精品解析：2025-2026学年高二上学期期末诊断（二）数学试题

2027届高二上学期期末诊断（二） 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确答案填涂在答题卡的相应位置上. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得． 【详解】由，解得，则， 而，所以． 故选：A 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算化简，再根据共轭复数的定义求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选:D. 3. 已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用焦半径公式可求得点的横坐标，代入可得纵坐标. 【详解】根据题意可抛物线的焦点坐标为，准线方程为； 设，易知，解得， 代入抛物线方程可得，解得. 故选：D 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性可比较，根据即可求解. 【详解】由于函数为单调递增函数，故， 而，故， 故选：C 5. 若在等差数列中，．则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式，将已知等式化简，两式相减即可求得答案 【详解】因为，所以, 解得 故选：B 6. 已知递增的等比数列满足，，则的公比（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得的值，结合以及为递增数列可得和的值，从而可得公比. 【详解】由，，解得或， 因为是递增数列，所以，则，又为递增的等比数列，所以. 故选：B. 7. 如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为（ ） A. B. 7 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据式子，即可求出的长为. 【详解】因为，所以， 因为二面角为，所以，即， 所以 ， 所以，即的长为. 故选：C. 8. 阿波罗尼斯，古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，记动点的轨迹为.对任意实数，直线：与曲线恒有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点间的距离公式可得曲线的方程，由题意可得对任意实数，都有，分类参数即可求解. 【详解】设,因为，， 所以，化简可得， 所以曲线的圆心为，半径为. 因为对任意实数，直线：与曲线恒有公共点， 所以对任意实数，都有， 即任意实数恒成立. 因为,所以， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选:A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9. 对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 【答案】BD 【解析】 【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为， ， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ， 故D正确， 故选：BD. 10. 如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为，则（ ） A. 椭圆的长轴长等于4 B. 椭圆的标准方程可以是 C. 椭圆的离心率为 D. 椭圆上存在点到焦点的距离为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定图形，求出椭圆长短半轴长a，b，再逐项计算、判断即可得解. 【详解】设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径， 对于A，由截面与圆柱底面成锐二面角，得，解得，A错误； 对于B，当以椭圆短轴所在直线为x轴，长轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程，B正确； 对于C，椭圆短半轴长，则半焦距，离心率，C错误； 对于D，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，最大值为， 而，即椭圆上存在点到焦点的距离为，D正确. 故选：BD 11. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…设第层有个球，从上往下层球的总数为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. ， D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据每层球数变化规律可直接求解得到AB正误；利用累加法可求得C正确；采用裂项相消法可求得D正确. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，由每层球数变化规律可知：，B错误； 对于C，当时，； 当时，满足，； ，C正确； 对于D，， ，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 现有一块实心圆柱铁块，轴截面为正方形，侧面积为，将其磨制成一个球体零件，则能制作的最大零件的体积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，由圆柱侧面积求出，由题意可知，球与圆柱的上下底面相切时，体积最大，由球的体积公式即可解答. 【详解】设圆柱的底面半径为， 因为圆柱的轴截面为正方形，侧面积为， 所以，解得， 由题意可知，球与圆柱的上下底面相切时，体积最大，所以球的半径为3， 则能制作的最大零件的体积为. 故答案为：. 13. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平移规则可得平移后的解析式，再利用奇偶性以及即可得. 【详解】函数的图象向右平移个单位以后可得； 即为奇函数，因此可得，即； 又，可知当时，符合题意. 故答案为： 14. 已知函数恰有2个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】对参数的取值分类讨论，结合指数函数的单调性和二次函数的零点分布情况，列出不等式求解即可. 【详解】因为有个零点，而单调递增，在至多一个零点，故分类讨论如下： ①若，即，也即时，在上没有零点， 此时，若满足题意，则在上有两个零点， 显然其，根据韦达定理，则且，解得； 故当时，在有个零点，在没有零点，合计2个零点，满足题意； ②若，即时，在上有个零点， 此时，若满足题意，则在上恰有个零点即可， 又其对称轴为，且，故只需，即，解得， 但不满足大前提，故舍去； 综上所述：实数的取值范围是：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知锐角的内角所对的边分别为，满足. （1）求角； （2）若，，求的周长. 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）由平面向量的数量积运算可得，根据余弦定理求出，从而可求，继而可得的周长. 【小问1详解】 因为， 所以由余弦定理可得. 因为是锐角三角形，所以， 所以，即， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以. 因为，， 由余弦定理可得， 所以, 所以， 所以， 所以的周长为. 16. 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，，，. （1）求、的通项公式； （2）记，为的前项和，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，根据已知条件可得得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列、的通项公式； （2）求出数列的通项公式，利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则， 因为，，， 则， ， 所以，，解得， 所以，，. 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 所以，，① 可得，② ①②可得 ， 因此，. 17. 