专题3 [规范答题] 立体几何-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（提升版）

[规范答题]　立体几何 第一部分　专题突破 专题三　立体几何 (本题满分15分)(2025·全国一卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,BC∥AD. (1)证明:平面PAB⊥平面PAD; (2)设PA=AB=,BC=2,AD=1+,且点P,B,C,D均在球O的球面上. (ⅰ)证明:点O在平面ABCD内; (ⅱ)求直线AC与PO所成角的余弦值. [思路分析]　(1)通过AP⊥AB,AB⊥AD,得出AB⊥平面PAD,即可证明面面垂直. (2)(ⅰ)建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标,假设P,B,C,D在同一球面O上,在平面Axy中,得出点O坐标,进而得出点O在空间中的坐标,计算出OP=OB=OC=OD,即可证明结论. (ⅱ)写出直线AC和PO的方向向量,即可求出余弦值. 标准答案 (1)证明:在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD, AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD, ∴AP⊥AB,AP⊥AD.[1] 2分 ∵AP⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,AP∩AD=A, ∴AB⊥平面PAD.[2] 3分 ∵AB⊂平面PAB, ∴平面PAB⊥平面PAD.[3] 5分 标准答案 (2)(ⅰ)证明:在四棱锥P-ABCD中,AP⊥AB,AP⊥AD,AB⊥AD,BC∥AD,PA=AB=,BC=2,AD=1+, 建立空间直角坐标系如图1所示,   ∴A(0,0,0),B(,0,0),C(,2,0),D(0,1+,0),P(0,0,),[4] 6分 若P,B,C,D在同一个球面上,则OP=OB=OC=OD, 在平面Axy中,A(0,0),B(,0),C(,2),D(0,1+), ∴线段CD中点坐标F(,), 标准答案 线CD的斜率k1==-, 直线CD的垂直平分线的斜率:k2==, ∴直线CD的垂直平分线的方程y-=(x-), 即y=(x-)+,由图2可得, 当y=1时,1=(xO-)+,解得xO=0, ∴O(0,1). 在立体几何中,O(0,1,0),[5] 8分 ∴ 解得OP=OB=OC=OD=,[6] 9分 ∴点O在平面ABCD上.[7] 10分 标准答案 (ⅱ)解:连接PO,如图3建立空间直角坐标系,又A(0,0,0),C(,2,0),P(0,0,),O(0,1,0),   则=(,2,0),=(0,1,-),[8] 12分 设直线AC与直线PO所成角为θ, ∴cos θ== =.[9] 15分 评分要求  [1]根据线面垂直证明线线垂直   [2]根据线线垂直证明线面垂直   [3]根据线面垂直的判定定理证明面面垂直    [4]建立空间直角坐标系并写出相关点的坐标   评分要求 [5]求出点O即球心的坐标    [6]得到OP=OB=OC=OD= [7]得到点O在平面ABCD上 [8] 写出异面直线所在向量的坐标   [9] 根据向量的夹角公式,计算异面直线所成角的余弦值 自我评价 (15分)(2025·广东深圳模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AB=AC=2,∠BAC=120°,D为AA1的中点,E为BC1的中点. (1)证明:DE⊥平面B1BCC1; 自我评价 证明:取BC的中点M,连接AM,ME, 因为AB=AC,所以AM⊥BC. 因为E为BC1的中点,所以EM为△BCC1的中位线, 所以EM∥CC1∥AD. 2分 又EM=CC1=AA1=AD,所以四边形AMED为平行四边形,则DE∥AM. 又因为AA1⊥平面ABC,AM⊂平面ABC, 所以AA1⊥AM,所以EM⊥AM, 由于EM,BC⊂平面B1BCC1,EM∩BC=M,所以AM⊥平面B1BCC1. 4分 又因为DE∥AM,所以DE⊥平面B1BCC1. 自我评价 (2)若BB1=6,求直线A1B与平面DBC1所成角的正弦值. 自我评价 解析:由(1)可知MA,MC,ME两两垂直,如图,以M为坐标原点,MC所在直线为x轴,MA所在直线为y轴,ME所在直线为z轴,建立空间直角坐标系, 则D(0,,3),B(-3,0,0),B1(-3,0,6),C1(3,0,6),A1(0,,6), 则=(3,,6),=(3,,3),=(6,0,6). 7分 设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z), 则即 令z=1,则n=(-1,0,1). 10分 自我评价 设直线A1B与平面DBC1所成角为θ, 则sin θ=|cos<,n>|===, 14分 即直线A1B与平面DBC1所成角的正弦值为. 15分 感谢您的观看 $