专题1 第1讲 三角函数的图象与性质 基础课-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（提升版）

第一讲　三角函数的图象与性质 基础课 第一部分　专题突破 专题一　三角函数与平面向量 高考分析 1.高考常将三角函数的多种性质如单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值以及图象的变换和图象的识别等综合考查.　2.选择题、填空题多以中档题为主,解答题通常与三角恒等变换、平面向量等知识结合,增加试题的灵活性和综合性. 考点一　三角函数与三角恒等变换 内容索引 考点二　三角函数的图象与性质 考点三　三角函数中与ω,φ有关的问题 3 考点一　三角函数与三角恒等变换 考点一　三角函数与三角恒等变换 1.(2025·全国二卷)已知0<α<π,cos =,则sin=(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. D 考点一　三角函数与三角恒等变换 解析:因为cos =,所以cos α =2cos2-1=-.又 0<α <π,所以sin α ===,所以sin =(sin α-cos α) =×=. 考点一　三角函数与三角恒等变换 2.(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=(　　) A.-3m B.- C. D.3m 解析:因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=m, 而tan αtan β==2, 所以cos αcos β-2cos αcos β=m, 即cos αcos β=-m,从而sin αsin β=-2m,故cos(α-β)=-3m. A 考点一　三角函数与三角恒等变换 3.(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=(　　) A. B. C.- D.- 解析:因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=, cos αsin β=,所以sin αcos β=,则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=, 所以cos(2α+2β)=cos[2(α+β)]=1-2sin 2(α+β)=1-2×()2=. B 考点一　三角函数与三角恒等变换 4.(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　.  - 考点一　三角函数与三角恒等变换 解析:法一:tan(α+β)==-2.又2kπ+π<α+β<2kπ+2π,k∈Z,所以α+β为第四象限角.由sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,得sin2(α+β)+sin2(α+β)=1,所以sin2(α+β)=.又sin(α+β)<0,所以sin(α+β)=-. 法二:设tan α=m,tan β=n,m>0,n>0,则sin α=,cos α=,sin β=,cos β=,所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β==-. 考点一　三角函数与三角恒等变换 　 三角恒等变换的基本思路 找差异、化同角(名)化简求值,三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式、三角恒等变换公式的熟记和灵活应用. 方法总结 考点二　三角函数的图象与性质 考点二　三角函数的图象与性质 [例1]　(1)(2025·全国一卷)已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tan的图象的一个对称中心,则a的最小值为(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. [解析]　由点(a,0)(a>0)是函数y=2tan的图象的一个对称中心,可知a-=(k∈Z),即a=+(k∈Z).由a>0可得,当k=0时,a取得最小值. B 考点二　三角函数的图象与性质 (2)(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin(2x-),下列说法中正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 BC 考点二　三角函数的图象与性质 [解析]　由f(x)=sin 2x=0,解得x=,k∈Z,此时 g(x)=sin(kπ-)≠0, A错误; 显然f(x)max=g(x)max=1,B正确;f(x),g(x)的最小正周期均为=π,C正确; 函数f(x)图象的对称轴为直线x=+,k∈Z,函数g(x)图象的对称轴为直线x=+,k∈Z, D错误. 　 1.由三角函数的图象求解析式y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)中参数的值 (1)最值定A,B:根据给定的函数图象确定最值,设最大值为M,最小值为m,则A=,B=. (2)T定ω:由最小正周期公式T=,可得ω=. (3)特殊点定φ:代入特殊点求φ,一般代入最高点或最低点,代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势. 2.研究三角函数性质的思路:将函数解析式进行化简,转化为y=Asin(ωx+φ)+h的形式, 将ωx+φ(ω>0)作为一个整体,结合正弦函数y=sin x的性质求解. 方法总结 考点二　三角函数的图象与性质 1.(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin (3x-)的交点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 对点训练 C 考点二　三角函数的图象与性质 解析:因为函数y=sin x的最小正周期为2π,函数y=2sin(3x-)的最小正周期为,所以当x∈[0,2π]时,函数y=2sin(3x-)有3个周期的图象,在坐标系中结合五点法画出两个函数图象,如图所示, 由图可知,在区间[0,2π]上,两函数图象有6个交点. 考点二　三角函数的图象与性质 2.(多选)(2025·广东肇庆模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,下列结论中正确的是(　 　) A.ω=2 B.函数f(x)的图象关于点(-,0)对称 C.函数f(x)在[-,]上单调递增 D.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)=sin(2x+)的图象 ABC 考点二　三角函数的图象与性质 解析:对于选项A:由题意可得=-=,故T=π,则ω==2,故A正确; 根据图象,可得A=1,f()=sin(2×+φ)=-1, 即+φ=-+2kπ(k∈Z),解得φ=-+2kπ(k∈Z),又|φ|<,即φ=-+2π=, 所以f(x)=sin(2x+), 对于选项B:当x=-时,有2×(-)+=0, 故f(x)的图象关于点(-,0)对称,故B正确; 考点二　三角函数的图象与性质 对于选项C:令t=2x+,则y=sin t, 当x∈[-,]时,t=2x+∈[-,], 而y=sin t在[-,]上单调递增,故C正确; 对于选项D:将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到g(x)=f(x-)=sin[2(x-)+]=sin(2x+),故D错误. 考点二　三角函数的图象与性质 考点三　三角函数中与ω,φ有关的问题 考点三　三角函数中与ω,φ有关的问题 [例2]　(1)(2025·北京卷)设函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),若f(x+π)=f(x)恒成立,且f(x)在上存在零点,则ω的最小值为(　　) A.8 B.6 C.4 D.3 C 考点三　三角函数中与ω,φ有关的问题 [解析]　函数f(x)=sin ωx+cos ωx=sin(ωx+)(ω>0), 设函数f(x)的最小正周期为T,由f(x+π)=f(x)可得kT=π(k∈N*), 所以T==(k∈N*),即ω=2k(k∈N*). 又函数f(x)在上存在零点,且当x∈时,ωx+∈, 所以+≥π,即ω≥3.综上,ω的最小值为4. 考点三　三角函数中与ω,φ有关的问题 (2)(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是　　　　.  [解析]　因为0≤x≤2π,ω>0,所以0≤ωx≤2ωπ,令f(x)=cos ωx-1=0,则cos ωx=1有3个根,令t=ωx,则cos t=1有3个根,其中t∈[0,2ωπ],结合余弦函数y=cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π,故2≤ω<3. [2,3) 　 求ω,φ的最值与范围问题的解法 1.根据x的范围求出ωx+φ的范围,利用三角函数的图象求解. 2.利用解析式,直接求三角函数的零点、极值点、单调区间、对称轴方程或对称中心的坐标即可,注意整体代换的应用. 方法总结 考点三　三角函数中与ω,φ有关的问题 3.(2025·安徽安庆模拟)若将函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向右平移φ个单位长度,所得图象关于原点中心对称,则φ的最小正值是(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 对点训练 A 考点三　三角函数中与ω,φ有关的问题 解析:f(x)=sin(2x+),将函数f(x)的图象向右平移φ个单位长度得g(x)=sin(2x+-2φ),由该函数为奇函数可知2φ-=kπ,k∈Z, 即φ=+,k∈Z,所以φ的最小正值为. 考点三　三角函数中与ω,φ有关的问题 4.(2025·山东青岛模拟)已知函数f(x)=2sin2(+)+sin(ωx+)-1(ω>0),若方程f(x)=在区间[0,2π]上恰有5个根,且f(x)在[-,]上单调递增,则实 数ω的取值范围为　　　　.  [,] 考点三　三角函数中与ω,φ有关的问题 解析:由题意,f(x)=2sin2(+)+sin(ωx+)-1=1-cos(ωx+)+sin(ωx+)-1 =sin(ωx+-)=sin(ωx+), 由f(x)=,可得sin(ωx+)=,则ωx+=+2kπ或ωx+=+2kπ,k∈Z. 由x∈[0,2π]可得ωx+∈[,+2ωπ],由f(x)=恰有5个根,可得≤+2ωπ<,解得≤ω<. 考点三　三角函数中与ω,φ有关的问题 由-≤ωx+≤,得-≤x≤,即函数f(x)在[-,]上单调递增, 所以[-,]⊆[-,],即,且ω>0,解得0<ω≤. 所以实数ω的取值范围为≤ω≤. 考点三　三角函数中与ω,φ有关的问题 感谢您的观看 $