某校为选拔参加数学联赛的同学，先进行校内数学竞赛，为了解校内竞赛成绩，从所有学生中随机抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩，并作出频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）求频率分布直方图中a的值．若从成绩不低于70分的同学中，按分层抽样方法抽取12人的成绩，求12人中成绩不低于90分的人数. （2）用样本估计总体，估计该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数以及中位数. （3）若甲、乙两位同学均进入第二轮的复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为，乙复赛获一等奖的概率为，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率． 【答案】（1），12人中成绩不低于90分的人数为1； （2）平均数约为分，中位数约为分； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和为1可求的值，再根据分层随机抽样可得12人中成绩不低于90分的人数； （2）根据频率分布直方图及平均数与中位数的定义计算即可； （3）根据相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，解得. 的频率为，的频率为， 的频率为，按分层抽样方法抽取12人的成绩， 则12人中成绩不低于90分的人数为. 【小问2详解】 该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数为： . 的频率为， 的频率为， 设中位数为,则， 则，解得， 故该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数约为分，中位数约为分. 【小问3详解】 设“至少有一位同学复赛获一等奖”， 则, 故至少有一位同学复赛获一等奖的概率为. 18. 如图，已知是的高，沿将折起到的位置，使得. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为是的高，所以折起前， 折起后； 因为平面； 又平面，所以, 又，平面, 因此平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据折叠关系利用线面垂直的性质定理以及判定定理即可得出证明； （2）建立空间直角坐标系求出平面和平面的法向量，利用向量夹角的公式计算即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直， 以为坐标原点，所在直线为轴，过点作平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 由可得， 则， 设平面的一个法向量为， 所以，解得，令，可得； 即可得， 又， 设平面的一个法向量为， 所以，解得，令，可得； 即可得， 易知， 所以二面角的正弦值为. 19. 已知双曲线的离心率为2，左顶点为，过右焦点的直线交双曲线于两点. （1）求双曲线的方程； （2）从下面两个结论中选择一个给出证明（多选则按照第一个给分）. ①；②若线段的垂直平分线交轴于点，则为定值. 【答案】（1）； （2）选①：证明如下： 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 代入，可得，不妨设, 又，则, 所以， 所以. （ii）若直线的斜率不存在，设直线的方程为， 联立,可得, 化简可得. 因为过右焦点的直线交双曲线于两点, 所以，且. 设，则， ， 则 ， 所以. 综上所述，. 选②：为定值，证明如下： 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 设， 由①可得， 则 . ， 所以的中点的坐标为. 当时，线段的垂直平分线为，则, 则, 则. 当时，线段的垂直平分线为. 令，可得，即. 则, 所以. 综上所述，为定值1. AI 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再结合即可求解； （2）选①：分直线的斜率不存在与斜率存在讨论，根据即可证明；选②：易知直线的斜率存在，设直线的方程为，根据弦长公式求，求线段的垂直平分线可求的坐标及，从而进而证明. 【小问1详解】 因为双曲线的离心率为2，右焦点为， 则，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 若选①：证明略 （ii）为定值1，证明略. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高二上学期期末诊断（二） 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确答案填涂在答题卡的相应位置上. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 若在等差数列中，．则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 6. 已知递增的等比数列满足，，则的公比（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 7. 如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为（ ） A. B. 7 C. D. 9 8. 阿波罗尼斯，古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，记动点的轨迹为.对任意实数，直线：与曲线恒有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9. 对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 10. 如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为，则（ ） A. 椭圆的长轴长等于4 B. 椭圆的标准方程可以是 C. 椭圆的离心率为 D. 椭圆上存在点到焦点的距离为 11. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…设第层有个球，从上往下层球的总数为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. ， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 现有一块实心圆柱铁块，轴截面为正方形，侧面积为，将其磨制成一个球体零件，则能制作的最大零件的体积为_________. 13. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则__________. 14. 已知函数恰有2个零点，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知锐角的内角所对的边分别为，满足. （1）求角； （2）若，，求的周长. 16. 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，，，. （1）求、的通项公式； （2）记，为的前项和，求. 17. 某校为选拔参加数学联赛的同学，先进行校内数学竞赛，为了解校内竞赛成绩，从所有学生中随机抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩，并作出频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）求频率分布直方图中a的值．若从成绩不低于70分的同学中，按分层抽样方法抽取12人的成绩，求12人中成绩不低于90分的人数. （2）用样本估计总体，估计该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数以及中位数. （3）若甲、乙两位同学均进入第二轮的复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为，乙复赛获一等奖的概率为，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率． 18. 如图，已知是的高，沿将折起到的位置，使得. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的正弦值. 19. 已知双曲线的离心率为2，左顶点为，过右焦点的直线交双曲线于两点. （1）求双曲线的方程； （2）从下面两个结论中选择一个给出证明（多选则按照第一个给分）. ①；②若线段的垂直平分线交轴于点，则为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $