专题2 第3讲 三角形中的最值(范围)问题 提升课-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（基础版）

第三讲　三角形中的最值(范围)问题 提升课 第一部分　专题突破 专题二　三角函数与平面向量 高考分析 解三角形中的最值或范围问题,通常涉及与边长、周长有关的范围问题,与面积有关的范围问题,或与角度有关的范围问题,一直是高考的热点与重点,主要是利用三角函数、正、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题,解决此类问题的关键是建立角与边的数量关系. 考点一　与三角形面积有关的最值(范围)问题 内容索引 考点二　与三角形周长(边长)有关的最值(范围)问题 考点三　与三角形角度有关的最值(范围)问题 3 考点一　与三角形面积有关的最值(范围)问题 考点一　与三角形面积有关的最值(范围)问题 [例1]　已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2a2cos B+b2=2abcos C+a2+c2. (1)求B; [解]　由余弦定理得2a2cos B+b2=a2+b2-c2+a2+c2,即2a2cos B=2a2, 所以cos B=,又B∈(0,π),则B=. 考点一　与三角形面积有关的最值(范围)问题 (2)若△ABC为锐角三角形,且a=4,求△ABC面积的取值范围. [解]　法一:因为△ABC为锐角三角形,A+B+C=π,B=,则A+C=, 所以<A<. 又a=4,则=,故c=. 由S△ABC=acsin B=c=,即S△ABC=+4,而tan A>1, 所以S△ABC∈(4,8),故△ABC面积的取值范围为(4,8). 考点一　与三角形面积有关的最值(范围)问题 法二:由B=,a=4,画出如图所示三角形, 因为△ABC为锐角三角形,所以点A落在线段A1A2(端点A1,A2除外)上, 当CA1⊥A1B时,=×2×2=4, 当CA2⊥BC时,=×4×4=8, 所以S△ABC∈(4,8). 考点一　与三角形面积有关的最值(范围)问题 　求三角形面积取值范围问题的常见解题思路 1.对所求三角形大致形状做出分析,明确选择面积求解公式. 2.运用正、余弦定理,取得三角形边长、角度的具体值,将其代入面积公式中得到具体表达式. 3.根据表达式结构特点,运用函数求值域思路或基本不等式求临界值思路,得到具体的范围大小,即对应问题所求的面积范围值. 方法总结 考点一　与三角形面积有关的最值(范围)问题 1.(2025·河北秦皇岛模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=4,sin C=,则△ABC面积的最大值是　　　　.  对点训练 6 考点一　与三角形面积有关的最值(范围)问题 解析:因为C是三角形的内角,sin C=,所以cos C=±=±. 当cos C=时,由余弦定理得42=a2+b2-2ab×, 整理得16+ab=a2+b2≥2ab,即13≥ab, 当且仅当a=b=时,等号成立. 当cos C=-时,由余弦定理得42=a2+b2+2ab×≥2ab+ab=ab, 所以ab≤,当且仅当a=b=时,等号成立. 所以△ABC的面积S△ABC=absin C≤×13×=6,即△ABC面积的最大值是6. 考点二　与三角形周长(边长)有关的最值(范围)问题 考点二　与三角形周长(边长)有关的最值(范围)问题 [例2]　(2025·浙江杭州模拟)已知△ABC的外接圆半径为1,内角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1)若BC边上的高为1,求△ABC的面积的最大值; [解]　因为BC边上的高为1, 所以a=bcsin A,可得bc==2. 所以△ABC的面积S=bcsin A=sin A. 又A∈(0,π),所以当A=时,△ABC的面积有最大值,最大值为1. 考点二　与三角形周长(边长)有关的最值(范围)问题 (2)若a=,求△ABC的周长的最大值. [解]　由正弦定理知a=2sin A,可得sin A=,则A=或A=. 若A=,则△ABC的周长为 l=+2sin B+2sin C=+2sin(+C)+2sin C=+cos C+3sin C=2sin(C+)+, 当C=时,周长l有最大值,最大值为3. 