专题3 第1讲 等差数列与等比数列 基础课 课时作业-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（基础版）

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.(2025·重庆模拟)已知数列{an}满足a1=-1,an+1=,则a30=(　　) A.-8 B.-1 C. D. 解析:由题意得,a2===-8,a3===,a4===-1,故数列{an}是以3为周期的周期数列, 故a30=a3=. 基础巩固练 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=1,则a3+a7=(　　) A.- B. C. D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:法一: 由S9=9a1+d=1得9a1+36d=1, 又a3+a7=a1+2d+a1+6d=2a1+8d=(9a1+36d)=. 法二: 根据等差数列的性质,a1+a9=a3+a7,所以S9===1,故a3+a7=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.(2025·安徽安庆模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2a5=2a4,且a3与2a6的等差中项为,则S4=(　　) A.33 B.31 C.17 D.15 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:因为等比数列{an}的前n项和为Sn,设其公比为q(q≠0), 由已知得a2a5=a3a4,故a3a4=2a4,所以a3=2,a3+2a6=2×,则a6=, 故q==,所以a1==8,故S4===15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.(2025·安徽马鞍山模拟)数列{an}满足a1=3,an+1=,则log3(a1a2a3a4)=(　　) A. B. C. D. 解析:a1=3,由an+1=,可得a2===,a3==,a4==, 所以log3(a1a2a3a4)=log3=. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(2025·江西南昌模拟)记Sn为等差数列{an}的前n项和,且a2=2a1=2,则满足Sn<888的n的最大值为(　　) A.40 B.41 C.42 D.43 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:由已知可得a1=1,a2=2, {an}的公差为a2-a1=1,故an=n, 故Sn=1+2+3+…+n=, 令<888,又n∈N*,所以n≤41,故n的最大值为41, 验证S41==861<888,S42==903>888, 所以n的最大值为41. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.(多选)(2025·广东茂名模拟)在等差数列{an}中,a2+a3=-12,a5+a7=2.记数列{an}的前n项和为Sn,下列选项正确的是(　　) A.数列{an}的公差为2 B.Sn取最小值时,n=6 C.S4=S7 D.数列{|an|}的前10项和为50 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:对于A,设等差数列{an}的公差为d,则由题意知故A正确; 对于B,an=-9+2(n-1)=2n-11,Sn=-9n+×2=n2-10n=(n-5)2-25, 则当n=5时,Sn取最小值-25,故B错误; 对于C,S4=42-10×4=-24,S7=72-10×7=-21,则S4≠S7,故C错误; 对于D,数列{|an|}的前10项和为|-9|+|-7|+|-5|+|-3|+|-1|+1+3+5+7+9=50,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.(多选)(2025·湖北武汉模拟)已知数列{an}满足a1+2a2+…+2n-1an =n·2n,{an}的前n项和为Sn,则(　　) A.a1=2 B.数列{an}是等比数列 C.Sn,S2n,S3n构成等差数列 D.数列{}的前100项和为 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:对于A,当n=1时,可得a1=1×21=2,故A正确; 对于B,a1+2a2+…+2n-1an=n·2n, 当n≥2时,a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n-1, 两式相减可得2n-1an=n·2n-(n-1)·2n-1=(n+1)2n-1,所以an=n+1, 当n=1时,a1=2适合上式,所以an=n+1, 由=不是常数,所以数列{an}不是等比数列,故B错误; 对于C,由an=n+1可知,an-an-1=n+1-n=1, 所以{an}是以2为首项,1为公差的等差数列, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 所以Sn=2n+,所以S2n=4n+,S3n=6n+, Sn+S3n=2n++6n+=8n+5n2-2n,又2S2n=8n+4n2-2n,所以Sn+S3n≠2S2n,所以Sn,S2n,S3n不构成等差数列,故C错误; 对于D,==-, 所以+++…+ =-+-+-+…+-=-==,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.(2025·山东淄博模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0),满足an+ Sn-1Sn=0(n≥2),a1=1,则S100=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:由an+Sn-1Sn=0(n≥2)可得Sn-Sn-1+Sn-1Sn=0(n≥2), 又Sn≠0,则-+1=0,即-=1, 当n=1时,==1, 所以数列{}是以1为首项,1为公差的等差数列, 则=1+(n-1)×1=n,则=100, 所以S100=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.(多选)(2025·山东青岛模拟)用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法为割圆术.我们作单位圆的外切和内接正3×2n边形(n∈N*),记外切正3×2n边形的周长的一半为an,内接正3×2n边形的周长一半为bn,记θn为正3×2n边形的一条边所对圆心角的一半,则(　 　) A.数列{θn}是公比为的等比数列 B.an=3×2ntan θn C.,,成等差数列 D.bn,bn+1,an+1成等比数列 能力提升练 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:由正n边形的性质可得==,所以数列{θn}是公比为的等比数列,故A错误; 如图,由题意可得=tan θn,TD=tan θn, 所以an=3×2ntan θn,故B正确; 由=sin θn,得AB=sin θn, 所以bn=3×2nsin θn, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 所以=×,=×,=×, +=×+×=(+)=×=×=×=×=×=, 所以,,成等差数列,故C正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 因为an=3×2ntan θn,bn=3×2nsin θn,所以an+1=3×2n+1tan θn+1,bn+1=3×2n+1sin θn+1, 所以=9×22n+2sin2θn+1,an+1bn=3×2n+1tan θn+1×3×2nsin θn=9×22n+1tan θn+1·sin 2θn+1 =9×22n+1×2sin θn+1cos θn+1=9×22n+2sin2θn+1=,所以对任意正整数n,可得=bn·an+1,所以bn,bn+1,an+1成等比数列,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.(多选)(2025·山东潍坊模拟)设函数f(x)=,数列{xn}满足x1=,xn+1=f(xn),则(　　 ) A.x2= B.f(xn)+f()为定值 C.数列{}为等比数列 D.xn<1+ ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:由xn+1=f(xn)=,x1=,则x2===,故A正确; 由f(xn)+f()=+==,则显然f(xn)+f()的结果不是定值,故B错误; 由===5·,又=5,则=5, 则数列{}是以5为首项,5为公比的等比数列,故C正确; 则=5n,即xn=+1,由1+-xn=1+-(+1)=>0,则xn<1+,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.(2025·河南许昌模拟)在数列{an}中,a1=0,a2=4,且an+2=2an+1-an+2. (1)证明:{an+1-an}是等差数列; 证明:∵在数列{an}中,a1=0,a2=4,且an+2=2an+1-an+2, ∴an+2-an+1-(an+1-an)=2an+1-an+2-an+1-(an+1-an)=2, ∴{an+1-an}是首项为a2-a1=4,公差为2的等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)求数列{}的前n项和Sn,并比较Sn与log2的大小. 解:由(1)得an+1-an=4+2(n-1)=2n+2, 则an+1-an+an-an-1+…+a2-a1=2n+2+2n+…+4==n(n+3), ∴an+1=n(n+3),即an=(n-1)(n+2)(n>1), 又a1=0符合an=(n-1)(n+2), ∴an=(n-1)(n+2)=n2+n-2, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 故===-, ∴Sn=1-+-+…+-=1-. 则对于n∈N*,Sn=1-<1, 又log2>log22=1,故Sn<log2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.(2025·江西南昌模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,a2=3,an+an+2=kan+1. (1)当k=2时,求S10; 解:当k=2时,有an+an+2=2an+1, 即an+2-an+1=an+1-an,所以{an}为等差数列. 因为a1=1,a2=3,所以d=a2-a1=2, 所以S10=1×10+×2=100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)若k=,设bn=an+1-2an,求{bn}的通项公式. 解:由已知,an+2=an+1-an, 所以an+2-2an+1=an+1-an=(an+1-2an),即bn+1=bn,且b1=a2-2a1=1,所以{bn}是以1为首项,为公比的等比数列, 所以bn=1×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13.(2025·河南信阳模拟)对于数列{xn},若存在实数M>0,使得对一切正整数n,恒有|xn|≤M成立,则称数列{xn}为有界数列.设数列{an}的前n项和为Sn,则下列选项中,满足数列{Sn}为有界数列的是(　　) A.an=2n+1 B.an=(-2)n C.an= D.an=(-1)nn2 创新拓展练 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:对于A,an=2n+1,此时{an}为等差数列,则Sn==n2+2n,无界,故A错误; 对于B,an=(-2)n,此时{an}为等比数列,则Sn==-+(-2)n,无界,故B错误; 对于C,an==-,则Sn=1-+-+…+-=1-<1, 所以|Sn|≤1恒成立, 即Sn有界,故C正确; 对于D,an=(-1)nn2,则a2m-1+a2m=-(2m-1)2+(2m)2=4m-1, 则S2m=3+7+…+4m-1==2m2+m, 故当n=2m时,Sn明显无界,故D错误. 感谢您的观看 $