 则{an}是首项为1,公差为2的等差数列, 所以{an}的通项公式为an=2n-1. 考点二　数列中不等式的证明问题 (2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,证明:≤Tn<1. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 证明:因为bn===-, 所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=(-)+(-)+…+[-]=1-, 所以Tn=1-<1,且Tn在n>0时单调递增,并在n=1时取最小值, 所以≤Tn<1. 培优　题组集训 培优　题组集训 1.(2025·陕西西安模拟)已知数列{an}满足a1=1,an=3an-1+4(n≥2).设bn=log3(an+2). (1)求证:数列{an+2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; 解:由a1=1,an=3an-1+4(n≥2), 可得an+2=3an-1+6=3(an-1+2),又a1+2=3, 所以数列{an+2}是首项和公比均为3的等比数列,则an+2=3n,即an=3n-2. 培优　题组集训 (2)设数列cn=,且对任意正整数n,不等式cn≤λ恒成立,求实数λ的取值范围. 解:数列cn===, 则=·=<1, 可得{cn}单调递减,所以cn≤c1=.对任意正整数n,不等式cn≤λ恒成立, 可得λ≥,即λ的取值范围是[,+∞). 培优　题组集训 2.(2025·湖北武汉模拟)已知数列{an}的首项为2,前n项和为Sn,且Sn+1+2=an+3n+Sn. (1)求数列{an}的通项公式; 解:由已知Sn+1+2=an+3n+Sn, 则an+1=Sn+1-Sn=an+3n-2, 即an+1-an=3n-2,则an-an-1=3n-5,an-1-an-2=3n-8,…,a2-a1=1, 等式左右两边分别相加可得an-a1=(3n-5)+(3n-8)+…+1==, 则an=+a1=. 培优　题组集训 (2)求满足an>的n的最小值; 解:由(1)得an=,则an>, 即>, 化简可得(3n-1)(n-3)>0. 又n∈N*,即n>3, 所以满足an>的n的最小值为4. 培优　题组集训 (3)已知bn=,记数列{bn}的前n项和为Tn,求证:-≤Tn<-. 证明:依题意得,bn====(-), 则Tn=(-1-+-+-+…+-)=(-1-)=--, 又n∈N*,所以∈(0,], 所以Tn=--∈[-,-), 即-≤Tn<-. 感谢您的观看 $