专题3 创新探究2 数列中的思维创新问题-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（基础版）

创新探究2　数列中的思维创新问题 第一部分　专题突破 专题三　数列 高考分析 数列中的创新问题常涉及定义新数列、定义新运算、定义新性质等,数列还常与函数、几何、概率等知识相结合,解决时需要准确理解新定义和创新点,灵活运用数列的基础知识和方法,提高解决新问题的能力. 类型一　与数列有关的新定义问题 内容索引 类型二　与数列有关的新情境问题 3 类型一　与数列有关的新定义问题 类型一　与数列有关的新定义问题 [例1]　(2024·新课标Ⅰ卷)设m为正整数,数列a1,a2,…,a4m+2是公差不为0的等差数列,若从中删去两项ai和aj(i<j)后剩余的4m项可被平均分为m组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)-可分数列. (1)写出所有的(i,j),1≤i<j≤6,使得数列a1,a2,…,a6是(i,j)-可分数列; [解]　所有可能的(i,j)是(1,2),(1,6),(5,6). 类型一　与数列有关的新定义问题 (2)当m≥3时,证明:数列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)-可分数列. [证明]　数列a1,a2,…,a4m+2的前14项a1,a2,…,a14中删去a2和a13后剩余的12项可被平均分为以下3组:a1,a4,a7,a10;a3,a6,a9,a12;a5,a8,a11,a14. 由题设知这3组中的4个数都能构成等差数列. 当m≥4时,数列a1,a2,…,a4m+2从第15项开始每连续4项分为一组,共可得m-3组,每组中的4个数仍能构成等差数列, 所以当m≥3时,数列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)-可分数列. 类型二　与数列有关的新情境问题 类型二　与数列有关的新情境问题 [例2]　(2025·陕西西安模拟)在人工智能的训练过程中,数据预处理至关重要.现有一种“数据筛选器”工具,其功能为:对于一个无穷非负正整数数列,通过操作T(A,B)删去其中除以A余数为B的所有项,并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非负正整数数列.设数列{an}的通项公式an=2n-1,n∈N*,通过“数据筛选器”工具对数列{an}进行T(4,2)操作后得到数列{bn},设数列{an+bn}的前n项和为Tn. (1)求Tn. 类型二　与数列有关的新情境问题 [解]　由an=2n-1,n∈N*知:a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,a5=16,…, {an}中除了a2除以4余2,其余各项除以4余数均不为2, 故b1=1,bn=an+1,n≥2, 故an+bn= 故an+bn= 故an+bn= 故当n=1时,Tn=2, 当n≥2时,Tn=2+3×22-1+…+3×2n-1=2+6(2n-1-1)=3×2n-4. 而3×21-4=2,故Tn=3×2n-4. 类型二　与数列有关的新情境问题 (2)是否存在不同的正整数p,q,r∈N*,使得Tp,Tq,Tr成等差数列?若存在,求出所有的(p,q,r);若不存在,说明理由. [解] 不存在不同的正整数p,q,r∈N*,使得Tp,Tq,Tr成等差数列, 不妨设p<q<r,2Tq=Tp+Tr,p,q,r∈N*. 即2(3×2q-4)=(3×2p-4)+(3×2r-4),化简得2×2q=2p+2r, 两边同除以2p,得2q-p+1=1+2r-p, 设m=q-p,k=r-p,m,k∈N*, 则2m+1=1+2k. 当k≥1时,1+2k为奇数,2m+1为偶数,矛盾. 故不存在这样的正整数组(p,q,r). 感谢您的观看 $