专题2 第3讲 三角形中的最值(范围)问题 提升课 课时作业-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（基础版）

1 2 3 4 1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bc=1,2b2+c2=a2,则当B取最大值时,△ABC的周长为(　　) A.2+　　　　　　　　 B.2+ C.3 D.3+ 基础巩固练 B 1 2 3 4 解析:因为bc=1,2b2+c2=a2,则b2=, 由余弦定理可得cos B====(+)≥×2=, 当且仅当=时,即当a=c时等号成立, 即cos B≥. 因为余弦函数y=cos x在(0,π)上单调递减,且B∈(0,π),故0<B≤, 故B的最大值为,此时a=c,则b==c, 再由bc=1可得b=c=1,则a=,此时△ABC的周长为a+b+c=2+. 1 2 3 4 2.(2025·浙江杭州模拟)如图,在△ABC中,若sin2A+sin2B+sin2C=2sin Asin Bsin C,DB=2,DC=4,则四边形ABDC的面积的最大值为　　 　　.  8+5 1 2 3 4 解析:由正弦定理可知sin2A+sin2B+sin2C=2sin Asin Bsin C可化为 a2+b2+c2=2absin C, 由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C≥2ab-2abcos C (当且仅当a=b时等号成立)得a2+b2+c2=2c2+2abcos C, 所以2c2+2abcos C=2absin C,即c2+abcos C=absin C, 即c2=-abcos C+absin C≥2ab-2abcos C(当且仅当a=b时等号成立), 整理为cos C+sin C≥2,即2sin(C+)≥2, 1 2 3 4 又sin(C+)≤1, 所以sin(C+)=1,又<C+<, 所以C+=,即C=, 同理,条件等式也可化简为a2+b2+c2=2bcsin A和a2+b2+c2=2acsin B,可得A=B=, 所以△ABC是等边三角形. 1 2 3 4 设∠BDC=θ,θ∈(0,π),在△BCD中,BC2=4+16-16cos θ=20-16cos θ, S△ABC=BC2=5-4cos θ,S△BCD=×2×4×sin θ=4sin θ, S四边形ABDC=S△ABC+S△BDC=5-4cos θ+4sin θ=5+8sin(θ-), 当θ=时,四边形ABDC的面积取得最大值,最大值为8+5. 1 2 3 4 3.(2022·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=. (1)若C=,求B; 解:因为==,且cos B≠0,所以=, 即sin B=cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B)=-cos C>0, 由cos C<0,得<C<π,0<B<,又C=,所以sin B=-cos C=,所以B=. 1 2 3 4 (2)求的最小值. 解:由(1)知,<C<π,0<B<. 因为sin B=-cos C=sin(C-), 所以C=+B,即A=-2B,所以B∈(0,),C∈(,), 所以== ==4cos2B+-5≥2-5=4-5,当且仅当cos2B=时取等号,所以的最小值为4-5. 1 2 3 4 4.(2025·辽宁沈阳模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且满足=a. (1)求角B的大小; 能力提升练 1 2 3 4 解:由正弦定理得=sin A, 即sin Bsin A=sin A(1+cos B). 因为0<A<π,所以sin A≠0, 所以sin B=1+cos B, 所以sin(B-)=. 又因为-<B-<,所以B=. 1 2 3 4 (2)若b=,求△ABC面积的最大值; 解:由余弦定理得cos B==,代入b=得a2+c2=3+ac, 根据基本不等式a2+c2≥2ac,得ac≤3,当且仅当a=c=时,等号成立, △ABC的面积为acsin B=ac≤,故面积的最大值为. 1 2 3 4 (3)求sin Asin C+sin Bsin C+sin Bsin A的取值范围. 解: sin Asin C+sin Bsin C+sin Bsin A= sin Asin C+(sin A+sin C)=sin Asin(-A)+[sin A+sin(-A)] =sin 2A+sin2A+sin A+cos A =sin(2A-)+sin(A+)+, 令x=A+,则2A-=2x-, 所以sin(2A-)+sin(A+)+=sin2x+sin x-=(sin x+)2-. 1 2 3 4 因为A∈(0,),所以x∈(,), 所以sin x∈(,1], 当sin x∈(,1]时,sin2x+sin x->()2+×-=, 当sin x=1时,(sin2x+sin x-)max= 12+×1-=, 故sin Asin C+sin Bsin C+sin Bsin A的取值范围为(,]. 感谢您的观看 $