2025-2026学年高二上学期期末诊断（二）数学试题

2027届高二上学期期末诊断（二） 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确答案填涂在答题卡的相应位置上. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 若在等差数列中，．则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 6. 已知递增的等比数列满足，，则的公比（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 7. 如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为（ ） A. B. 7 C. D. 9 8. 阿波罗尼斯，古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，记动点的轨迹为.对任意实数，直线：与曲线恒有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9. 对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 10. 如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为，则（ ） A. 椭圆的长轴长等于4 B. 椭圆的标准方程可以是 C. 椭圆的离心率为 D. 椭圆上存在点到焦点的距离为 11. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…设第层有个球，从上往下层球的总数为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. ， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 现有一块实心圆柱铁块，轴截面为正方形，侧面积为，将其磨制成一个球体零件，则能制作的最大零件的体积为_________. 13. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则__________. 14. 已知函数恰有2个零点，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知锐角的内角所对的边分别为，满足. （1）求角； （2）若，，求的周长. 16. 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，，，. （1）求、的通项公式； （2）记，为的前项和，求. 17. 某校为选拔参加数学联赛的同学，先进行校内数学竞赛，为了解校内竞赛成绩，从所有学生中随机抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩，并作出频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）求频率分布直方图中a的值．若从成绩不低于70分的同学中，按分层抽样方法抽取12人的成绩，求12人中成绩不低于90分的人数. （2）用样本估计总体，估计该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数以及中位数. （3）若甲、乙两位同学均进入第二轮的复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为，乙复赛获一等奖的概率为，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率． 18. 如图，已知是的高，沿将折起到的位置，使得. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的正弦值. 19. 已知双曲线的离心率为2，左顶点为，过右焦点的直线交双曲线于两点. （1）求双曲线的方程； （2）从下面两个结论中选择一个给出证明（多选则按照第一个给分）. ①；②若线段的垂直平分线交轴于点，则为定值. 2027届高二上学期期末诊断（二） 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确答案填涂在答题卡的相应位置上. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）; （2）. 【16题答案】 【答案】（1）， （2） 【17题答案】 【答案】（1），12人中成绩不低于90分的人数为1； （2）平均数约为分，中位数约为分； （3）. 【18题答案】 【答案】（1）证明：因为是的高，所以折起前， 折起后； 因为平面； 又平面，所以, 又，平面, 因此平面； （2） 【19题答案】 【答案】（1）； （2）选①：证明如下： 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 代入，可得，不妨设, 又，则, 所以， 所以. （ii）若直线的斜率不存在，设直线的方程为， 联立,可得, 化简可得. 因为过右焦点的直线交双曲线于两点, 所以，且. 设，则， ， 则 ， 所以. 综上所述，. 选②：为定值，证明如下： 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 设， 由①可得， 则 . ， 所以的中点的坐标为. 当时，线段的垂直平分线为，则, 则, 则. 当时，线段的垂直平分线为. 令，可得，即. 则, 所以. 综上所述，为定值1. AI 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $