专题1 创新探究1 三角函数与平面向量中的思维创新问题-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（提升版）

创新探究1　三角函数与平面向量中的思维创新问题 第一部分　专题突破 专题一　三角函数与平面向量 高考分析 三角函数与平面向量中的创新问题常涉及新定义和新背景问题以及知识交汇问题;解决此类问题时需要准确理解新定义和创新点,构建三角函数与平面向量模型,提高解决创新问题的能力. 类型一　与三角函数有关的交汇问题 内容索引 类型二　与解三角形有关的新情境问题 3 类型一　与三角函数有关的交汇问题 类型一　与三角函数有关的交汇问题 [例1]　(2025·上海模拟)人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别,就是利用计算机分析人脸视频或者图像,并从中提取出有效的识别信息,最终判别对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试,经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B之间的曼哈顿距离为:d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|.A,B之间的余弦距离为1-cos(A,B),其中cos(A,B)=×+×为A,B之间的余弦相似度. (1)若A(2,1),B(1,2),求A,B之间的曼哈顿距离和余弦距离. 类型一　与三角函数有关的交汇问题 [解]　由题意d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|=|2-1|+|1-2|=2. 因为cos(A,B)=×+×=×+×=, 所以余弦距离为1-cos(A,B)=. 类型一　与三角函数有关的交汇问题 (2)已知0<α<β<,M(cos α,sin α),N(cos β,sin β),P(cos(α+β),sin(α+β)),且cos(M,N)=,cos(M,P)=. ①求N,P之间的余弦距离; ②求N,P之间的曼哈顿距离. 类型一　与三角函数有关的交汇问题 [解]　①由题意cos(M,N)=cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)=, 由0<α<β<,可得-<α-β<0,故sin(α-β)=-=-. 因为cos(M,P)=cos αcos(α+β)+sin αsin(α+β)=cos[α-(α+β)]=cos β=,故sin β=, 则cos(N,P)=cos βcos(α+β)+sin βsin(α+β)=cos[β-(α+β)]=cos α, 又cos α=cos(α-β+β)=cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β=×-(-)×=, 所以N,P之间的余弦距离为1-cos(N,P)=1-cos α=. 类型一　与三角函数有关的交汇问题 ②由①可知sin 2β=2sin βcos β=,cos 2β=2cos2β-1=-, cos(α+β)=cos[(α-β)+2β]=cos(α-β)cos 2β-sin(α-β)sin 2β=×(-)-(-)×=, 因为0<α+β<π,则sin(α+β)==, 所以N,P之间的曼哈顿距离为 d(N,P)=|cos β-cos(α+β)|+|sin β-sin(α+β)|=|-|+|-|=. 类型一　与三角函数有关的交汇问题 　应按照新定义,准确写出函数解析式,对于较复杂的三角式,常常运用整体换元思想,将其转化成熟悉的函数,如二次函数、双勾函数等,利用这些函数的图象性质特征求解即可. 方法总结 类型一　与三角函数有关的交汇问题 1.(2025·湖南邵阳模拟)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,对任意两个向量m=(x1,y1),n=(x2,y2).作:=m,=n.当m,n不共线时,记以OM,ON为邻边的平行四边形的面积为S(m,n)=|x1y2-x2y1|;当m,n共线时,规定S(m,n)=0. (1)分别根据下列已知条件求S(m,n). ①m=(2,1),n=(-1,2); ②m=(1,2),n=(2,4). 解:①因为m=(2,1),n=(-1,2),则S(m,n)=|2×2-1×(-1)|=5. ②因为m=(1,2),n=(2,4),所以S(m,n)=|1×4-2×2|=0. 对点训练 类型一　与三角函数有关的交汇问题 (2)若向量p=λm+μn(λ,μ∈R,λ2+μ2≠0),求证:S(p,m)+S(p,n)=(|λ|+|μ|)S(m,n). 证明:因为向量m=(x1,y1),n=(x2,y2),且向量p=λm+μn(λ,μ∈R,λ2+μ2≠0), 则p=(λx1+μx2,λy1+μy2),于是S(p,m)=|(λx1+μx2)y1-(λy1+μy2)x1|=|μ||x1y2-x2y1|, 同理S(p,n)=|λ||x1y2-x2y1|,所以S(p,m)+S(p,n)=(|λ|+|μ|)S(m,n). 类型一　与三角函数有关的交汇问题 (3)记=a,=b,=c,且满足c=λa+μb(λ,μ∈R,λμ>0),a⊥b,|a|=|b|=|c|=1,求S(c,a)+S(c,b)的最大值. 类型一　与三角函数有关的交汇问题 解:设<a,c>=α,由a⊥b,得<c,b>=-α或<c,b>=-α, 当<c,b>=-α时,S(c,a)+S(c,b)=2·|c||a|·sin α+2·|c||b|sin(-α)=sin α+cos α=sin(α+), 当α=时,S(c,a)+S(c,b)取得最大值; 当<c,b>=-α时,S(c,a)+S(c,b)=2·|c||a|·sin α+2·|c||b|sin(-α)=sin α+sin(-α)=sin α-cos α=sin(α-), 当α-=,即α=时,S(c,a)+S(c,b)取得最大值. 综上,S(c,a)+S(c,b)的最大值为. 类型二　与解三角形有关的新情境问题 类型二　与解三角形有关的新情境问题 [例2]　(2025·安徽马鞍山模拟)已知O为坐标原点,对于函数f(x)=asin x+bcos x,称向量=(a,b)为函数f(x)的相伴特征向量,同时称函数f(x)为向量的相伴函数. (1)记向量的相伴函数为f(x)=sin x+cos x,向量的相伴函数为g(x)=asin x+bcos x.若与垂直时,求与平行的单位向量; 类型二　与解三角形有关的新情境问题 [解]　依题意=(1,1),=(a,b),由·=a+b=0, =(a,-a),因此与平行的单位向量为±=±(1,-1)=±(,-), 所以与平行的单位向量为(,-)或(-,). 类型二　与解三角形有关的新情境问题 (2)设函数f(x)=sin x+cos x的相伴特征向量为,函数g(x)=cos (x-)+cos(+x)(x∈R)的相伴特征向量为,求出△ABC的面积; 类型二　与解三角形有关的新情境问题 [解]　依题意=(1,1),||=, g(x)=(cos x+sin x)+cos x-sin x=sin x+cos x,则=(1,),||=2, 所以S△ABC=||||sin∠BAC = ===. 类型二　与解三角形有关的新情境问题 (3)已知=(,1)为函数h(x)的相伴特征向量,若在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=,h(A)=2,若点G为该△ABC的外心,求·+·的最小值. 类型二　与解三角形有关的新情境问题 [解]　依题意h(x)=sin x+cos x=2sin(x+), 在△ABC中,由h(A)=2,得sin(A+)=1,而0<A<π,则A=, 由正弦定理得△ABC的外接圆半径R===1, 由点G为△ABC的外心,得||=||=||=1,且∠BGC=, ·+· =·(-)+·(-) 类型二　与解三角形有关的新情境问题 =·+·-2 =cos∠AGB+cos∠AGC-2 =cos∠AGB+cos(-∠AGB)-2 =cos∠AGB-sin∠AGB-2 =cos(∠AGB+)-2, 类型二　与解三角形有关的新情境问题 由0<∠AGB≤π且0<-∠AGB≤π,得≤∠AGB≤π,≤∠AGB+≤, 因此当∠AGB+=π,即∠AGB=时, [cos(∠AGB+)]min=-1, 所以·+·的最小值为-3. 类型二　与解三角形有关的新情境问题 　在理解新定义、新运算的基础上,转化为解三角形的数学模型,然后利用正、余弦定理以及面积公式解决问题. 方法总结 类型二　与解三角形有关的新情境问题 2.17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题:怎样在一个三角形中求一点,使它到每个顶点的距离之和最小?现已证明:在△ABC中,若三个内角均小于120°,当点P满足∠APB=∠APC=∠BPC=120°时,则点P到三角形三个顶点的距离之和最小,点P被称为△ABC的费马点.请根据费马点性质解决下列问题: (1)已知在△ABC中,AB=AC=4,BC=2,若点P为△ABC的费马点,求△APB的面积; 对点训练 类型二　与解三角形有关的新情境问题 解:如图1所示, 设||=m,||=n,||=s, 由余弦定理可得AB2=PA2+PB2-2PA·PBcos,即m2+n2+mn=16,① AC2=PA2+PC2-2PA·PCcos,即m2+s2+ms=16,② ①-②可得n2-s2+m(n-s)=0,即(n-s)(m+n+s)=0, 显然m+n+s>0,故n=s, 在△BPC中,由余弦定理可得12=BC2=PB2+PC2-2PB·PCcos=3n2, 解得n=2,故s=2,m=-1,因此S△APB=mnsin=×(-1) ×2×=. 类型二　与解三角形有关的新情境问题 (2)已知在△ABC中,AB=AC=1,A=,若点P为△ABC平面上任意一点,求|-|+|+|+|-|的最小值; 类型二　与解三角形有关的新情境问题 解: 在△ABC中,AB=AC=1,A=, 以A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x,y轴建立如图2所示的平面直角坐标系, 则A(0,0),B(1,0),C(0,1),设点P(x,y), 则-=(x-1,y),+=(x+1,y),-=(x,y-1), 所以|-|+|+|+|-|=++, 则|-|+|+|+|-|的几何意义是点P到点B(1,0),D(-1,0),C(0,1)的距离之和, 类型二　与解三角形有关的新情境问题 如图3所示, 由题意可知,当点P为△BCD的费马点时, |-|+|+|+|-|=||+||+||取最小值, 易得|BC|=|CD|=,|BD|=2,设||=a,||=b,||=c, 由余弦定理可得|CD|2=a2+b2-2abcos,即a2+b2+ab=2, 同理可得a2+c2+ac=2,b2+c2+bc=4, 联立这三个方程可得b=c=,a=1-, 因此|-|+|+|+|-|=||+||+||=c+b+a=1+, 因此|-|+|+|+|-|的最小值为1+. 类型二　与解三角形有关的新情境问题 (3)已知在△ABC中,C=,AC=1,BC=2,点M在线段AB上,且满足CM=BM,若点P为△AMC的费马点,求·+·(+)的值. 类型二　与解三角形有关的新情境问题 解:如图4所示, 在△ABC中,由余弦定理可得 AB= ==, 由正弦定理可得=, 则sin B==. 类型二　与解三角形有关的新情境问题 因为∠ACB=,则B为锐角, 所以cos B==. 因为BM=CM,则∠BCM=B,故∠BMC=π-2B, 在△BCM中,由正弦定理可得=, 可得BM====, S△BCM=BC·BMsin B=×2××=, 类型二　与解三角形有关的新情境问题 所以S△AMC=S△ABC-S△BCM=×1×2×sin-=. 又因为S△AMC=S△PAC+S△PAM+S△PMC=(||·||+||·||+||·||)sin =(||·||+||·||+||·||)=, 解得||·||+||·||+||·||=, 因此·+·(+)=·+·+· =(||·||+||·||+||·||) ·cos=×(-)=-. 感谢您的观看 $