专题1 第2讲 解三角形 基础课-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（提升版）

第二讲　解三角形 基础课 第一部分　专题突破 专题一　三角函数与平面向量 高考分析 解三角形以正、余弦定理的综合应用为主,常与三角恒等变换融合考查边、角、面积的计算以及最值、范围的问题,综合性较强,对思维的灵活性考查较高. 考点一　解三角形的基本应用 内容索引 考点二　三角形中的最值(范围)问题 考点三　解三角形的实际应用 3 考点一　解三角形的基本应用 考点一　解三角形的基本应用 [例1]　(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab. (1)求B; [解]　因为a2+b2-c2=ab, 所以cos C===. 因为C∈(0,π),所以C=. 因为sin C=cos B,即=cos B,解得cos B=.又B∈(0,π),所以B=. 考点一　解三角形的基本应用 (2)若△ABC的面积为3+,求c. [解]　由(1)可得B=, C=,所以A=π--=, 则sin A=sin=sin(+)=×+×=, 由正弦定理有==, 所以a=·c=c,b=·c=c, 所以S△ABC=absin C=·c·c·=c2=3+, 所以c2=8,所以c=2. 考点一　解三角形的基本应用 　在处理三角形中的边角关系时,一般转化为角或边的关系;若出现边的一次式,一般采用正弦定理,把边转化为角;若出现边的二次式,一般采用余弦定理.应用正、余弦定理时,要注意公式的变形应用. 方法总结 考点一　解三角形的基本应用 1.(2024·全国甲卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°,b2=ac,则sin A+sin C=(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 对点训练 C 解析:由b2=ac,得sin Asin C=sin2B=. 又b2=a2+c2-ac=ac,所以a2+c2=ac,即sin2A+sin2C=sin Asin C=, 则(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sin Asin C=,所以sin A+sin C=. 考点一　解三角形的基本应用 2.(多选)(2025·全国一卷)已知△ABC的面积为,cos 2A+cos 2B+2sin C=2,cos Acos Bsin C=,则( 　　) A.sin C=sin2A+sin2B B.AB= C.sin A+sin B= D.AC2+BC2=3 考点一　解三角形的基本应用 ABC 解析:因为cos 2A+cos 2B+2sin C=2,所以2cos2A-1+2cos2B-1+2sin C=2,即cos2A+cos2B+sin C=2, 所以1-sin2A+1-sin2B+sin C=2,即sin C=sin2A+sin2B,故A正确. 当C> 时,A+B<,即0<A<-B<,故有0<sin A<sin,即0<sin A<cos B,同理有0<sin B<cos A. 所以sin2A+sin2B<sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B)=sin C,与A选项矛盾,故C>不成立,同理可得C< 也不成立,故C=,则sin C=1,cos C=0. 考点一　解三角形的基本应用 因为cos Acos Bsin C=,所以cos Acos B=,因为A+B=,所以cos B=sin A,所以cos Asin A=,即sin 2A=,又A∈,2A∈(0,π),故2A=,即A=. 当A= 时, tan =tan =2-,所以=2-.① S△ABC=AC·BC=,故AC·BC=,② 结合①②可得 所以AB2=AC2+BC2=2,则AB=,故B正确,D错误. 考点一　解三角形的基本应用 当A=时,sin =sin=,sin =sin=, 所以sin A+sin B=+=,故C正确. 当A= 时,同理可得B正确,C正确,D错误. 考点一　解三角形的基本应用 考点二　三角形中的最值(范围)问题 考点二　三角形中的最值(范围)问题 [例2]　(2022·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=. (1)若C=,求B; 考点二　三角形中的最值(范围)问题 [解]　因为==,且cos B≠0,得=, 即sin B=cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B)=-cos C>0,由cos C<0,得<C<π,0<B<, 又C=,所以sin B=-cos C=, 所以B=. 考点二　三角形中的最值(范围)问题 (2)求的最小值. [解]　由(1)知,<C<π,0<B<. 因为sin B=-cos C=sin(C-), 所以C=+B,即A=-2B, 所以B∈(0,),C∈(,), 所以====4cos2B+-5≥2-5=4-5,当且仅当cos2B=时取等号,所以的最小值为4-5. 考点二　三角形中的最值(范围)问题 　解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略 1.利用余弦定理,找三角形三边之间的关系,利用基本不等式将a+b与ab相互转化求最值或范围. 2.利用正弦定理,将边化成角的正弦,利用三角恒等变换进行化简,利用三角函数的性质求最值、范围. 方法总结 考点二　三角形中的最值(范围)问题 3.(2025·辽宁沈阳模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且满足=a. (1)求角B的大小; 对点训练 考点二　三角形中的最值(范围)问题 解:由正弦定理得=sin A, 即sin Bsin A=sin A(1+cos B). 因为0<A<π,所以sin A≠0,所以sin B=1+cos B,所以sin(B-)=. 又因为-<B-<, 所以B=. 考点二　三角形中的最值(范围)问题 (2)若b=,求△ABC面积的最大值; 解: 由余弦定理得: cos B==,代入b=得a2+c2=3+ac, 根据基本不等式a2+c2≥2ac,得ac≤3,当且仅当a=c=时,等号成立, △ABC的面积为acsin B=ac≤,故面积的最大值为. 考点二　三角形中的最值(范围)问题 (3)求sin Asin C+sin Bsin C+sin Bsin A的取值范围. 解: sin Asin C+sin Bsin C+sin Bsin A =sin Asin C+(sin A+sin C) =sin Asin(-A)+[sin A+sin(-A)] =sin 2A+sin2A+sin A+cos A =sin(2A-)+sin(A+)+, 考点二　三角形中的最值(范围)问题 令x=A+,则2A-=2x-, 所以sin(2A-)+sin(A+)+=sin2x+sin x-=(sin x+)2-. 因为A∈(0,),所以x∈(,),所以sin x∈(,1], 当sin x∈(,1]时,sin2x+sin x->()2+×-=, 当sin x=1时,(sin2x+sin x-)max= 12+×1-=, 故sin Asin C+sin Bsin C+sin Bsin A的取值范围为(,]. 考点三　解三角形的实际应用 考点三　解三角形的实际应用 [例3]　(1)(2025·湖北武汉模拟)某中学数学兴趣小组为测量学校附近某建筑物的高度,在学校操场选择了同一条直线上的A,B,C三点进行测量.如图,AC=20米,B为AC的中点,兴趣小组组长小王在A,B,C三点正上方2米处的A1,B1,C1观察建筑物最高点E的仰角分别为α,β,γ,其中tan α=,tan β=2,tan γ=,点D为点E在地面上的正投影,点D1为DE上与A1,B1,C1位于同一高度的点,则建筑物的高度DE为(　　) A.20米 B.22米 C.40米 D.42米 B 考点三　解三角形的实际应用 [解析]　设D1E=h,因为tan α=,tan β=2,tan γ=,所以A1D1==,B1D1==,C1D1==. 因为AC=20,B为AC的中点,所以A1C1=20,B1为A1C1的中点, 故A1B1=B1C1=10, 在△A1B1D1中,由余弦定理得cos∠A1B1D1==, 考点三　解三角形的实际应用 在△C1B1D1中,由余弦定理得cos∠C1B1D1==, 由于∠A1B1D1+∠C1B1D1=π,故cos∠A1B1D1+cos ∠C1B1D1=0, 即+=0,解得h=20,故建筑物的高度DE=h+2=22(米). 考点三　解三角形的实际应用 (2)(2025·安徽黄山模拟)如图1,为了测量两山顶M,N间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,A,B,M,N在同一个铅垂平面内,其平面图形如图2所示.已知∠ABM=30°,∠BAN=45°,∠MAN=60°,∠MBN=90°, AB=2,则MN=(　　) A.5(-1)　　　　　　 B.5 C.5(+1) D.10 C 考点三　解三角形的实际应用 [解析]　由题设∠BAM=105°,∠ABM=30°,则∠AMB=45°,而AB=2, 所以=, 则AM===, 由∠ABN=120°,∠BAN=45°,得∠ANB=15°,而AB=2, 又sin 15°===, 考点三　解三角形的实际应用 所以=, 则AN===3+, 由MN== = =5(+1). 考点三　解三角形的实际应用 　解三角形实际问题的步骤 方法总结 考点三　解三角形的实际应用 4.(多选)(2025·广东佛山模拟)如图,为测量海岛的高度AB以及其最高处瞭望塔的塔高BC,测量船沿航线DA航行,且DA与AC在同一铅直平面内,测量船在D处测得∠BDA=α,∠CDA=β,然后沿航线DA向海岛的方向航行m千米到达E处,测得∠BEA=γ,∠CEA=δ(δ>γ>β>α,测量船的高度忽略不计),则(　　) A.AB= B.BD= C.BC= D.CD= 对点训练 BD 考点三　解三角形的实际应用 解析:在△BDE中,∠BDE=α,∠DBE=∠BEA-∠BDE=γ-α,∠BED=π-γ,由正弦定理得==, 即==,所以BD=,BE=,故B正确; 且AB=BDsin α=,故A错误; 故AE=BEcos γ=,在△BCE中,∠BCE=-δ,∠BEC=δ-γ, 由正弦定理得=,所以BC==,故C错误; 在△CDE中,∠CDE=β,∠DCE=∠CEA-∠CDE=δ-β,∠CED=π-δ,代入=,所以CD=,故D正确. 5.(2025·湖北武汉模拟)海上某货轮在A处看灯塔B在北偏东75°,距离为30海里处;在A处看灯塔C在北偏西30°,距离为20海里处.货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°,则灯塔C与D处之间的距离为　　　　海里.  考点三　解三角形的实际应用 20 解析:如图,由题意∠DAB=75°,∠ADB=90°-30°=60°,所以∠DBA=180°-75°-60°=45°, 在△ABD中,由正弦定理得=,即=,所以AD=60海里, 在△ADC中,∠DAC=30°, 所以CD= = =20(海里). 考点三　解三角形的实际应用 感谢您的观看 $