专题3 第4讲 数列中的子数列 提升课-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（基础版）

第四讲　数列中的子数列 提升课 第一部分　专题突破 专题三　数列 高考分析 数列中的奇、偶项问题是高考考查的一个热点内容,对一个数列分成两个新数列进行单独研究,利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列. 考点一　奇偶项问题 内容索引 考点二　公共项与增、减项问题 3 考点一　奇偶项问题 考点一　奇偶项问题 [例1]　(1)(2025·江西南昌模拟)已知数列{an}满足a1=1,a2=2,且an+2=则{an}的前50项的和为(　　) A.36　　　　　　　　　　 B.39 C.41 D.45 B 考点一　奇偶项问题 [解析]　当n≥3且为奇数时,an=an-2=…=a3=a1=1, 当n≥2且为偶数时,an+2=an+1-an,则an+2+an=an+1=1, 而a2=2,则a4=a3-a2=-1,a6=a5-a4=2,…,依次类推有a50=2, 所以S50=25a1+(a2+a4+…+a46+a48+a50)=25+12+2=39. 考点一　奇偶项问题 (2)(多选)(2025·辽宁沈阳模拟)已知an+1=记数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,则下列说法正确的是(　　) A.a1=1 B.a19=2 047 C.a2n=2n-2 D.S20=6 108 AD 考点一　奇偶项问题 [解析]　已知an+1= 因为S3=6,即a1+a2+a3=6,所以a1+2a1+a2+1=6,a1+2a1+2a1+1=6, 解得a1=1,故A正确; 由此可得a2=2a1=2,a3=a2+1=3,a4=2a3=2×3=6,a5=a4+1=7, …… 所以当n为奇数时,n+1为偶数,n+2为奇数, 所以an+1=2an,an+2=an+1+1=2an+1, 考点一　奇偶项问题 所以an+2+1=2(an+1), 所以数列{an+1}是首项为a1+1=2,公比为2的等比数列, 所以an+1=2×=,所以an=-1, 所以a19=-1=210-1=1 023,故B错误; 当n为偶数时,n+1为奇数,n+2为偶数, 则an+1=an+1,an+2=2an+1=2(an+1)=2an+2, 所以an+2+2=2(an+2), 所以数列{an+2}是首项为a2+2=4,公比为2的等比数列, 考点一　奇偶项问题 所以an+2=4×, 所以an=4×-2=-2, 所以a2n=2n+1-2,故C错误; S20=a1+a2+…+a20 =(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20) =(21-1+22-1+…+210-1)+(22-2+23-2+…+211-2) =-10+-20=2×(1 024-1)-10+4×(1 024-1)-20=6 108,故D正确. 考点一　奇偶项问题 　对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时,我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和,也可以把+看作一项,求出,再求=-. 方法总结 考点一　奇偶项问题 1.(2025·福建莆田模拟)已知数列{an}满足a1=1,an+1= (1)记bn=a2n+2,求b1,b2,并证明数列{bn}是等比数列; 解:由题意,a2=3,a3=6,a4=8, 所以b1=5,b2=10. 又因为====2, 所以数列{bn}是首项为5,公比为2的等比数列. 对点训练 考点一　奇偶项问题 (2)记cn=a2n+3,求满足c1+c2+c3+…+cn<100的所有正整数n的值. 解:由(1)知bn=5×2n-1,所以cn=5×2n-1+1, 所以c1+c2+c3+…+cn=5×(20+21+…+2n-1)+n=5×2n+n-5. 因为c1+c2+c3+…+cn单调递增, 且c1+c2+c3+c4=79<100<c1+c2+c3+c4+c5=160, 所以正整数n的所有取值为1,2,3,4. 考点二　公共项与增、减项问题 考点二　公共项与增、减项问题 [例2]　已知数列{an}满足a1=2,且a1+++…+=,在数列{bn}中,b1=2,点P(bn,bn+1)在函数y=x+2的图象上. (1)求{an}和{bn}的通项公式; 考点二　公共项与增、减项问题 [解]　因为a1+++…+=, 所以当n≥2时,a1+++…+=, 所以=-, 所以2an=nan+1-2(n-1)an,所以an+1=2an(n≥2),又a1=2,a2=2a1=4, 所以{an}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an=2·2n-1=2n. 因为点P(bn,bn+1)在函数y=x+2的图象上,所以bn+1=bn+2,即bn+1-bn=2, 又b1=2,所以{bn}是首项为2,公差为2的等差数列,所以bn=2+2(n-1)=2n. 考点二　公共项与增、减项问题 (2)将数列{bn}和{an+}的所有公共项从小到大排列得到数列{cn},求数列{cn}的前n项和Tn. [解]　因为bn=2n是所有的正偶数,又an+=2n+n,所以cn=22n+2n,所以Tn=c1+c2+c3+…+cn=22+2+24+4+26+6+…+22n+2n=22+24+26+…+22n+2+4+6+…+2n =+=+n2+n. 考点二　公共项与增、减项问题 　两个等差数列的公共项是等差数列,且公差是两个等差数列公差的最小公倍数,两个等比数列的公共项是等比数列,公比是两个等比数列公比的最小公倍数,一个等差数列与一个等比数列的公共项一般通过观察法寻找其通项公式. 方法总结 考点二　公共项与增、减项问题 对点训练 2.已知在各项均为正数的数列{an}中,a1=1且满足-=2an+2an+1,数列{bn}的前n项和为Sn,满足2Sn+1=3bn. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; 考点二　公共项与增、减项问题 解:由-=2an+2an+1, 得(an+1-an)(an+1+an)=2(an+1+an). ∵an+1+an>0, ∴an+1-an=2, ∴{an}是首项为a1=1,公差为2的等差数列, ∴an=2n-1. 考点二　公共项与增、减项问题 又当n=1时,2S1+1=3b1,得b1=1, 当n≥2,2Sn+1=3bn,① 2Sn-1+1=3bn-1,② 由①-②整理得bn=3bn-1. ∵b1=1≠0,∴bn-1≠0,∴=3, ∴数列{bn}是首项为1,公比为3的等比数列,故bn=3n-1. 考点二　公共项与增、减项问题 (2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和In; 解:∵cn=2n-1+3n-1, ∴In=(1+30)+(3+31)+…+(2n-1+3n-1) =(1+3+…+2n-1)+(30+31+…+3n-1) =+ =. 考点二　公共项与增、减项问题 (3)若在bk与bk+1之间依次插入数列{an}中的k项构成新数列{c'n}:b1,a1,b2,a2,a3,b3,a4,a5,a6,b4,…,求数列{c'n}中前50项的和T50. 解:依题意知:在新数列{c'n}中,ak+1(含ak+1)前面共有(1+2+3+…+k)+(k+1)=项. 由≤50(k∈N*)得k≤8, ∴新数列{c'n}中含有数列{bn}的前9项:b1,b2,…,b9,含有数列{an}的前41项:a1,a2,a3,…,a41, ∴T50=+=11 522. 感谢您的观看 $