专题1 第3讲 平面向量 基础课-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（提升版）

第三讲　平面向量 基础课 第一部分　专题突破 专题一　三角函数与平面向量 高考分析 1.高考主要考查向量的基本概念、运算和简单应用,如给出向量的坐标或几何表示求向量的模、夹角、数量积,或判断向量的平行、垂直关系等.　2.平面向量中的最值、范围问题常与函数、不等式相结合,解决时注意体会数形结合、转化与化归思想的应用. 考点一　平面向量的基本运算 内容索引 考点二　平面向量的最值与范围问题 考点三　平面向量的综合问题 3 考点一　平面向量的基本运算 考点一　平面向量的基本运算 平面向量等和线定理 平面内一组基底{,}及任一向量,且=λ+μ(λ,μ∈R),若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上,且k===,则λ+μ=k(定值),反之也成立,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.   考点一　平面向量的基本运算 [例1]　(1)(2022·新课标Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.设=m,=n,则=(　　) A.3m-2n　　　　　　 B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n [解析]　因为BD=2DA,所以=2,即-=2(-), 所以=3-2=3n-2m=-2m+3n. B 考点一　平面向量的基本运算 (2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 [解析]　因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以b2-4a·b=0即4+x2-4x=0,故x=2. D 考点一　平面向量的基本运算 1.(2025·全国一卷)帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小与方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和,其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.表中给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小,单位:m/s),则该时刻的真风为(　　) 对点训练 级数 名称 风速大小(单位:m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 A 考点一　平面向量的基本运算 解析:如图,设点A(3,3),B(0,2),C(2,0),由题意知,视风风速对应的向量为,船速对应的向量为,因为船行风风速对应的向量与船速对应的向量为相反向量,所以船行风风速对应的向量为,则真风风速对应的向量为-==(-2,2),||==2,而2∈(1.6,3.3),故该时刻的真风为轻风. 考点一　平面向量的基本运算 2.(2025·福建龙岩模拟)在直角△ABC中,∠C是直角,CA=4,CB=3,△ABC的内切圆交CA,CB分别于点D,E,点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界).若=x+y,则x+y的值可以是(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 B 考点一　平面向量的基本运算 解析:设△ABC的内切圆的半径为r,则S△ABC=CA·CB=(CA+CB+AB)r,即×4×3=×(4+3+5)r,解得r=1. 对于A项,连接DE,当x+y=1时,点P在线段DE上,不符合题意; 对于B项,在AC,CB上分别取点M,N,使得CM=2CD,CN=2CE,连接MN,所以=+, 则点P在线段MN上时,+=1,故x+y=2,符合题意; 对于C,D项,当x+y=4或x+y=8时,点P不在三角形内部, 不符合题意. 考点二　平面向量的最值与范围问题 考点二　平面向量的最值与范围问题 极化恒等式:a·b=[(a+b)2-(a-b)2]. 1.几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. 2.若O是平行四边形PMQN对角线的交点,则: (1)·=(||2-||2)(平行四边形模式); (2)·=||2-||2(三角形模式). 考点二　平面向量的最值与范围问题 [例2]　(1)(2025·北京模拟)如图所示,设P为图中7个正六边形(边长为4)的某一个顶点,A,B为两个固定顶点,则·的最大值为(　　) A.44　　　　　　　　　 B.48 C.72 D.76 B 考点二　平面向量的最值与范围问题 [解析]　连接AB,取AB的中点O,由极化恒等式·=|OP|2-|OA|2=|OP|2-64, 由图可知,离O距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点,所以-64=64+48-64=48,即·的最大值为48. 考点二　平面向量的最值与范围问题 (2)(2025·上海卷)已知函数f(x)=a,b,c是平面内三个不同的单位向量.若f(a·b)+f(b·c)+f(c·a)=0,则|a+b+c|的取值范围是　　　　.  (1,) 考点二　平面向量的最值与范围问题 [解析]　若f(a·b)=f(b·c)=f(c·a)=0,则a·b=b·c=c·a=0, 又三个向量均为平面内的单位向量,故向量a,b,c两两垂直,显然不成立; 故{f(a·b),f(b·c),f(c·a)}={-1,0,1}. 不妨设则a·b>0,b·c=0,c·a<0, 不妨设b=(1,0),c=(0,1),a=(cos θ,sin θ),θ∈[0,2π),则则θ∈(π,2π), 考点二　平面向量的最值与范围问题 则|a+b+c|=|(1+cos θ,1+sin θ)|= ==,由θ∈(π,2π),θ+∈(π,π), 则sin(θ+)∈(-,),2sin(θ+)∈(-2,2),故|a+b+c|∈(1,). 考点二　平面向量的最值与范围问题 　平面向量中有关最值问题的求解思路 方法总结 形化 利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断 数化 利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的数化解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决 考点二　平面向量的最值与范围问题 3.