专题3 第3讲 数列求和 基础课 课时作业-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（基础版）

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1.(2025·福建三明模拟)若数列{an}满足an+1+an=2n+1(n∈N*),a4=2,则a1+a2+a3+…+a17=(　　) A.155　　　　　　　　 B.156 C.203 D.204 基础巩固练 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析:由an+1+an=2n+1(n∈N*),又n≥2时,an+an-1=2(n-1)+1,则an+1-an-1=2, 故奇数项成等差数列,偶数项成等差数列,公差均为2, 由a4=2,a3+a4=7,则a3=5, 则a17=a3+×2=19, 故a1+a2+a3+…+a17=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a15+a16)+a17=3+7+11+…+2×15+1+19=155. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.(2025·天津模拟)已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=3n,bn=n,在bm与bm+1之间插入数列{an}的前m项,构成新数列{cn},即b1,a1,b2,a1,a2,b3,a1,a2,a3,b4,a1,a2,a3,a4,b5,….记数列{bn}的前n项和为Sn,则ci=(　　) A.30 B.4 944 C.9 876 D.14 748 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析:因为数列{bn}的通项公式为bn=n,所以数列{bn}为等差数列, 所以数列{bn}的前n项和为Sn=, 数列{an}的通项公式为an=3n,所以数列{an}为等比数列, 所以数列{an}的前n项和为Tn==, 所以ci=T1+T2+…+Tn-1+b1+b2+…+bn =++…++, =·-+=+-n-, 当n=8时,ci=4 944. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.(2025·山东泰安模拟)数列{cn}的通项公式为cn=2cos ,则cn=　　　　.  解析:由cn=2cos ,可得cn+8=2cos =2cos =cn, 所以{cn}是以8为周期的数列,且2 025=8×253+1,c1+c2+…+c8=0, 所以cn=c1+c2+…+c2 025=253×0+c1=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.(2025·云南昆明模拟)在数列{an}中,若n∈[2k-1,2k),则an=2k,k∈N*,设数列{an}的前n项和为Sn,则使Sn<2 025成立的正整数n的最大值为　　　　.  51 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析:因为n∈[2k-1,2k),则an=2k,k∈N*, 所以当n∈[20,21)时,a1=21, 当n∈[21,22)时,a2=a3=22, 当n∈[22,23)时,a4=a5=a6=a7=23, 当n∈[23,24)时,a8=a9=…=a15=24, 当n∈[24,25)时,a16=a17=…=a31=25, 当n∈[25,26)时,a32=a33=…=a63=26, 所以S31=21+2×22+4×23+8×24+16×25=2+23+25+27+29==682, S63=21+2×22+4×23+8×24+16×25+32×26=2+23+25+27+29+211==2 730, 所以31<n<63时,Sn=S31+(n-31)·26=682+(n-31)·26<2 025, 所以31<n<31+=31+≈51.98, 所以使Sn<2 025成立的正整数n的最大值为51. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.(2025·江苏南通模拟)已知数列{an}满足a1=1,a3=9,且对任意的n≥2,n∈N*,都有an+1+an-1=2(an+1). (1)设bn=an+1-an,求数列{bn}的通项公式; 解:依题意,对任意的n≥2,n∈N*,都有an+1+an-1=2(an+1), 故对任意的n≥2,n∈N*,an+1-an=an-an-1+2, 所以对任意的n≥2,n∈N*,bn=bn-1+2,即bn-bn-1=2为定值, 所以数列{bn}是公差为2的等差数列, 由a1=1,a3=9,得b1=a2-1,b2=9-a2, 所以(9-a2)-(a2-1)=2,解得a2=4,故b1=a2-1=3, 所以bn=3+(n-1)×2=2n+1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2)设数列{}的前n项和为Sn,求证:Sn<. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 证明:由(1)可知,an+1-an=2n+1, 所以当n≥2,n∈N*,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+3+5+…+ (2n-1)==n2, 又a1=1符合上式,所以an=n2, 所以===(-), 故Sn=(1-)+(-)+(-)+…+(-)+(-) =(1+--)=-(+). 因为n∈N*,+>0,所以Sn<. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.(2025·河南郑州质检)已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且a1=1,是1-Sn与Sn+1的等差中项. (1)证明:数列{}是等差数列; 证明:因为是1-Sn与Sn+1的等差中项,所以2=1-Sn+Sn+1, 所以Sn=1+Sn+1-2=(-1)2. 因为数列{an}的各项均为正数,所以Sn≥a1=1, 所以=-1,所以-=1, 所以数列{}是首项为==1,公差为1的等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2)设bn=(-1)n·(Sn+an),求数列{bn}的前2n项和T2n. 