专题3 第2讲 递推关系求通项 提升课-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（基础版）

第二讲　递推关系求通项 提升课 第一部分　专题突破 专题三　数列 高考分析 求数列的通项公式是高考重点考查内容,多以小题的形式出现,但也可作为解答题,主要考查利用累加法、累乘法、构造法等求数列的通项公式,利用通项公式求数列中的项、公差、公比等,试题较灵活. 考点一　累加、累乘法求通项 内容索引 考点二　构造法求通项 3 考点一　累加、累乘法求通项 考点一　累加、累乘法求通项 [例1]　(1)(2025·浙江宁波模拟)已知在数列{an}中,a2=1,记Sn为{an}的前n项和,2Sn=nan,则a2 025的值为(　　) A.2 023　　　　　　　 B.2 024 C.2 025 D.2 026 [解析]　在数列{an}中,满足2Sn=nan,当n≥3时,可得2Sn-1=(n-1)an-1, 两式相减,可得2an=nan-(n-1)an-1,即(n-2)an=(n-1)an-1,所以=, 又由a2=1,则a2 025=a2×××…×=1×××…×=2 024. B 考点一　累加、累乘法求通项 (2)(2025·河北张家口模拟)已知数列{an}满足a1=2,an>0且-=+1,则-n=　　　　　.  [解析]　由题得=(-)+(-)+…+(-)+ =++…++(n-1)+4=+(n-1)+4=n+4-, 当n=1时,n+4-=1+4-1=4=符合题意, 所以-n=n+4--n=4-. 4- 考点一　累加、累乘法求通项 　1.形如an+1-an=f(n)的数列,利用累加法求an. 2.形如=f(n)的数列,利用累乘法求an. 方法总结 考点一　累加、累乘法求通项 1.(多选)(2025·山东青岛模拟)已知数列an满足an+1-an=f(n),则下列说法中正确的是(　　 ) A.若a1=1,f(n)=5,则{an}为等差数列 B.若a1=2,f(n)=2n-2,则{an}为等比数列 C.若a1=0,f(n)=n,则{an}的通项公式为an= D.若a1=1,f(n)=(-1)n-1,则{an}为周期为2的数列 对点训练 ACD 考点一　累加、累乘法求通项 解析:对于A,an+1-an=5,a1=1,由等差数列的定义可知{an}是以1为首项,以5为公差的等差数列,故A正确; 对于B,an+1-an=2n-2,a1=2,则a2-a1=0,即a2=2, a3-a2=22-2=2,则a3=4, 因为≠,不满足等比数列的定义,故B错误; 对于C,an+1-an=n,则a2-a1=1,a3-a2=2,…,an-an-1=n-1, 将以上式子累加可得an-a1=1+2+…+(n-1),且a1=0, 则an=,故C正确; 考点一　累加、累乘法求通项 对于D,an+1-an=(-1)n-1,a1=1,则a2-a1=(-1)0=1,则a2=2, a3-a2=(-1)1=-1,则a3=1,a4-a3=(-1)2=1,则a4=2, 由此可得an+2-an+1=(-1)n,an+1-an=(-1)n-1, 则an+2-an=(-1)n+(-1)n-1=0,即an+2=an, 所以{an}为周期为2的数列,故D正确. 考点二　构造法求通项 考点二　构造法求通项 [例2]　(多选)已知数列{an},下列结论正确的是( 　　) A.若a1=,且满足an+1=,则an= B.若a1=1,(2n-1)an+1=(2n+1)an(n∈N*),{an}的前n项和为Sn, 则S50=2 500 C.若a1=1,当n≥2时,2an-an-1+1=0,则数列的通项公式为an=2×()n-1+1 D.若a1=4,an+1=5an+2×5n,n∈N*,则an=2(n+1)·5n-1 ABD 考点二　构造法求通项 [解析]　对于A:由an+1===+2,故{}为等差数列,且公差为2,首项为2,故=2+2(n-1)=2n,故an=,A正确; 对于B:因为(2n-1)an+1=(2n+1)an,所以=(n∈N*)⇒=, 所以数列{}是常数列,所以==1,所以an=2n-1, 所以S50==2 500,B正确; 考点二　构造法求通项 对于C:当n≥2时,2an+2=an-1+1,即2(an+1)=an-1+1, 所以数列{an+1}是以a1+1=2为首项,为公比的等比数列,所以an+1=2×()n-1, 即an=2×()n-1-1,C错误; 对于D:由an+1=5an+2×5n,两边同时除以5n+1,可得=+, 所以数列{}是首项为,公差为的等差数列,则=+(n-1)=, 所以an=2(n+1)·5n-1,D正确. 考点二　构造法求通项 　1.形如an+1=(p≠0,q≠0)的数列,取倒数构造等差数列求通项. 2.若数列{an}满足an+1=pan+q(p≠0且p≠1,q≠0),构造an+1+λ=p(an+λ). 3.若数列{an}满足an+1=pan+f(n)(p≠0且p≠1),构造an+1+g(n+1)=p[an+g(n)]. 方法总结 考点二　构造法求通项 对点训练 2.在数列{an}中,已知a1=1,an+1=3an+2,则an=(　　) A.2·3n-1+1　　　　　　 B.3n-1-1 C.2·3n-1-1 D.2·3n+1 解析:由an+1=3an+2,得an+1+1=3(an+1), 所以数列{an+1}是以a1+1=2为首项,q=3为公比的等比数列, 所以an+1=2·3n-1,所以an=2·3n-1-1. C 考点二　构造法求通项 3.(多选)(2025·河南洛阳模拟)在数列{an}中,an=an+1-an+2,a1=2,a2=8,Sn是数列{log2an}的前n项和,则(　 　) A.数列{an+1-2an}是等比数列 B.数列{}是等差数列 C.a1+++…+=2 044 D.S5<22 ABD 考点二　构造法求通项 解析:由an=an+1-an+2,得an+2-2an+1=2(an+1-2an), 则数列{an+1-2an}是首项为a2-2a1=4,公比为2的等比数列,A正确; 根据等比数列的通项公式得an+1-2an=4·2n-1=2n+1,即an+1=2an+2n+1,则=+1, 所以数列{}是首项为=1,公差为1的等差数列,B正确; 根据等差数列的通项公式得=1+(n-1)×1=n,即=2n, 所以a1+++…+==211-2=2 046,C错误; 由log2an=log2(n·2n)=n+log2n, S5=1+2+3+4+5+log2(1×2×3×4×5)=15+log2120<15+7=22,D正确. 感谢您的观看 $