(2025·北京卷)在平面直角坐标系xOy中,||=||=,||=2.设C(3,4),则|2+|的取值范围是(　　) A.[6,14] B.[6,12] C.[8,14] D.[8,12] 对点训练 D 考点二　平面向量的最值与范围问题 解析:因为|OA|=|OB|=,||=2, 由=-平方可得,·=0,所以<,>=. 2+=2(-)+-=+-2,||==5, 所以|2+|2=++4-4(+)·=2+2+4×25-4(+)·=104-4(+)·. 又|(+)·|≤|+|||=5×=10, 即-10≤(+)·≤10, 所以|2+|2∈[64,144], 即|2+|∈[8,12]. 考点二　平面向量的最值与范围问题 4.(2025·北京模拟)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60°,AB=3,BC=6, ·=-,则||=　　　　;若M,N是线段BC上的动点,且||=1,则 ·的最小值为　　　　.  1 考点二　平面向量的最值与范围问题 解析:因为在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60°, 所以∠A=120°, 所以·=||||cos∠A=||×3×(-)=-, 解得||=1. 考点二　平面向量的最值与范围问题 法一:以B为原点,BC所在直线为x轴,垂直于BC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系, 由对称性不妨设点M在点N左侧,设M(a,0),N(a+1,0),0≤a≤5, 则D(,),(a-,-),(a-,-), 所以·=a2-4a+,所以当a=-=2时,·=a2-4a+取得最小值,最小值为22-4×2+=. 法二(利用极化恒等式):取MN的中点为E(图略),则·=||2-, 所以(·)min=()2-=. 考点三　平面向量的综合问题 考点三　平面向量的综合问题 [例3]　(1)(多选)(2025·广东佛山模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=45°,(+3)·=0,则下列说法正确的是(　　) A.sin B= B. tan A=2 C.在方向上的投影向量为 D.若||=,则·=2 AC 考点三　平面向量的综合问题 [解析]　A选项:对于(+3)·=0,根据数量积的定义展开可得,cacos(π-B)+3bacos C=0, 即3abcos C=accos B,即3bcos C=ccos B,由正弦定理,3sin Bcos C=sin Ccos B, 即tan B=tan C=tan 45°=,则 B为锐角, 由 解得A选项正确. 考点三　平面向量的综合问题 B选项:由A选项和题干可知,tan B=,tan C=1, tan(B+C)==2=tan(π-A)=-tan A,故tan A=-2,B选项错误. C选项:方向上的投影向量为||cos B·, 由B选项知,tan A=-2, 且0<A<π,sin A>0,解得sin A=, 由正弦定理,==,则||cos B·=·=,C选项正确. 考点三　平面向量的综合问题 D选项:由正弦定理,==,即==,解得a=4,c=, 于是cos A==-,·=××(-)=-2,D选项错误. 考点三　平面向量的综合问题 (2)(2025·上海模拟)已知△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=,点D在线段BC上,且S△ACD=2S△ABD,则·的值为　　　　.  8 考点三　平面向量的综合问题 [解析]　设等腰△ABC的边BC上的高为h,因为S△ACD=2S△ABD,所以×CD×h=2××BD×h,所以CD=2BD, 所以=+=+=+(-)=+, 所以·=·(+)=+·=||2+||·||cos∠BAC=×42+×4×4×(-)=8. 考点三　平面向量的综合问题 　平面向量综合问题的常见解法 方法总结 借“底”数字化 选取合适的一组基底,建立向量关系,构造未知向量的方程求解;求模时,通常进行“模方”运算 借“系”坐标化 把几何图形放在坐标系中,表示有关点、向量的坐标,进行相应的代数运算,从而解决问题 考点三　平面向量的综合问题 5.(多选)(2025·山东济南模拟)在艺术、建筑设计中,把短对角线与长对角线长度之比为-1的菱形称为白银菱形.如图,在白银菱形ABCD内,有三个全等的小白银菱形AEMH,BNDM,NFCG.若AB=+1,则(　　 ) A.与共线 B. ∠BAD= C.·=- D.·+·=0 对点训练 ABD 考点三　平面向量的综合问题 解析:根据题意,在白银菱形ABCD内, 设AC=2x,BD=2y,则=-1, 在小白银菱形AEMH,NFCG中, EM∥AH,GN∥CF, 而AH∥CF,所以EM∥GN,则共线,A正确; 由于tan∠DAN==-1,则tan∠BAD=tan 2∠DAN==1, 因为0<∠BAD<π,则∠BAD=,B正确; 考点三　平面向量的综合问题 由于∠BAD=,所以∠DHM=,∠AHM=,又∠ADC=,∠MDN=,根据对称性可得∠HDM=,所以∠HMD=, 在Rt△HMD中,设小白银菱形边长为a,则HD=a,AD=AH+HD=a+a=+1,所以a=1, 则·=-·=-1××cos=-1,C错误; ·+·=·-·=0,D正确. 考点三　平面向量的综合问题 6.(2025·江苏南通模拟)已知AB是以点(0,2)为圆心且与函数y=图象有公共点的所有圆中半径最小的圆的一条直径,O为坐标原点,则·=　　　　.  -2 考点三　平面向量的综合问题 解析:设f(x)=,则函数f(x)的定义域为{x|x≠±2}, 且f(-x)===f(x),所以f(x)是偶函数.记点C(0,2),对于f(x),在x>0且x≠2上任取一点P(x,y),则|CP|==, 令t=x-2,t∈(-2,0)∪(0,+∞),则|CP|==, 考点三　平面向量的综合问题 令μ=t-,t∈(-2,0)∪(0,+∞),因为μ=t-在(0,+∞)上为增函数,且t→+∞,μ→+∞,t→0+,μ→-∞,所以μ∈R,所以|CP|==, 当μ=-2,即t=-1,x=+1时,|CP|min=,即圆的 最小半径为,且圆心为C(0,2), 如图,·=(+)·(+)=(+)·(-)=-=4-6=-2. 感谢您的观看 $