专题2 [规范答题] 数列-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（提升版）

[规范答题]　数列 第一部分　专题突破 专题二　数列 (本题满分15分)(2025·全国一卷)已知在数列{an}中,a1=3,=+. (1)证明:数列{nan}是等差数列; (2)给定正整数m,设函数f(x)=a1x+a2x2+…+amxm,求f'(-2). [思路分析]　(1)根据题目所给条件=+化简,即可证明结论. (2)先求出{an}的通项公式,再代入函数并求导,导函数两边同乘x,作差并利用等比数列前n项和得出导函数表达式,即可得出结论. 标准答案 (1)证明:由题意证明如下,n∈N*, 在数列{an}中,a1=3,=+, ∴(n+1)an+1=nan+1,[1] 3分 即(n+1)an+1-nan=1,[2] 4分 ∴{nan}是以a1=3为首项,1为公差的等差数列.[3] 5分 标准答案 (2)解:由题意及(1)得,n∈N*, 在数列{nan}中,首项为3,公差为1, ∴nan=3+1×(n-1),即an=1+,[4] 7分 在f(x)=a1x+a2x2+…+amxm中, f(x)=3x+2x2+…+(1+)xm,[5] 8分 f'(x)=3+4x+…+(m+2)xm-1,[6] 9分 ∴xf'(x)=3x+4x2+…+(m+2)xm,[7] 10分 当x≠1且x≠0时, ∴(1-x)f'(x)=3+x+x2+…+xm-1-(m+2)xm =3+-(m+2)xm,[8] 11分 ∴f'(x)=+-,[9] 12分 标准答案 ∴f'(-2)=+- 13分 =1+- =1--- =-.[11] 15分 评分要求 [1]化简得递推关系式(n+1)an+1=nan+1 [2]整理递推关系式,得到(n+1)an+1-nan=1 [3]根据等差数列的定义得到结论   [4] 得到数列{an}的通项公式   [5] 把an代入关系式 [6] 求导   [7]等式的左右两边同时乘公比x   [8]错位相减   [9]得到f'(x)的表达式 [10]令x=-2   [11]化简得到最后正确结果 自我评价 (15分) (2025·湖南长沙模拟)已知等差数列{an}的第2项为3,其前5项和为25.数列{bn}是公比大于0的等比数列,b1=4,b3+b2=80. (1)求{an}和{bn}的通项公式. 解:因为等差数列{an}的第2项为3,其前5项和为25,所以a1+a2+a3+a4+a5=5a3=25,a2=3, 计算得a3=5,公差为a3-a2=5-3=2, 所以an=3+2(n-2)=2n-1. 3分 设等比数列{bn}的公比为q(q>0),因为b1=4,所以b3+b2=4q2+4q=80, 解得q=4或q=-5(舍),故bn=4n. 5分 自我评价 (2)记cn=b2n+,n∈N*, ①证明:{-c2n}是等比数列; ②证明: <2,n∈N*. 自我评价 证明:①由题意,cn=b2n+=42n+, 所以-c2n=(42n+)2-(44n+)=44n+2·42n·+-44n-=2·4n, 8分 所以-c2n≠0,且==4,所以数列{-c2n}是以4为公比的等比数列. 10分 ②由题意知,==<, 所以<==·, 自我评价 所以<, 12分 设Tn==+++…+, 则Tn=+++…+, 两式相减得Tn=1+++…+-=-=2-, 所以Tn=4-, 14分 所以<=(4-)=2-<2. 15分 感谢您的观看 $