考点二　与三角形周长(边长)有关的最值(范围)问题 若A=,则△ABC的周长为l=+2sin B+2sin C=+2sin(+C)+2sin C=+cos C+sin C=2sin(C+)+, 当C=时,周长l有最大值,最大值为2+. 因为3>2+,所以△ABC的周长的最大值为3. 考点二　与三角形周长(边长)有关的最值(范围)问题 　求与三角形周长(边长)有关的范围问题的常见解题思路 1.根据已知条件的特点,选择合适的定理并代入具体值,得到与问题所求的对应关系等式. 2.根据关系等式以及三角形三边之和、内角和关系特点,得到具体的关系等式或不等式. 3.通过运算,求出问题所求周长(边长)对应的具体取值范围. 方法总结 考点二　与三角形周长(边长)有关的最值(范围)问题 对点训练 2.(2025·湖南益阳模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=1,且bcos A-cos B=1. (1)若C=,求A; 解:由a=1,可得bcos A-acos B=a, 即sin Bcos A-sin Acos B=sin A, ∴sin(B-A)=sin A,则B-A=A或B-A+A=π(舍),∴B=2A, 当C=时,由A+B+C=π,可得A=. 考点二　与三角形周长(边长)有关的最值(范围)问题 (2)若△ABC是锐角三角形,求△ABC周长的取值范围. 解:由正弦定理可得==,∴b=,c=,b+c=== = =2cos A+cos 2A+2cos2A =4cos2A+2cos A-1=4(cos A+)2-, 考点二　与三角形周长(边长)有关的最值(范围)问题 易知<A<, 因此cos A∈(,),令t=cos A, 易知y=4(t+)2-在(,)上单调递增,所以b+c∈(1+,2+), 可得△ABC周长的取值范围为(2+,3+). 考点三　与三角形角度有关的最值(范围)问题 考点三　与三角形角度有关的最值(范围)问题 [例3]　(2025·河北石家庄模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A,B∈(0,),c=asin B,则tan C的取值范围是(　　) A.[-,-1)　　　　　 B.[-,-1] C.(1,] D.[1,] C 考点三　与三角形角度有关的最值(范围)问题 [解析]　因为c=asin B,所以sin C=sin(A+B)=sin Asin B,sin Acos B+cos Asin B=sin Asin B, 即tan A+tan B=tan Atan B,设u=tan A,v=tan B, 因为A,B∈(0,),所以u+v=uv(u,v>0),解得u=>0,则v>1,从而uv===v-1++2,v>1,由对勾函数性质可知, uv=v-1++2 的取值范围是[4,+∞), 从而tan C=-tan(A+B)=-==,故所求范围为(1,]. 考点三　与三角形角度有关的最值(范围)问题 方法总结 　求三角形角度范围问题的常见解题思路 1.对所给条件做出分析,根据条件特点选择合适定理表达所求角度,若已知边长值较多则考虑余弦定理,已知角度大小则考虑正弦定理. 2.根据角度的具体表达式结构特点,讨论有关变量的具体定义域. 3.选择三角函数求值域或基本函数求值域方式,在所求定义域内求得对应值域,即可得到问题所求的角度相关范围大小. 考点三　与三角形角度有关的最值(范围)问题 对点训练 3.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,若sin(A+C)=,则A的取值范围为(　　) A.(,)　　　　　　 B.(,] C.(,] D.(,) A 考点三　与三角形角度有关的最值(范围)问题 解析:在△ABC中,sin(A+C)=sin B, S=acsin B, 由sin(A+C)=得sin B=. 因为sin B≠0,所以b2-a2=ac, 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B, 则ac=c2-2accos B,故c=2acos B+a, 又由正弦定理得sin C=2sin Acos B+sin A=sin Acos B+cos Asin B,整理得sin(B-A)=sin A. 考点三　与三角形角度有关的最值(范围)问题 因为A,B∈(0,π),故B-A=A或B-A=π-A(舍去),得B=2A, △ABC为锐角三角形,故 解得<A<,所以A的取值范围是(,). 感谢您的观看 $