解:因为数列{}是首项为=1,公差为1的等差数列, 所以=1+(n-1)×1=n, 所以Sn=n2,当n=1时,a1=1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1, 当n=1时,也符合上式, 所以an=2n-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 因为bn=(-1)n·(Sn+an), 所以T2n=-S1-a1+S2+a2-S3-a3+S4+a4-…+S2n+a2n =(S2-S1)+(S4-S3)+…+(S2n-S2n-1)-(a1-a2+…-a2n) =a2+a4+…+a2n-(a1-a2+…-a2n) =-(a1+a3+…+a2n-1)+2(a2+a4+…+a2n) =-+2× =-+2× =-n(2n-1)+n(4n+2)=2n2+3n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7.(2025·河北石家庄模拟)已知函数f(x)=x2-nx-1(n∈N*),xn为函数f(x)的正零点,若an=[xn]([x]表示不超过x的最大整数),则数列{}的前10项和S10为(　　) A. B. C. D. 能力提升练 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析:f(x)是关于x的二次函数,其对称轴为x=. 因为f(0)=-1<0,且f(x)在区间(,+∞)上单调递增, 所以正零点xn一定在区间(,+∞)上. 又因为f(n)=n2-n·n-1=-1<0,f(n+1)=(n+1)2-n·(n+1)-1=n>0, 所以xn∈(n,n+1),所以an=[xn]=n, 则==-,故S10=1-+-+…+-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8.(多选)(2025·四川成都模拟)已知公差为1的等差数列{an}满足a1,a3,a7成等比数列,则(　　 ) A.a1=2 B.{an}的前n项和为 C.{}的前8项和为 D.{(-1)n-1an}的前50项和为-25 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析:对于A,因为a1,a3,a7成等比数列,所以a1a7=,即a1(a1+6)=,解得a1=2,故A正确; 对于B,{an}的通项公式为an=2+n-1=n+1,{an}的前n项和为=,故B正确; 对于C,因为==-, 所以{}的前8项和为-+-+…+-=-=,故C错误; 对于D,因为(-1)n-1an=(-1)n-1(n+1), 所以{(-1)n-1an}的前50项和为2-3+4-5+…+50-51=-25,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.(2025·山东济南模拟)设数列{an}满足nan+1=2(n+2)an,且a1=4. (1)求{an}的通项公式; 解:由题易知an≠0,且=, 所以×××…×=×××…×(n≥2), 所以==n(n+1)·2n-2, 所以an=n(n+1)·2n,a1=4也满足该式, 所以an=n(n+1)·2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2)求{an}的前n项和Sn. 解: Sn=1×2×21+2×3×22+…+n(n+1)·2n,　① 2Sn=1×2×22+…+n(n-1)·2n+n(n+1)·2n+1,　② ②-①,得Sn=n(n+1)·2n+1-2×(1×21+2×22+…+n·2n). 设Tn=1×21+2×22+…+n·2n,　③ 则2Tn=1×22+2×23+…+(n-1)·2n+n·2n+1,　④ ④-③,得Tn=n·2n+1-(21+22+…+2n)=n·2n+1-(2n+1-2)=(n-1)2n+1+2, 所以Sn=n(n+1)·2n+1-2(n-1)·2n+1-4=(n2-n+2)·2n+1-4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.(2025·陕西安康模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a6=11,S10=100,{bn}是等比数列,且b3=a5,b4=a14. (1)求{an},{bn}的通项公式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解:设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q, 由题意得 即 所以an=2n-1, 所以b3=a5=9,b4=a14=27,所以q===3, 所以bn=b3qn-3=9×3n-3=3n-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2)设cn=,数列{cn}的前n项和为Tn,若不等式λTn+1>0对任意正整数n恒成立,求λ的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解:因为cn=,由bn=3n-1,得log3bn=n-1,log3bn+1=n, 所以cn==2(-), 所以Tn=c1+c2+c3+…+cn= 2[(1-)+(-)+(-)+…+(-)] =2(1-)=, 所以不等式λTn+1>0可转化为-λTn<1, 即-λ<(1+). 因为y=1+在(0,+∞)上单调递减,且1+>1,所以-λ≤, 即λ≥-,所以λ的取值范围为[-,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11.(2025·湖北恩施模拟)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(ab)=f(a)+f(b),f()=f(ak)-k,则(-1)kf(kak)=(　　) A.-1 013 B.-2 025 C.1 012 D.2 026 创新拓展练 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析:因为f(ak)=f()+k,f(ab)=f(a)+f(b), 所以f(kak)=f(k)+f(ak)=f(k)+f()+k=f(1)+k, 在f(ab)=f(a)+f(b)中,令a=b=1,得f(1)=0, 所以f(kak)=f(1)+k=k, 则(-1)kf(kak)=(-1)kk=-1+2-3+4-…-2 025=1×-2 025=-1 013. 感谢您的观看 $